Dados os paralelogramos ABDE e ACFG sobre os lados AB e AC de um triângulo ABC, determinar um paralelogramo BCKL cuja área seja igual à soma das áreas dos outros dois.

Trilátero abc e áreas de paralelogramos construídos sobre a, b, c exteriormente

Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar que há um paralelogramo em que um dos lados é BC equivalente à soma de dois paralelogramos construídos sobre os lados AB e AC exteriormente ao triângulo ABC

O enunciado do problema desta entrada é:
Construir (e demonstrar) que dado um triângulo $\;ABC\;$ qualquer e dois paralelogramos cada um sobre um de dois dos seus lados, por exemplo $\;AB\;$ e $\;AC,\;$ construídos exteriormente ao triângulo dado, construir um paralelogramo sobre o terceiro lado $\;BC\;$ cuja área seja igual à soma das áreas dos primeiros dois paralelogramos.

Pode seguir os passos da nossa construção e notas de demonstração usando a barra de navegação para passos da construção ao fundo do rectângulo de visualização

1. Apresenta-se inicialmente um triângulo $\;ABC\;$ qualquer ($\;A, \;B, \;C\;$ livres no plano da construção)
2. Sobre $\;AB\;$ aparece construído um paralelogramos $\;ABDE\;$ em que $\;D\;$ é um ponto qualquer no exterior de $\;ABC\;$ e no semiplano determinado por $\;AB\;$ sem pontos interiores de $\;ABC.\;$ O quarto ponto $\;E\;$ do paralelogramo é a interseção da paralela a $\;BD\;$ tirada por $\;A\;$ com a paralela a $\;AB\;$ tirada por $\;D\;$
3. De modo análogo se construíu o paralelogramo $\;ACFG\;$ em que $\;F\;$ tem graus de liberdade num semiplano para o exterior de $\;ABC\;$ dos determinados por $\;AC.\;$

17 agosto 2017, Criado com GeoGebra

4. A construção do paralelogramo $\;BCKL\;$ que é tal que $$\;\mbox{Área de}\;\; [BCKL] = \mbox{Área de}\;\; [ABDE] + \mbox{Área de}\;\; [ACFG]\;$$ apoia-se exclusivamente na Proposição XXXV. PROB. do LIVRO I de “Os Elementos”: Os paralelogramos que estão sobre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, são iguais.
   • Como as retas $\;AB\;$ e $\;AC\;$ se intersetam em $\;A\;$ também as suas paralelas a $\;AB\;$ tirada por $\;D\;$ e a $\;AC\;$ tirada por $\;F\;$ se interseta, denominemos por $\;H\;$ o ponto $\;DE.FG$
   • E se considerarmos os paralelogramos $\;ABB’H \;$ e $\;ACC’H\;\; (BB’ \parallel CC’ \parallel AH, \;$ pela proposição referida acima, verificam-se as equivalências: $\;[ABDE] \simeq [ABB’H]\;$ e $\;[ACFG] \simeq [ACC’H].\;$
   • Repare-se que estes paralelogramos têm em comum um lado $\;AH\;$ com os mesmos comprimento e direção de $\;BB’\;$ e $\;CC’\;$
   • Se tomarmos as retas $\;BB’\;$ e $\:CC’\;$ paralelas a $\;AH\;$ podemos considerar novos paralelogramos entre a reta $\;AH\;$ (que é a mesma que $\;MN\;$ em que $\;M\;$ é $\;AH.BC\;$ e $\;MN=AH\;$) por um lado e por outro $\;BL,\;$ ou $\;CK.\;$ Assim, recorrendo à Prop. XXXV, sabemos que $\;[ABB’H] \simeq [BLNM] \;$ e $\;[ACC’H] \simeq [CKNM].\;$
   • Ora $\;[BLNM] \cup [CKNM] = [BCKL],\;$ que é um paralelogramo, e consideradas as equivalências confirmadas, em consequência $$\; \mbox{Área de}\;\;[BCKL] = \mbox{Área de}\;\;[ABDE] + \mbox{Área de}\;\;[ACFG]$$.
5. Finalmente realçam-se os segmentos que são os lados dos diferentes paralelogramos auxiliares das demonstração e construção do paralelogramo $\;BCKL\;$ cuja área é igual à soma das áreas dos paralelogramos $\;ABDE\;$ e $\;ACFG.\;$ □

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Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947

Crescente equivalente a um triângulo

Um Crescente é equivalente a um triângulo

Apresentamos a seguir uma construção dinâmica a ilustrar a equivalência de um triângulo a um Crescente limitado por dois arcos circulares.

O enunciado do problema desta entrada é:
Demonstrar que um Crescente Vermelho (entre dois arcos) na figura é igual em área a um triângulo.

Para além da superfície que estudamos, apresentam-se inicialmente retas, segmentos e arcos que ajudam a compreender a construção e permitem determinar a sua área da superfície em estudo ou a compará-la com outras áreas. Na construção deve recorrer à barra de navegação para passos da construção e seguir etapas da construção e os raciocínios até à demonstração (acompanhados de fórmulas que não escondem o uso dos axiomas da igualdade em geral e neste caso de igualdade entre áreas)

1. Apresenta-se inicialmente uma circunferência de centro $\;O\;$ e diâmetro $\;AB\;$ e a mediatriz de $\;AB\;$ que intersecta a circunferência em $\;C, \;D.\,$

11 agosto 2017, Criado com GeoGebra

2. A seguir mostra-se a circunferência de centro em $\;D\;$ e raio $\;DA:\;$.
   Como $\;CD\;$ é a mediatriz de $\;AB,\;$ sabemos que $\;AD=BD;\;$ e, como $\;AB\;$ é diâmetro de $\;(O, \;OA)\;$ e $\;D \in (O,\;OA),\;$ o triângulo $\;ABD\;$ é rectângulo em $\;D\;$. Por isso, $\;AB^2= 2AD^2 .\;$ Claro que também podíamos ter usado o facto de $\;ODA\;$ ser triângulo rectângulo em $\;O\;$ para concluir que $\;AD^2 = 2OA^2\;$
3. O semicírculo de centro $\;O\;$ e raio $\;OA\;$ que designamos por $\;\widehat{ACB}\overline{BA},\;$ neste passo evidenciado, tem área $$\; \frac{\pi\times OA^2}{2}= \frac{\pi \times 2.OA^2}{4} =\frac{\pi \times AD^2}{4}\;$$
4. Chamamos Crescente ao que sobra do semicírculo vermelho após retirarmos o segmento circular $\;\widehat{AB}\overline{BA}\;$ do círculo $\;(D,\;DA).\;$
   
5. O segmento circular referido tem área igual à área do que sobra do sector circular $\;D\widehat{AB}\;$ (quarto do círculo) $$\;\frac{\pi \times AD^2}{4}$$ depois de lhe retirarmos o triângulo $\;ABD\;$ rectângulo em $\;D\;$ de área $$\; \frac{AD^2}{2}$$
Por um lado a área do Crescente é igual à área do semicírculo de centro $\;O\;$ e raio $\;OA\;$ $$\frac{\pi \times AD^2}{4}$$ subtraída da área do segmento que é, como vimos, $$\frac{\pi \times AD^2}{4} - \frac{AD^2}{2} $$ ou seja, $$ \mbox{Área do Crescente} = \frac{\pi \times AD^2}{4} - \left(\frac{\pi \times AD^2}{4} - \frac{AD^2}{2}\right)= \frac {AD^2}{2}= \mbox{Área do triângulo}\,\;\; ABD $$ como queríamos demonstrar.

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Cluzel, R.; Robert, J-P. La Géometrie et ses applications. (Enseignement Technique) Librairie Delagrave. Paris: 1964
Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie -quatrième livre: Les Aires 4. éd.,Librairie Vuibert. Paris:1947