A parábola de outros tempos, aqui

Antes de dar por finda esta sucessão de referências a parábolas, convém lembrar que animações e problemas com parábolas foram aparecendo ao longo dos tempos neste lugar geométrico. Recuperamos aqui algumas das referências ao passado, para que possam ser visitadas em romagem:

1. Parábola simples (animação; cinderella)


2. Parábola como envolvente (animação; cinderella)


3. Parábola como lugar geométrico dos pontos (x,x²)


4. Parábola como lugar geomético dos pontos (x, √x) e sua inversa


5. Parábola exinscrita a um triângulo

Uma propriedade magnífica

Cada trio de tangentes a uma parábola de foco F forma um triângulo cujo círculo circunscrito passa por F. Os três pés das perpendiculares tiradas por F a essas tangentes à parábola estão sobre a tangente à parábola no seu vértice. O que significa que para qualquer trio de tangentes, os pés das perpendiculares tiradas por F estão sobre a tangente ao vértice
Os pontos médios das diagonais de cada um dos quadriláteros de tangentes estão sobre uma paralela ao eixo da parábola - recta de Newton.



[A.A.F.]

A parábola das duas tangentes

Se tivermos duas tangentes - t₁ e t₂ - a uma parábola e conhecermos os respectivos pontos de tangência - T₁ e T₂ - podemos determinar o foco F e a tangente à parábola tirada pelo seu vértice.
É o que lhe propomos que faça no exercício interactivo que se segue:
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Triângulo de tangentes da parábola

Se tivermos duas tangentes t₁ e t₂ a uma parábola, a circunferência que passa pelo ponto T de tangência de t₁ e é tangente a t₂ no ponto A de intersecção de t₁ com t₂ contém o foco F. A animação seguinte ilustra essa propriedade.



E estamos em boas condições de resolver o problema seguinte:

De uma parábola de que se conhecem três tangentes - AB, BC e CA - e o ponto T de tangência de BC, determinar o foco e a tangente no seu vértice.

Parábolas definidas por tangentes

Propomos um novo problema sobre parábolas definidas por tangentes. Antes, porém, lembramos algumas propriedades:

1. O lugar geométrico dos simétricos do foco relativamente às tangentes da parábola é a sua directriz.
2. O lugar geométrico dos pés das perpendiculares às tangentes tiradas pelo foco é a tangente no vértice.



3. O lugar geométrico dos focos das parábolas tangentes a três rectas dadas é o círculo circunscrito definido pelos três pontos de intersecção das rectas.



Problema: Determinar o foco e a tangente no vértice de uma parábola tangente a quatro rectas dadas: t₁, t₂, t₃ e t₄.


%

De dois pontos da parábola ao foco

Consideremos uma parábola em que d é a directriz, V é o vértice e F é o foco; sejam A e B pontos da parábola e designemos por p o parâmetro da parábola (p - distância da directriz ao foco). Chamemos T ao ponto de intersecção da tangente em A com o eixo da parábola.

Demonstra-se que:

(a) Se M é o ponto médio de [AB], os pés das perpendiculares tiradas por M a AB e ao eixo da parábola distam p.
(b) Se A₁ é o pé da perpendicular baixada de A para o eixo, um ponto do eixo que diste p de A₁, está sobre a normal à parábola em A; a perpendicular à normal é a tangente em A.
(c) O ponto médio do segmento TA₁ é o vértice V.

que o ajuda a resolver um problema de enunciado simples e atraente:

Determinar o foco de uma parábola de que são dados o eixo e dois pontos, A e B.

O que se pode tirar de dois pontos de uma parábola

A construção seguinte ilustra uma propriedade da parábola muito interessante que permite determinar a distância do foco à directriz se conhecermos o eixo e dois dos seus pontos.


[A.A.F.]
Tomados dois pontos A e B da parábola, consideremos o ponto M médio de [AB]. As perpendiculares tiradas por M a AB e ao eixo da parábola intersectam o eixo em dois pontos P e Q tais que |PQ|=p que é a distância de F a d.

NOTA DE CONTROLE:
Desloque A e B (livremente sobre a parábola) para verificar que o processo conduz a um segmento de comprimento constante.