13.2.07

Elipse: de uma tangente ao foco que falta

De uma elipse, conhecemos um dos vértices, um dos focos e uma tangente. Propomos que determine o outro foco.

Exercício interactivo:



Elipse: dos vértices à tangente

De uma elipse, conhecemos os quatro vértices e um ponto M. Propomos que determine a tangente à elipse em M.

Exercício interactivo:



9.2.07

Algumas propriedades da elipse

  • Tome-se a normal e a tangente num ponto M da elipse. A circunferência circunscrita ao triângulo formado por M e pelas intersecções T da tangente e N da normal com a recta que contém o eixo menor passa pelos focos.





  • Se o vértice de um ângulo recto percorre o círculo principal mantendo~se um dos lados a passar por um foco, o outro lado é envolvente da elipse.





  • Ilustramos, a seguir, as duas propriedades:
  • Os pés das perpendiculares às tangentes tiradas pelos focos são pontos do círculo principal.


  • Para uma dada elipse, o lugar geométrico dos simétricos F' de um foco F1, relativamente às tangentes, é uma circunferência centrada no outro foco F2 e cujo raio é o eixo maior (círculo director) (Dualmente: As perpendiculares a uma tangente da elipse tiradas por pontos do círculo director passam pelos focos.)


  • Pode clicar sobre o ponto P ou T para animar a contrução.



    1.2.07

    A elipse

    Sobre a elipse há, neste lugar geométrico, muitas entradas. Nas próximas entradas, vamos propor exercícios interactivos sobre elipses.
  • a elipse em dois andamentos


  • o ponto da escada que desliza


  • elipse inscrita num paralelogramo


  • elipse como envolvente


  • dos focos aos vértices da elipse


  • a recta que intersecta a cónica



  • Nesta entrada, lembramos ou relembramos algumas formas mais comuns de chegar à elipse, bem como as propriedades.

    Uma elipse pode ser definida como lugar geométrico de pontos


  • cuja soma das distâncias a dois pontos dados é uma determinada constante;


  • Tomando dois pontos F e F' , chamados focos e designando por 2c=|FF'|, os pontos P de uma elipse serão tais que |FP|+|F'P|= 2a >2c (2a é o que chamamos eixo maior)





  • cuja razão das distâncias a um ponto e a uma recta é uma determinada constante;

  • 25.1.07

    A parábola de outros tempos, aqui

    Antes de dar por finda esta sucessão de referências a parábolas, convém lembrar que animações e problemas com parábolas foram aparecendo ao longo dos tempos neste lugar geométrico. Recuperamos aqui algumas das referências ao passado, para que possam ser visitadas em romagem:

  • Parábola simples (animação; cinderella)

  • Parábola como envolvente (animação; cinderella)

  • Parábola como lugar geométrico dos pontos (x,x2)

  • Parábola como lugar geomético dos pontos (x, √x) e sua inversa

  • Parábola exinscrita a um triângulo
  • 22.1.07

    Uma propriedade magnífica

    Cada trio de tangentes a uma parábola de foco F forma um triângulo cujo círculo circunscrito passa por F. Os três pés das perpendiculares tiradas por F a essas tangentes à parábola estão sobre a tangente à parábola no seu vértice. O que significa que para qualquer trio de tangentes, os pés das perpendiculares tiradas por F estão sobre a tangente ao vértice
    Os pontos médios das diagonais de cada um dos quadriláteros de tangentes estão sobre uma paralela ao eixo da parábola - recta de Newton.



    17.1.07

    A parábola das duas tangentes

    Se tivermos duas tangentes - t1 e t2 - a uma parábola e conhecermos os respectivos pontos de tangência - T1 e T2 - podemos determinar o foco F e a tangente à parábola tirada pelo seu vértice.
    É o que lhe propomos que faça no exercício interactivo que se segue:
    0


    16.1.07

    Triângulo de tangentes da parábola

    Se tivermos duas tangentes t1 e t2 a uma parábola, a circunferência que passa pelo ponto T de tangência de t1 e é tangente a t2 no ponto A de intersecção de t1 com t2 contém o foco F. A animação seguinte ilustra essa propriedade.



    E estamos em boas condições de resolver o problema seguinte:

    De uma parábola de que se conhecem três tangentes - AB, BC e CA - e o ponto T de tangência de BC, determinar o foco e a tangente no seu vértice.




    2014
    EUCLIDES
    Instrumentos e métodos

    de resolução de problemas de construção