A circunferência homológica da elipse, parábola ou hipérbole

Nas últimas entradas recorremos sempre a homologias definidas por um ponto (centro O da homologia) e por duas retas (reta e, eixo de homologia, e reta l, reta limite). Fomos, ao mesmo tempo, confirmando que a homologia preserva as propriedades de incidência, de interseção, de tangência, transformando pontos em pontos, retas em retas, cónicas em cónicas, etc. Já vimos que a homológica de uma cónica é outra cónica e que sua natureza depende da posições relativas da cónica original e da reta limite.
Com a construção desta entrada, pretendemos ilustrar, em síntese, como a circunferência é homológica da elipse, da parábola ou da hipérbole conforme a reta limite é exterior, tangente ou secante à circunferência que é o mesmo que dizer que a cónica homológica tem 0, 1 ou 2 pontos impróprios (respetivamente)
Na construção, tomamos uma circunferência e sobre ela cinco pontos {A_i: i= 1, 2, ..., 5} dos quais determinámos as imagens por uma homologia definida por um centro O, um eixo e, uma reta limite l. Por exemplo, {A'1} = (A₁I.e)I'_∞.OA₁ que é o mesmo que dizer que A'1 é a interseção de OA₁ com a paralela a OI tirada pelo ponto A₁I.e; ... e que conhecidos A₁, A'₁ e A₂, o homólogo deste é A'₂ que se obtém por sabermos que A'₂ está sobre a reta OA₂ e A₁A₂ . A'₁A'₂ é um ponto do eixo e.
Pode fazer variar a homologia, deslocando qualquer dos definidores (O, e, l). Se deslocar l, usando o ponto L, pode ver o que acontece quando l é secante, tangente ou exterior à circunferência.
Provisoriamente não pode fazer variar a homologia (construção em restauração)

Nas próximas entradas vamos tratar da preservação de outras propriedades por uma homologia, particularmente as propriedades polares entre elementos homológos. Claro que já vimos na construção da entrada anterior que a tangente a uma cónica tem por homóloga uma reta tangente à sua homológica.

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia definida por centro, eixo, reta limite. Homológica de uma cónica tangente a 5 retas.

---

Ainda usando a construção da penúltima entrada em que se construía o homológico de um pentágono por uma homologia de que se conheciam os centro, eixo e reta limite.
Nesta entrada e na construção associada, tomamos as retas r, s, t, u, v que contêm os lados do pentágono agora como tangentes à cónica, de que ficam assinalados os respetivos pontos de tangência R, S, T, U, V.
Como sabemos esse conjunto de retas constitui um feixe de segunda ordem e a cónica associada é a envolvente das retas do feixe. Considerando os pontos de interseção das retas s, t, v com a reta tangente r (r.s, r.t, r.v) e com a reta tangente u (u.s, u.t, u.v), temos duas pontuais retilíneas (bases r e u, no caso) projetivas não perspetivas. As retas que passam pelos pontos correspondentes por esta projetividade determinam o feixe de segunda ordem (r, s, t, u, v) que define a cónica.

Pode experimentar deslocar a reta limite e ver o que acontece quando esta interseta e não interseta a cónica
A homologia do plano no plano transforma o feixe de 2º ordem r, s, t, u, v no feixe de 2ª ordem r', s', t', u', v', isto é, transforma a cónica definida por 5 retas tangentes a ela, na cónica definida pelas retas homólogas.
A natureza da cónica homológica de uma outra só depende das posições relativas desta e da reta limite associada à homologia.

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia definida por centro, eixo e reta limite. Homológica de uma pontual cónica

---

A construção desta entrada segue a construção do homológico de um pentágono da entrada anterior. Trata-se agora de olhar para os pontos A, B, C, D, E, H, K como uma pontual de 2º ordem (elipse), interseções dos retas correspondentes dos feixes A(BCDEHK) e B(ACDEHK) projetivos e não perspetivos. A homológica desta pontual cónica A, B, C, D, E, H, K será a pontual cónica A', B', C', D', E', H'_∞, K'_∞ em que cada ponto pode ser obtido como interseção de retas correspondentes dos feixes A'(B'C'D'E'H'_∞ K'_∞) e B'(A'C'D'E'H'_∞ K'_∞) projetivos e não perspetivos. Lembramos que à reta AH do primeiro feixe de 2º ordem corresponde a reta A'H'_∞ que é a reta paralela a OH tirada pelo ponto e.AH...

A homologia (que é uma homografia) do plano no plano a uma pontual de qualquer ordem faz corresponder uma pontual da mesma ordem: a uma pontual retilínea faz corresponder outra pontual retilínea, a uma pontual cónica faz corresponder uma pontual cónica. Nesta construção, fica claro que a uma cónica corresponde outra cónica, ainda que de natureza diferente (ou aparentemente diferente) conforme as posições relativas da cónica com a reta limite. No caso da nossa construção, como a elipse (sem pontos impróprios) é cortada pela reta limite em dois pontos, a sua homológica é uma hipérbole (tem dois pontos impróprios).

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia definida por centro, eixo e reta limite: homológico de um pentágono cortado pela reta limite

Seja uma homologia (homografia do plano no plano) definida por centro, eixo e reta limite e seja um pentágono ABCDE de tal modo que a reta limite l corta dois dos seus lados, no caso, AE.l={I} e CD.l={J}
Pretende-se determinar o pentágono A'B'C'D'E' homológico de ABCDE.
Sabemos que dois pontos homólogos são colineares com o centro O e que as retas que contém dois lados homólogos se encontram num ponto do eixo e. Mas sabemos também que o homólogo de um ponto limite (de l) e de um lado (AE, por exemplo) é o ponto no infinito da reta (A'E') homóloga da reta que o contém, que é o mesmo que dizer que a reta A'E' é paralela a AE tirada por M=AE.e; do mesmo modo, C'D' é a paralela a OJ tirada por N=CD.e
Determinadas, desse modo, as retas A'E' e C'D', obtemos A' e E' como interseções da paralela a OI tirada por M com OA e com OE, C' e D' nas interseções da paralela a OJ tirada por N com OC e com OD. Para determinar B', toma-se {Q}=e.AB e {B'}=QA.OB; {C'}=RB'.OC em que {R}= e.BC; {D'}=NC'.OD em que {N}=e.CD
E à semelhança do que fizemos na entrada anterior, os lados da figura homológica de ABCDE são:
A'I'_∞E', homólogo de AIE
C'J'_∞D', homólogo de CJD
A'B' homólogo de AB, B'C' homólogo de BC e D'E' homólogo de DE.

Esta construção da figura homológica de um pentágono é importante para percebermos bem o que se passa com as cónicas (bem determinadas por 5 dos seus pontos, qualquer delas) quando têm ou não têm pontos impróprios. Se, para uma dada homologia, um pentágono tem pontos limite em alguns dos seus lados, o seu homológico tem pontos impróprios nos lados homólogos desses.

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia por centro, eixo e reta limite: homológico de um triângulo cortado pela reta limite

Na construção que se apresenta a seguir, temos uma homologia de que conhecemos centro, eixo e reta limite. E, para essa homologia, determinámos o homológico de um triângulo ABC em posição tal que tem a reta limite corta dois dos seus lados AB e BC (como se vê quando se abre a construção).
Pelo procedimento habitual: as retas homólogas AB e A'B' encontram-se num ponto do eixo e, M. Para além de M, para termos a reta A'B', basta considerar a imagem de um dos seus pontos, I, que, por ser ponto limite de AB, tem por imagem o ponto do infinito de A'B', I'_∞=OI.A'B'. Assim A'B' é a reta MI'_∞, paralela a OI tirada por M. Claro que A' é OA.MI'_∞ e B' é OB.MI'_∞
Do mesmo modo, B'C' é a paralela a OJ tiradda por BC.e, K, B'C' é a reta KJ'_∞. E C' é OC.KJ'_∞
Como I é ponto da reta limite l e do lado AB, (o segmento) A'B' terá de conter o ponto do infinito, designamo-lo por I'_∞ isto é, o homólogo do lado AB é A'I'_∞B'. E, do mesmo modo, o homólogo do lado BC será B'J'_∞C'.
Esperamos que a construção apresentada seja uma boa ilustração.

Com alguns cuidados, poderá fazer variar o triângulo e mesmo a homologia (deslocando O, e e J). A figura dinâmica dará boa informação para algumas posições relativas. Foi feita para mostrar o que acontece para o caso de a reta limite cortar os lados AB e BC do triângulo.

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia definida por centro, eixo e reta limite: quadriláteros homológicos (caso 1)

Retomamos homologias definidas pelo centro O, eixo e e reta limite l. Vamos determinar o quadrilátero homológico de um quadrilátero ABCD dado, por uma homologia definida por O, e, l.
Dados O, e, l e os quatro pontos A, B, C, D vamos determinar A', B' C', D' : O, A e A' são colineares; O, B e B' são colineares, etc e AB.A'B' é um ponto de e.... Consideremos os pontos I e K de interseção da reta definida por A e D com a reta limite e com o eixo: AD.l = {I} e AD.e= {K}. Como I é um ponto da reta limite é o ponto limite da reta AD: OI interseta A'D' no seu ponto impróprio e como K é o ponto da reta AD no eixo, A'D' terá de passar por K. Ou seja, a reta A'D' é a paralela a OI tirada por K.
Do mesmo modo, BC.e = {M} e BC.l = {J}, B'C' será a paralela a OJ tirada por M.
Assim ficam determinados: A' e D' como interseções de OA e OD com a paralela a OI tirada por K; B' C' como interseções de OB e OC com a paralela a OJ tirada por M. Confirmámos DC.D'C' ={N} em e, DB.D'B'= {P} de e, AB.A'B'= {L} também no eixo da homologia.

No caso da homologia que se vê ao abrir, a reta limite l não interseta os lados do quadrilátero ABCD e, por isso, o seu homológico não tem pontos impróprios A'B'C'D'.
Na próxima entrada, veremos o caso de polígono em que a reta limite interseta lados do polígono para ver o que acontece com o homológico.

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia definida por centro, eixo e reta limite

Uma homologia do plano transforma pontos em pontos, pontuais em pontuais, feixes em feixes do plano. Para cada homologia, uma pontual de pontos da reta imprópria do plano tem como imagem uma pontual - reta limite l'- que contém o ponto impróprio do eixo e uma pontual de pontos da reta imprópria é imagem de uma pontual - reta limite l - que também contém o ponto impróprio do eixo.
Também já vimos antes que uma homologia do plano fica determinada por:

1. o centro, o eixo e um par de pontos (retas) homólogos , não incidentes no centro nem no eixo.
2. dois pares de pontos (retas) homólogos e um ponto (reta) duplo (homólogo/a de si mesmo).
3. três pares de pontos (retas) homólogos.

Claro que dar uma reta limite equivale a dar um par de retas homólogas: a própria reta limite e a reta imprópria do plano
Nas últimas construções, definimos as homologias dando centro, eixo e um par de pontos homólogos.
Nesta entrada, vamos verificar que uma homologia fica determinada pelo centro O, o eixo e e a reta limite l.

Pode mover O, e, l para ver o que acontece com várias homologias
e também r, para além de A sobre r.

Dado um ponto A, como determinamos A'? Ou dada uma reta r como determinamos r' na homologia de que conhecemos o centro O, o eixo e e a reta limite l?
Por qualquer ponto A, podemos tirar uma reta r que intersete o eixo e (em M) e a reta limite l (em I). I é um ponto limite, original do ponto impróprio de r', R'_∞, por ser, ao mesmo tempo de l e de r. Isso quer dizer que a reta OI do feixe centrado em O interseta r' no seu ponto impróprio (OI//r'). Sabemos além disso que duas retas homólogas se intersetam num ponto do eixo, no caso M: Fica determinada r', paralela a OI tirada por M=r.e

---

E, concluindo, obtém-se A'=OA.r'
Na nossa construção também procurámos a reta limite imagem da reta imprópria do plano: Tirámos por O uma paralela a r (que interseta r no seu ponto impróprio R_∞. O ponto onde essa reta interseta r' está a imagem J' do ponto do infinito de r.
A reta limite, imagem da reta imprópria do plano, passa por J' e também pelo ponto impróprio do eixo.
Verificará que O, e, ocupam certas posições relativas com l, l': ou estão ambos entre l e l' ou ambas fora da faixa de fronteiras l e l'

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia plana (memória)

De uma homologia damos o centro O e o eixo e, uma reta r e a sua homóloga r'. No caso da nossa construção tomámos duas retas concorrentes em A e, de acordo com o processo de definição da homologia de centro O, se considerarmos A da pontual de base r, o seu homólogo A'=OA.r' na reta r' só pode ser A'=A (já que a reta tirada por O que passa por A também passa por A' e OA.r=OA'.r'=r.r), o que quer dizer que é um ponto duplo da homologia que sendo diferente de O é um ponto do eixo da homologia. De outro modo: Um ponto B de r tem como correspondente o ponto B'=OB.r' de r' e um ponto C' de r' tem como homólogo o ponto C=OC'.r de r e as duas retas BC.B'C'=r.r'=A, AB.A'B'=A. Se não dermos o eixo, teremos de dar mais um ponto (não incidente em r) e o seu correspondente, para definirmos o eixo da homologia.
Vamos determinar pontos limite e retas limite da homologia. Para exemplo, determinamos a imagem R' do ponto no infinito de r, R_∞: Tiremos por O a reta OR_∞ (paralela a r tirada por O). A imagem de R_∞ é o ponto R'=OR_∞.r', ponto limite.
Quando falamos de reta imprópria do plano estamos a falar da reta que contém todos os pontos no infinito do plano, também o ponto E_∞ impróprio do eixo e. Por isso a imagem pela homologia da reta imprópria do plano é R'E_∞ (paralela a e tirada por R'). Temos assim a reta limite imagem da reta no infinito do plano.
A reta limite que tem como imagem a reta no infinito do plano determina-se de forma análoga: O original do ponto no infinito de r', R'_∞, é O R'_∞.r=R e a reta limite que tem como imagem a reta imprópria do plano é RE_∞. As retas limite (original e imagem) intersetam-se no ponto impróprio de e (também ele ponto da reta imprópria do plano).

Pode movimentar pontos e retas (mudando de homologia, claro)

Experimente deslocar O e veja o que acontece quando ele incidir sobre r ou sobre r' ou sobre o eixo e. E se O coincidir com A?

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia plana (memória)

---

Temos vindo a trabalhar com transformações projetivas que relacionam pontuais diferentes (sobre a mesma reta ou não) e feixes distintos (a passar pelo mesmo ponto ou não).
Debruçarmo-nos-emos agora sobre uma transformação projetiva que transforme cada ponto (pontual,feixe) do plano num ponto (pontual, feixe) sobre o mesmo plano: trata-se da homologia (já várias vezes referida) que é uma homografia. Para definir a lei de transformação, bastar-nos-á tomar três pontos A, B, C não colineares e seus correspondentes A', B' e C' de tal modo que AA', BB' e CC' passem por um mesmo ponto O (centro da homologia). Como sabemos, do teorema de Desargues, esta condição de AA', BB' e CC' serem concorrentes num ponto é equivalente a que os pares de retas AB e A'B', AC e A'C', BC e B'C' se intersetem em pontos de uma mesma reta e (eixo da hamologia).
Tomados os pares de pontos correspondentes (A,A') e (B,B'), fica determinado um ponto AA'.BB'={O} e para um terceiro ponto C podemos tomar qualquer ponto C' como correspondente de C, desde que C' incida em CO.
Sendo AB.A'B'={L}, AC.A'C'={K}, LK=e (eixo da homologia), verifica-se que o ponto BC.B'C', J, é um ponto de e.
Vemos que fixados (A,A') (B,B') e (C,C') a respeitar a condição AA'.BB'.CC'={O} (ou a equivalente: AB.A'B', AC.A'C', BC.B'C' a incidir numa mesma reta e), fica determinado o processo para determinar o homólogo (único) de qualquer ponto X do plano: Toma-se, por exemplo, XB.e={I}, IB'.OX={X'} que é equivalente a (XA.e)A'.OX={X'}.....
A construção ilustra essa definição e os procedimentos adotados para determinar o ponto correspondente de qualquer ponto do plano. O mesmo para a pontual correspondente de qualquer pontual. Considere para exemplo a pontual de base c=AB. Um ponto P de s tem correspondente P', assim obtido: (PA.e)A'.OP que é um ponto de A'L ou seja de A'B'=c'.

Chama-se ainda a atenção para o seguinte:

1. A imagem, pela homologia, de um ponto P qualquer de e, é P: (PA.e)A'.OP={P}. Cada um dos pontos da pontual de base no eixo de homologia é imagem de si mesmo pela homologia, isto é, é um ponto duplo no sentido P=P' para a homologia.
2. A imagem do feixe de centro O é o próprio feixe. Um ponto qualquer de um reta que passe por O é um ponto dela mesma (X e X': O∈X). Cada uma das retas do feixe é transformada nela mesma, em que O e a sua intersecção com e são dois pontos duplos
3. Podemos dizer que uma homologia plana é uma transformação projetiva do plano em si mesmo tendo como elementos duplos uma pontual (sobre e) e um feixe (por O)
4. A homologia especial em que o centro O é um ponto do eixo e também toma o nome de elação.
5. O centro O da homologia pode ser um ponto impróprio (AA', BB', CC' são paralelas ou encontram-se num ponto comum que é um ponto no infinito)
6. O eixo e da homologia pode ser uma reta imprópria (Os pares de retas que passam por pontos homólogos são paralelas: AB//A'B', BC//B'C', AC//A'C', …)



---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Feixe de segunda ordem (circular)

Atente na figura dinâmica imediatamente abaixo.
Por X, variável sobre a tangente à circunferência em P, passam duas tangentes XP e XT. Por isso, OT=OP e XP=XT e, em consequência, os ângulos POX=XOT. Por X'=XT.QQ', passam duas tangentes à circunferência X'T e X'Q' e são congruentes ângulos Q'OX' e X'OT. Ou, ainda pela mesma razão, QOP=P'OQ'. XOT=(POT)/2 e X'OT=(Q'OT)/2 XOT+X'OT=(POQ')/2=POQ, constante para cada par (P,Q), e, finalmente, XOT+X'OT=XOX'= POQ.

[Pode mover T, P ou Q']? podia.
Quer dizer que, para qualquer tangente por T, variável sobre a circunferência, os pontos de intersecção dela com a tangente em P e com a tangente em Q', X e X', são tais que o ângulo XOX' é constante ou é independente de T. Isto é o mesmo que dizer que as retas do feixe, centrado em O, das retas OX' e OX estão relacionadas por uma rotação de centro O e ângulo de amplitude igual à de POQ. Os feixes assim construídos, x=OX e x'=OX', são congruentes e, portanto, projetivos. O ângulo formado por quaisquer duas retas do feixe x é transformado por rotação de centro O e amplitude POQ num ângulo de duas retas do feixe x', logo igual. As razões duplas de 4 retas do feixe x e das correspondentes do feixes x' são, por isso, iguais. E assim acontecerá para as razões duplas dos pontos correspondentes nas secções por PQ e Q'P'. Pode deslocar T sobre a circunferência e verá assim que, pela projetividade entre as pontuais X e X', quando X=P é X'=P' e que, quando X'=Q' é X=Q. Para além de significar que os pontos P, Q, P', Q' fazem parte das pontuais projetivas, também significa que PQ e P'Q' são posições possíveis das retas XX'.
As pontuais de pontos X sobre PQ e X' sobre Q'P' são secções por PQ e Q'P' dos feixes x e x' centradas em O que são projetivos. E as retas XX' que passam pelos pontos correspondentes das pontuais projetivas têm um só ponto comum com a circunferência.
Este conjunto de retas XX' é um feixe de segunda ordem por ser um conjunto de retas definidas por por pontos homólogos de duas pontuais de primeira ordem projetivas e não perspetivas e de bases distintas. Diz-se que a cónica é a envolvente das retas deste feixe de segunda ordem.
A pontual de segunda ordem é uma curva de segunda ordem (cónica) que contém os vértices V e V' dos feixes projetivos e não perspetivos que a geram por intersecção das retas correspondentes.
O feixe de segunda ordem é envolvido por uma curva de segunda ordem (cónica) que contém as bases das pontuais, projetivas e não perspetivas, que a geram por ligação dos pontos correspondentes
Pode assim definir-se uma cónica como base de uma forma elementar de 2ª ordem (pontual ou feixe).
Chama-se razão dupla de 4 tangentes de um feixe de 2º ordem à razão da pontual que se obtém cortando essas 4 retas tangentes por uma outra tangente qualquer.

Segue-se uma ilustração das pontuais, projetivas não perspetivas, em distintas bases, feixes centrados em O, ângulos e razões duplas calculadas, etc.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar os pontos de tangência [?: PODIA ]


Finalmente apresentamos uma construção do eixo da projetividade definida pelas pontuais A, B, C e A', B', C' que é a reta PQ' e ilustramos com uma reta XX' em que X é variável sobre PQ e X' é determinado usando o eixo da projetividade definida. Pode animar a figura e verificar como XX' em todas as suas posições mantém um ponto de contato com a circunferência e como o conjunto das retas XX' formam a circunferência.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode controlar a animaçao e mover os pontos P e Q'[? PODIA]
O eixo da projetividade é a reta que passa pelos pontos de tangência das bases das pontuais projetivas. Sabemos que a reta PQ' é a polar do ponto P' ou Q (ponto duplo da projetividade) Se as bases PQ e P'Q' se encontrarem num ponto do infinito, o eixo de projetividade (ou a polar do ponto no infinito das bases) passa pelo centro da circunferência.

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Pontual de segunda ordem (circular)

Na construção que se segue, temos uma circunferência e dois feixes de retas centrados em pontos V e V' da circunferência, abcd a passar por V e a'b'c'd' a passar por V', em que a=VA, b=VB, c=VC, d=VD e a'=V'A, b'=V'B, c'=V'C, d'=V'D, sendo A, B, C, D pontos da circunferência: a.a'=A, b.b'=B, c.c'=C e d.d'=D.
Verifica-se que os ângulos AVC (de vértice V e lados VA=a e VC=c) e AV'C (de vértice V' e lados V'A=a' e V'B=b' são iguais (ou congruentes por estarem inscritos no mesmo arco da mesma circunferência), etc. As igualdades dos ângulos (a,c)=(a',c'), ... ilustradas na construção, garantem que são iguais as razões duplas dos 2 feixes: (abcd)=(a'b'c'd'), ou seja os feixes V(ABCD) e V'(ABCD) são projetivos
De facto, já tínhamos visto que os feixes projetivos V(ABC) e V'(ABC) definem a cónica que passa por V, V', A, B, C. Estamos com esta construção a ilustrar que a projetividade mantém invariantes as razões duplas tanto pelo lado dos ângulos e das retas (abcd)=(a'b'c'd') como pelas pontuais resultantes de secções dos feixes por uma reta r.
Lembramos que a razão dupla de um feixe (abcd) é igual à razão dupla de qualquer pontual retilinea que se obtenha por secção do feixe e que dois feixes abcd e a'b'c'd' são projetivos sse (abcd)=(a'b'c'd').
No caso presente da nossa construção com circunferência, dadas as relações de iguadade ou congruência entre os ângulos correspondentes, diz-se mesmo que os feixes são congruentes.
Transcrevem-se os enunciados de Izquierdo a este respeito:
Os feixes obtidos ao projetar os pontos A, B, C de uma circunferência a partir de vários pontos dela, V, V', ... são congruentes e, por isso projetivos e, reciprocamente,
O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas correspondentes (não paralelas) a.a', b.b',... de dois feixes congruentes centrados em V e V' é uma circunferência que passa pelos vértices dos feixes.
Esse lugar geométrico recebe o nome de pontual circular ou circunferência pontual. Dois feixes de primeira ordem projetivos não perspetivos determinam uma pontual de segunda ordem.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Se pensarmos na reta VV' como reta do feixe centrado em V, a correspondente reta no feixe centrado em V' será a tangente em V' (V' é ponto da pontual circular interseção dessas retas correspondentes). Se pensarmos em VV' como reta do feixe centrado em V' a sua correspondente é a tangente em V. A base da pontual de segunda ordem (circular neste caso) é a circunferência a que pertencem os pontos da pontual.

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004