As espíricas, as lemniscatas

Tomemos um segmento de comprimento k e dois pontos F e F'.

É uma espírica (ou lemniscata?) a curva descrita pelos pontos P cujas distâncias a F ( |PF|=r) e F' ( |PF'|=r' ) sejam tais que o seu produto |PF|.|PF'| seja constante (k no caso):

r.r'=k



Pode deslocar os vários elementos - r, para ver o ponto P a descrever a curva - k, para fazer variar as espíricas. Verá que pode obter (uma ou duas) circunferências, elipses, ovais, ... enfim, todas as curvas que se possam obter por cortes do "toro".

Há vários tipos de lemniscatas. Interessante notar que a lemniscata se pode obter por inversão da elipse:
|OP|.|OP'|=1




Das leminiscatas, a mais famosa é a conhecida por lemniscata de Bernoulli

Oval de Descartes

Tomem-se dois segmentos h e k (e um terceiro unitário, para fazer contas) e dois pontos F e F'. Uma oval é o lugar geométrico dos pontos P cujas distâncias a F - |PF|=r - e a F' - |PF'|=r' - sejam tais que
r±hr'=±k




Pode deslocar os vários elementos fazendo variar as ovais, como é óbvio.

A seguir publicamos a animação respectiva.




Usando as ferramentas dos cantos inferior esquerdo e superior direito, pode parar e recomeçar a animação, pode voltar ao princípio, etc.

Cissóides?

Tomamos um ponto O e duas curvas a (a verde) e b (a azul) e uma recta que passa por O e corta ambas as curvas (em P a curva a e em Q a curva b).





A vermelho está assinalado o lugar geométrico dos pontos diferença: |OD|=||OQ|-OP||
A azul fica assinalado o lugar geométrico dos pontos soma: |OS|=|OP|+|OQ|


Pode sempre fazer variar as curvas e o ponto O, obtendo diversos lugares geométricos.
Pode deslocar o ponto P sobre a curva a e ver os pontos D e S a descrever os correspondentes lugares geométricos.

Conchóide de Nicomedes

Há uns anos atrás, para a trissecção de um ângulo com nêusis construí a conchóide de Nicomedes com recurso ao Cinderella





Aqui fica, agora feita com o Geogebra.

Na figura desta entrada, temos uma recta ( a horizontal azul) e um ponto O. As rectas (a verde) que passam por O cortam a azul em pontos P. Os pontos desta última recta que estão a igual a distância de P descrevem uma conchóide de Nicomedes, quando P percorre a recta azul.

A cissóide de Diocles e a parábola

Chamemos curva pedal de uma parábola ao lugar geométrico dos pontos de intersecção das suas tangentes com as suas perpendiculares tiradas pelo seu vértice. A curva pedal da parábola é uma cissóide de Diócles.





Como divertimento próprio da época, estamos a experimentar pequenas animações com o Geogebra.

Inversa da cissóide de Diócles

Cissóide e sua inversa

Quinta cissóide

Tomamos agora um ponto O, uma elipse e uma parábola.
Por O tiramos uma recta r cortando as duas curvas, em P e Q.
A cissóide é o lugar geométrico dos pontos C colineares com O, P e Q e tais que |OC|=||OP|-|OQ||.

Quarta cissóide

Tomamos agora um ponto O, uma elipse e uma hipérbole. Por O tiramos uma recta r cortando as duas curvas, em P e Q.
A cissóide é o lugar geométrico dos pontos C colineares com O, P e Q e tais que |OC|=||OP|-|OQ||.

Terceira cissóide

Tomamos agora um ponto O e duas circunferências a e b. Por O tiramos uma recta r cortando as duas circunferências em P e Q.
A cissóide é o lugar geométrico dos pontos C colineares com O, P e Q e tais que |OC|=||OP|-|OQ||.

Segunda cissóide

Tomamos um ponto O, uma recta a e uma circunferência b. Consideremos as rectas r que passam por O e cortam a recta a e a circunferênica b. O lugar geométricos dos pontos C das rectas r, tais que ||OC|=||OP|-|OQ|| é uma cissóide.





Para cada ponto O, cada recta a e circunferência b há uma cissóide. Pode verificar as mudanças de cissóide, movimentando a circunferência b e a recta a ou os pontos a preto ligados à recta a ou à circunferência b. Pode ver o ponto C a deslocar-se sobre cada cissóide, se deslocar o ponto Q sobre a circunferência b.

Primeira cissóide

Tomem-se duas curvas a e b, um ponto O e uma recta r passando por O que corte as duas curvas em P e Q.
O lugar geométrico dos pontos C da rectar tais que |OC| =||OQ|-|OP|| é a cissóide das curvas a e b relativamente ao ponto O.






No caso da construção desta entrada, tomamos duas rectas para curvas. Pode arrastar as rectas (curvas) e variar a inclinação de de uma delas usando um ponto a verde sobre b. Fixando O e as curvas, pode seguir o curso de C sobre a cissóide respectiva, deslocando P sobre a (que é acompanhado pela variação da recta r). Pode deslocar O, mantendo invariantes as curvas e verificar que para cada O é gerada uma cissóide diferente. Pode variar as curvas e as relações entre elas, mantendo O invariante, e observar as diferentes cissóides para diferentes curvas.

Conchóide de Sluse II

Na construção da conchóide de Sluse, se tomarmos o lugar geométrico dos pontos D sobre OB e simétricos de C, obtemos uma nova conchóide - a negro.

Conchóide de Sluse

A conchóide de Sluse aparece referida no tratado das curvas de FGT. Conhecíamos outras conchóides que abordaremos certamente e que nos pareciam figuras muito parecidas com a figura desta. Mas desta nunca tínhamos ouvido falar. De Sluse também não.

Tomemos um ponto O e um ponto B livre sobre uma recta (vertical azul). E consideremos sobre a recta OB (verde) um ponto C tal que |OB|.|BC|=k, em que k é uma constante (aqui um dado comprimento). A conchoide de Sluse é o lugar geométrico dos pontos C quando B percorre a recta sobre o qual é livre (a vertical azul).

Na animação que se segue, operamos sobre comprimentos com recurso ao teorema de Thales, como fica ilustrado pela construção auxiliar da esquerda. Pode clicar sobre a construção de modo a parar a animação, e a experimentar variar k ou mesmo a unidade de comprimento.



[A.A.M.]


É sempre interessante saber quem é quem. Quem é Sluse? O que fazia? Onde vivia?
Interessante também é imaginar as relações entre as curvas designadas por conchóides.

Folium Parabólico

Temos dedicado os dias do bloGeometria a publicações de construções sobre triângulos e circunferências. Inicialmente anunciámos que a Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi seria o principal suporte à série de construções sobre triângulos. Mas, entretanto, algumas escolhas de construções foram inspiradas em propostas de Quim Castellsaguer, publicadas em Todo Triangulos Web.

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Vamos passar agora por um período de lugares geométricos e animações, a partir de F. Gomes Teixeira e o seu "Traité des courbes spéciales remarquables. Imprensa da Universidade. Coimbra: 1908" já antes citado neste lugar geométrico

Começamos com o folium parabolico que no tratado da curvas de Gomes Teixeira é definido analiticamente por equações em coordenadas cartesianas e polares, mas também pela sugestão do lugar geométrico dos pontos M da animação que se segue.



[AdAM]

A partir do rectângulo OABC e de D a variar sobre a recta AB, tomem-se todos os raios OD. M é o quarto vértice do rectângulo que tem lado MD, diagonal sobre AB e o vértice E sobre BC.

Um exercício pode consistir em escolher o melhor referencial e determinar as equações em (x,y) ou (ρ, θ) satisfeitas pelos pontos do folium.

Problema de Malfatti

Um dos problemas de construção que ocupou algum tempo a António Aurélio e acabou por ser resolvido por Mariana Sacchetti, seguindo uma construção de Steiner, é conhecido como problema de Malfatti. Desistimos de o colocar como um problema interactivo (está aliás proposto no Geometriagon, como exercício 869), mas aqui o deixamos alinhavado.

O problema de Malfatti é o seguinte:

Num triângulo ABC inscrever três círculos, cada um tangente aos outros dois e a dois lados do triângulo.



[M.I.H.B.S.]

A Mariana também estudou e resolveu

• o chamado problema original de Malfatti (Geometriagon 870)
  
  Num dado triângulo, inscrever três círculos somando uma área total máxima


• e o chamado problema dual do problema de Malfatti (Geometriagon 868)
  
  Dados dois círculos circunscrever-lhes os dois triângulos equiláteros de área mínima.

Aqui ficam os enunciados.

Perspectiva de Mannheim

Sejam A’, B’, C’ os pontos de contacto das três circunferências de Mannheimm do triângulo ABC com o circuncírculo. Os triângulos ABC e A’B’C’ estão em perspectiva de centro P.

Centro radical das circunferências de Mannheim

O centro radical da três circunferências de Mannheimm do triângulo ABC é um ponto Cr que é colinear com o incentro I e o circuncentro O.

Circunferências de Mannheim

Além da circunferência tangente aos lados de vértice em C, há duas outras: a tangente aos lados de vértice em A e a tangente aos lados de vértice em B.

Das circunferências de Thebault à de Mannheim

Publicamos de novo uma construção recente: as circunferências de Thebault.








Se deslocar o ponto P sobre a recta BC até coincidir com, por exemplo o vértice C, verificará que a circunferência de centro C2 passa a ter raio 0; a circunferência de centro C1 fica tangente aos lados BC e AC e à circunferência circunscrita - é a chamada “circunferência de Mannheim”.

Nota: Os pontos de tangência da Circunferência de Mannheimm aos lados BC e AC são as intersecções com estas rectas da perpendicular à bissectriz do ângulo em C, tirada pelo incentro I de ABC. Porquê?

Com um duplo clique sobre a figura, tem acesso ao GeoGebra e à construção feita para trabalhar sobre ela ou a partir dela.

Circunferências de Thebault - Propriedades

As seis circunferências de Thebault do triângulo ABC referentes aos pés das cevianas do ponto Ng de Nagel são congruentes à circunferência inscrita no triângulo: r=r₁=r₂=r₃=r₄=r₅=r₆

Circunferências de Thebault - Propriedades

As seis circunferências de Thebault do triângulo ABC referentes aos pés das cevianas do ponto Ng de Nagel são tangentes a uma circunferência de centro no centro O do circuncírculo e de raio ONg.

Círculo de Thebault - Propriedades

Os seis centros das circunferências de Thebault do triângulo ABC referentes aos pés das cevianas do ponto Ng de Nagel situam-se sobre uma circunferência de centro no centro O do circuncírculo.

Circunferências de Thebault

Circunferências de Thebault do triângulo ABC em relação a um ponto P de BC são circunferências tangentes às rectas AP e BC e ao circuncírculo do triângulo.

Triângulo incêntrico

O triângulo incêntrico, A’B’C’, do triângulo ABC é o triângulo ceviano cujos vértices são os pés das bissectrizes.
Verifica-se que o circuncírculo do triângulo incêntrico intersecta o triângulo ABC em três segmentos, A'A’’, B'B’’, C'C’’, tais que o comprimento de um deles é a soma dos outros dois.



Pode deslocar a A, B, ou C para outras posições e verificar que, em qualquer caso, a soma de comprimentos de dois dos segmentos A'A'', B'B'', C'C'' é igual ao comprimento de um terceiro.

Triângulos Porísticos

Dois triângulos dizem-se porísticos se têm o mesmo incírculo e o mesmo circuncírculo.
Exercício interacitvo:
Na construção abaixo, é dado o triângulo ABC. Determine o seu triângulo porístico de que é dado o vértice P.

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A construção restaurada não se apresenta como um exercício interactivo. Para ver os passos da construção que permite resolver o problema colocado, desloque o cursor |n=1| de 1 a 10. No final, terá um triângulo de vértice P tal que os seus circuncírculo e incírculo são os mesmos do triângulo ABC. Claro que para haver solução é necessário que P seja um ponto do circuncírculo de ABC, como acontece no nosso caso.



Deslocando P sobre o circuncírculo ABC, verá que os diversos triângulos PQR, porísticos de ABC, são diferentes uns dos outros (para isso, se mostram os comprimentos de cada um dos lados de cada PQR)

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Porisma: s. m. || (matem.) problema, cuja solução consiste em tirar das condições expostas no enunciado uma verdade geométrica. F. gr. Porisma.
Porístico: relativo a porisma
(Dicionário Aulete)

Triângulos de Sharygin

No triângulo ABC, seja:
- A’ o pé da bissectriz do ângulo interno A;
- B’ o pé da bissectriz do ângulo interno B;
- C’ o pé da bissectriz do ângulo interno C;

- A’’ o pé da bissectriz do ângulo externo de vértice A;

- B’’ o pé da bissectriz do ângulo externo de vértice B;

- C’’ o pé da bissectriz do ângulo externo de vértice C.


Tracemos as mediatrizes dos segmentos AA’, BB’, CC’. O triângulo definido por estas três rectas é o “primeiro triângulo de Sharygin”.







Tracemos as mediatrizes dos segmentos AA’’, BB’’, CC’’. O triângulo definido por estas três rectas é o “segundo triângulo de Sharygin”.






Os dois triângulos são semelhantes.
O eixo de perspectiva ente o triângulo ABC e os dois triângulos de Sharygin é a recta de Lemoine

Triângulo de Grossard

A recta de Euler do triângulo ABC (a azul) intersecta a recta AB em E₁, a recta BC em E₂, a recta AC em E₃.
A recta de Euler do triângulo BE₁E₂ é a recta O₁H₁.
A recta de Euler do triângulo AE₁E₃ é a recta O₂H₂.
A recta de Euler do triângulo CE₂E₃ é a recta O₃H₃.
Estas três rectas de Euler, a vermelho, definem o triângulo de Grossard.
O triângulo de Grossard e o triângulo ABC são congruentes.

Triângulo de Carnot

No triângulo ABC, determinemos o seu ortocentro H. Sejam.
- A’ o circuncentro da circunferência BCH;
- B’ o circuncentro da circunferência ACH;
- C’ o circuncentro da circunferência ABH.
O triângulo A’B’C’, designado por triângulo de Carnot, é congruente com o triângulo ABC.



[A.A.M.]

Triângulo de Morley e associados

A construção seguinte sintetiza o conjunto dos trabalhos publicados sobre os triângulos de Morley e associados.

Terceiro triângulo de Morley

As intersecções das trissectrizes ( na fig. a ponto traço) consecutivas dos âgulos externos (no sentido usual) de um triângulo ABC são vértices do chamado terceiro triângulo de Morley (a verde)

Segundo triângulo de Morley

Dado um triângulo ABC, as intersecções das trissectrizes consecutivas dos ângulos exteriores a ABC, conforme a construção que se segue, são vértices do segundo triângulo de Morley.

Triângulo de Morley e associados

Intersectando do modo indicado na construção trissectrizes de ângulos internos com trissectrizes de ângulos externos, obtêm-se, a partir do triâgulo de Morley, quatro outros triângulos equiláteros.

Polares trilineares dos vértices do triângulo de Morley

As polares trilineares dos vertices do triângulo de Morley relativo ao triângulo ABC formam um triângulo ApBpCp em perspectiva com o triângulo ABC

Triângulos em perspectiva - Morley e dos exincentros

O triângulo de Morley e triângulo dos exincentros estão em perspectiva.


[A.A.F.]

Triângulos em perspectiva

Peter Iff provou que o triângulo ABC e o triângulo de Morley estão em perspectiva, como pode ver-se pela construção seguinte.



[A.A.F.]

Triângulos de Morley e tangencial

O triângulo de Morley e triângulo tangencial (ver em: Ponto de Exeter ) estão em perspectiva.



[A.A.F.]

Mais triângulos

Mais alguns triângulos especiais:
Ao longo desta incursão pelo fascinante mundo dos triângulos, já referimos alguns triângulos especiais: triângulo pedal, triângulo mediano, triângulo tangencial, triângulo de Brocard, etc
Vamos referir mais alguns casos:

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Triângulo de Morley

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No triângulo ABC, dividamos cada um dos ângulos internos em três partes iguais. As intersecções das seis rectas, tomadas duas a duas, tal como se indica na construção, determinam três pontos. Esses três pontos são os vértices de um triângulo equilátero, dito “Triângulo de Morley”.


[A.A.M]

Triângulos de Yff

Cada par de rectas perpendiculares tiradas pelo ponto de Yff às bissectrizes dos ângulos internos formam com cada lado um triângulo. Os três triângulos assim obtidos são equivalentes.

[A.A.F.]

Incentro, Yff e um baricentro: recta de Euler

Seja A’ a primeira intersecção da bissectriz de A com o incírculo;
seja B’ a primeira intersecção da bissectriz de B com o incírculo;
seja C’ a primeira intersecção da bissectriz de C com o incírculo.

A recta definida pelos pontos I e Y contem o baricentro G’ e o ortocentro H´do triângulo A’B’C’, ou seja, é a recta de Euler deste triângulo.


[A.A.F]

PONTO de YFF

No triângulo ABC tracemos as bissectrizes dos ângulos internos e, em seguida, as bissectrizes dos três ângulos de vértice em I:
- seja A’ a intersecção da bissectriz de BIC com o lado BC;
- seja B’ a intersecção da bissectriz de AIC com o lado AC;
- seja C’ a intersecção da bissectriz de AIB com o lado AB.

As cevianas AA’, BB’, CC’ intersectam-se no ponto Y de Yff.

Ponto de Steiner, triângulo de Brocard, ponto de Lemoine

No triângulo ABC, tracemos o círculo de Brocard (diâmetro OLe). Determinemos o primeiro ponto de Brocard, Br1. As cevianas referentes a Br1 definem sobre o círculo de Brocard os vértices A’B’C’ do primeiro triângulo de Brocard. O ponto de Steiner de A’B’C’ é o ponto de Lemoine Le de ABC.
A verificação de que se trata do ponto de Steiner de A’B’C’ está feita com a intersecção do circuncírculo de A´B´C´com a circunferência definida pelos pontos A’’B’’C'’.

Ortologia, recta dos pontos isodinâmicos, ponto de Steiner

No triângulo ABC, determinemos os pontos isodinâmicos (isogonais dos pontos de Fermat; obtêm-se pela intersecção dos três círculos de Apolónio): W1, W2. Tracemos as simétricas da recta W1W2 relativamente às bissectrizes internas do triângulo ABC: a´, b’, c’. O triângulo A’B’C’ formado por estas três rectas é ortológico em relação a ABC. O primeiro centro de ortologia é o ponto de Steiner.

Ortologia, recta de Brocard, ponto de Steiner

No triângulo ABC, tracemos a recta de Brocard rLe (a verde, definida pelos pontos O e Le). As simétricas de rLe em relação a cada bissectriz dos ângulos internos formam um triângulo A’B’C’, ortológico de ABC. Determinemos o primeiro centro de ortologia, traçando perpendiculares por A a a’, por B a b’, por C a c’. Verifica-se que o ponto procurado é o ponto de Steiner St do triângulo ABC.



(A verificação de que se trata do ponto de Steiner está feita com a circunferência auxiliar AB₁C₁.)

Bissectrizes e triângulos ortológicos

No triângulo ABC tomemos as bissectrizes dos ângulos internos e uma recta qualquer r. Verifica-se que as simétricas de r em relação a cada bissectriz formam um triângulo A´B´C´ortológico de ABC; o primeiro centro de ortologia situa-se no circuncírculo.

Triângulo ortológico

Dois triângulos ABC (de lados a, b, c) e A’B’C’ (de lados a’, b’, c’) dizem-se ortológicos se as perpendiculares tiradas de A para a’, de B para b’, de C para c’ se intersectam num ponto – primeiro centro de ortologia O1.
Reciprocamente, as perpendiculares tiradas de A’ para a, de B’ para b, de C’ para c também se intersectam num ponto – segundo centro de ortologia O2.

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Neste tempo de recuperar para a visibilidade o que deixara de ser visto, António Aurélio Fernandes encontrou o texto---- Francisco J. García Capitán. Triángulos ortológicos. Septiembre de 2005 ---- que se recomenda a quem queira saber se é ortológico.:-)

Hexágono e círculo de Lemoine

No triângulo ABC, determinemos o ponto de Lemoine Le. Por Le tracemos paralelas aos lados do triângulo: os seis pontos de intersecção com os lados do triângulo ABC definem o hexágono de Lemoine. Existe um círculo circunscrito ao hexágono: é o círculo de Lemoine t de centro T.
Verifica-se que o ponto T é o ponto médio do segmento OLe; coincide, portanto, com o centro do círculo de Brocard.


[A.A.F.]
O eixo radical de circuncírculo(?) e do círculo de Lemoine é a recta de Pascal do hexágono de Lemoine.

?
[A.A.F.]

Polar trilinear do ponto de Tarry e recta de Euler

A polar trilinear do ponto de Tarry e a recta de Euler são perpendiculares e intersectam-se num ponto da circunferência de Brocard.



[AAF]

Ponto de Steiner, ponto de Tarry e recta de Brocard

Tomemos os pontos de Steiner, de Tarry e as intersecções da recta de Brocard (definida por O e Le) com o circuncírculo. Estes quatro pontos definem um rectângulo inscrito no circuncírculo. Os lados do rectângulo são paralelos aos eixos das elipses de Steiner.


[A.A.F.]

Polar do baricentro em relação ao círculo de Brocard

A polar do baricentro G em relação ao círculo de Brocard contém o ponto de Steiner.


[A.A.F.]