Borel, 119

No livro Algèbre, programme de 1925. Borel,É; Montel; P. , Lib. Armand Colin. Paris:1926 , como um caso em que as propriedades do trinómio intervêm na discussão, é apresentado o Problema V: Um triângulo e um quadrado têm as suas bases sobre uma recta r e estão num mesmo semiplano dos definidos por ela. Determinar a recta r' paralela a r que corte os dois polígonos e de tal modo que a soma das partes dos polígonos fora da faixa entre r e r' seja equivalente ao triângulo [ABC]. (adaptado)



Determinar     x     tal que         área_[AB'C'] + área_[DE'F'G] = área_[ABC].

Aqui estamos mais à espera de uma resolução geométrica que seja simples.

Mas será possível esperar que algum estudante português dos ensinos básico ou secundário reuna condições e interesse para realizar este trabalho proposto; desde encontrar os binómios interessantes até discutir a existência das soluções?

Álgebra da involução

Sobre a involução, para finalizar, decidimos transcrever traduzidas algumas páginas de "Algèbre et Géométrie du Second Degrée" de Émile Borel. Muitas vezes, a álgebra ajuda a compreender melhor as construções geométricas e é, por isso, que fazemos esta transcrição (e homenagem!, diga-se)

24. Homografia e involução.

Estudámos em "La Géométrie et les Imaginaires" a transformação homográfica, ou seja, a relação entre duas variáveis tal que a cada valor de uma qualquer das duas variáveis corresponde um valor e um só da outra variável. Uma tal transformação é pois necessariamente linear em relação a cada uma das duas variáveis e pode ser escrita sob a forma:

(27)              a x x' + b x + b' x' + c = 0

A propriedade mais importante da transformação homográfica é a conservação da razão anarmónica, isto é, a razão anarmónica de quatro valores de x é igual à razão anarmónica dos quatro valores correspondentes de x'.
A equação (27) faz corresponder a cada ponto M de coordenadas x um ponto M' de coordenadas x'; mas esta transformação não é recíproca, ou seja, se designarmos por x as coordenadas de M', o valor x' correspondente não será a coordenada de M. Com efeito, se permutarmos x e x' em (27), obtemos:

(27')             a x x' + b x' + b' x + c = 0

e, subtraindo as duas equações (27) e (27') membro a membro, vem:

(28)             (b - b') (x - x') = 0

e, se supusermos x diferente de x', ou seja, x - x' diferente de 0, esta relação implica b = b'. Se esta relação se verifica, a transformação homográfica é dita "involução". Uma involução é, portanto, definida pela relação

(29)            a x x' + b (x + x') + c = 0

simétrica em x e x'. Os valores x e x' que verificam esta relação são ditos "pares" de pontos correspondentes da involução. Para que dois pontos estejam sobrepostos, ou seja, para que x = x' é necessário e suficiente que se tenha:

(30)             a x² + 2 b x + c = 0

isto é, que x seja um zero do trinómio       a x² + 2 b x + c.
Suponhamos em primeiro lugar que os seus zeros são distintos e reais e designemo-los por x₁ e x₂; ou seja, que temos

(31)              x₁+ x₂ = -2 b/a              x₁ x₂ = c/a

e, substituindo na equação (29) b e c pelos seus valores tirados de (31) e, dividindo por a, que não é nulo, a relação involutiva torna-se:

(32)             2 x x' - (x₁ + x₂) (x + x') + 2 x₁ x₂ = 0

o que pode escrever-se:

(33)              (x - x₁) (x' - x₂) + (x - x₂) (x - x₂) (x' - x₁) = 0.

Sejam M₁ e M₂ os pontos x₁ e x₂, M e M' os pontos x e x'; a relação (33) escrever-se-á:

(34)              MM₁ . M'M₂ + MM₂ . M'M₁ = 0

ou seja,

(35)              MM₁/MM₂ = - M'M₁/M'M₂.

Ela exprime que os pontos M e M' são conjugados harmónicos em relação aos pontos M₁ e M₂.
Se designarmos por O o ponto médio de [M₁M₂], sabe-se que temos:

(36)              OM . OM' = OM₁²

o ponto O é dito o "centro" da involução; ele corresponde ao ponto do infinito da recta.

Parábola e involução

Se tomarmos uma parábola inscrita num quadrilátero (quatro rectas tangentes à parábola), lados opostos e diagonais cortam uma recta em pares de pontos em involução. Pode fazer variar a parábola, a recta de corte e até as tangentes (lados do quadrilátero) para confirmar os resultados.



[A.A.F.]

Involução e parábola

Ainda prosseguindo na saga das involuções, Aurélio Fernandes apresentou uma construção com parábolas. Toma-se um quadrilátero inscrito na parábola (pode fazer variar o quadrilátero deslocando os seus vértices sobre a parábola). Sobre uma recta que corte as rectas contendo os lados e diagonais do quadrilátero, ficam determinados pares em involução. Estão determinados o centro O da involução bem como os seus pontos duplos M e N. Também pode fazer variar a parábola ou a recta que corta os lados do quadrilátero, deslocando os pontos em (x).


[A.A.F.]

Teorema de Desargues - dual

As tangentes tiradas por um ponto exterior às cónicas inscritas num quadrilátero pertencem a um feixe em involução definida pelos vértices opostos do quadrilátero.



[A.A.F]

Triângulo, cónica e involução

Tome-se o triângulo [ABC] e uma cónica tangente aos lados AB e AC em B e em C. Os pares de pontos de intersecção de r com as rectas AB e AC - (P,P') - e com a cónica -(Q,Q')- estão em involução. Utilizando a régua, determine um ponto duplo dessa involução.


[A.A.M.]
Originalmente, com recurso à aplicação ZuL(CaR)- R. Grothmann, esta publicação dava um enunciado de problema de construção e deixava aberta uma janela dinâmica para permitir ao observador interessado que, com as ferramentas adequadas disponíveis, resolvesse o problema e confirmasse a validade das suas escolhas e resultados. Para o mesmo efeito recorremos à aplicação Cinderella (J.Richter-Geberrt, Ul. Kortenkamp) em algumas iniciativas.
Nestas tentativas de recuperar as imagens (ilustrações dinâmicas) para serem visualizadas por quem visitasse e visite este BloGeometrias repositório das tentativas de estudo (construções) de António Aurélio Fernandes, Arsélio Martins e Mariana Sacchetti.

Elipse? Qual elipse?

Determinar a elipse de que se conhecem quatro pontos M, N, P e Q e uma tangente t.

Teorema de Desargues

Dada uma cónica e um quadrivértice nela inscrito, qualquer secante à cónica que não passe por vértices, corta a cónica e os lados opostos do quadrivértice em pares de pontos de uma mesma involução.


[A.A.F.]
Pode deslocar os vértices sobre a cónica.

Involução pelos pontos duplos

Determinar o segundo elemento do par (A,A') em involução de que P e Q são pontos duplos.

Cónica - polar, harmónica, involução

Por um ponto R, exterior a uma elipse dada, tiremos duas tangentes. E tracemos a polar de R - recta passando pelos pontos de tangência. Os pontos de tangência são pontos duplos de uma involução que transforma cada ponto no seu conjugado harmónico.



Estes factos que relacionam a involução com outras propriedades das cónicas já referidas, sugerem exercícios interactivos. Por exemplo: Como determinar pares em involução de que se conhecem apenas os pontos duplos.

Involução hiperbólica

O conjunto de pares de diâmetros conjugados de uma cónica formam um feixe em involução, cujo vértice é o centro da cónica. Os raios duplos dessa involução, caso existam, são as tangentes à cónica. Como na elipse o centro é interior e todos os diâmetros intersectam a curva, logo, a involução elíptica não tem pontos duplos.

No caso da hipérbole existem duas tangentes - as asssíntotas - à cónica passando pelo centro. Na involução hipérbolica há dois pontos duplos.

Recordamos a referência, em outro artigo, à seguinte propriedade: Os pares de diâmetros conjugados de uma hipérbole são conjugados harmónicos relativamente às assíntotas.

Diâmetros conjugados da elipse e involução

O conjunto de pares de diâmetros conjugados de uma cónica formam um feixe em involução cujo vértice é o centro C da cónica.
Na construção que se segue, os diâmetros conjugados da elipse intersectam uma recta r qualquer (pode fazer variar r, deslocando P) em pares de pontos em involução. Pode deslocar qualquer dos pontos asssinalados por (X), fazendo variar a cónica e os seus diãmetros conjugados).

[A.A.F.]
No caso da elipse não existem elementos duplos (qualquer circunferência de corda AA’ ou BB’, etc contém O no seu interior, logo não é possível traçar por O tangentes a essas circunferências) ; um ponto duplo da involução corresponderia a uma recta dupla no feixe de centro C que teria de ser tangente à conica. A involução elíptica não admite pontos duplos.

Em busca do ponto duplo

Determine os pontos duplos (S e T) da involução definida pelos pares conjugados (A,D) e (B,C).