Ponto de Tarry e recta de Lemoine

A recta de Simson do ponto de Tarry é paralela à recta de Lemoine.



[A.A.F.]

Triângulo de Neuberg

O “triângulo de Neuberg” tem como vértices os centros dos círculos de Neuberg. O triângulo ABC e o triângulo de Neuberg estão em perspectiva, com o centro de perspectiva no ponto de Tarry.


[A.A.F]

Eixo radical dos circuncírculo e círculo de Brocard

Exercício interactivo

---

Determine o eixo radical do circuncírculo e do círculo de Brocard do triângulo [ABC], conhecidos o circuncírculo, o círculo de Brocard, o ponto e a recta de Lemoine.

Ponto de Tarry de um triângulo de Brocard

Eixos das elipses de Steiner

As elipses de Steiner têm eixos sobre as mesmas rectas. A recta do eixo secundário (menor) é bissectriz comum aos ângulos L_eGS_t e OGT_y.



<[A.A.F.]

Ponto de Tarry

No triângulo ABC , consideremos o diâmetro do circuncírculo que contem o ponto St de Steiner. O outro extremo do diâmetro é o chamado “ponto de Tarry”.


[A.A.F.]
No triângulo ABC , desenhemos a cevianas referentes ao ponto Ty de Tarry. Cada círculo de Neuberg passa por um vértice e tem centro na intersecção da ceviana que passa por esse vértice com a mediariz do lado definido pelos outros dois vértices.

Sobre as elipses de Steiner

A elipse de Steiner circunscrita ao triângulo ABC é a elipse circunscrita de área mínima. Também chamamos elipse de Steiner inscrita à elipse inscrita de área máxima. Ambas são centradas em G e os pontos de tangência da elipse inscrita são os pontos médios dos lados do triângulo.



[A.A.F.]

Ponto de Steiner e recta de Euler

Sejam P e Q os pontos em que a recta de Euler do triângulo ABC intersecta o circuncírculo; H é o ortocentro e Re o retrocentro (conjugado isotómico de H); St é o ponto de Steiner. As três rectas StP, StQ, HRe formam um triângulo rectângulo com o ângulo recto em St.
A elipse circunscrita ao triângulo ABC contém também os vértices do triângulo StMN.
É a chamada "elipse circunscrita de Steiner".
Note-se que os simétricos A', B', C' respectivamente de A, B, C são também pontos da elipse; ou seja, o centro da elipse é o baricentro G. De entre as elipses circunscritas, esta goza da propriedade de ter a área mínima.


[A.A.F.]

A recta de Simson a partir do ponto de Steiner

No triângulo ABC tomemos o ponto St e tracemos a sua recta de Simson (definida pelas projecções de de St sobre os lados do triângulo). Determinemos os pontos Br₁ e Br₂ de Brocard e a recta por eles definida. Verifica-se que as rectas são perpendiculares. Logo a recta de Simson de St e a recta de Brocard (definida por O e Le) são paralelas.


[A.A.F.]

Ponto de Steiner e Recta de Lemoine

No triângulo ABC tomemos o ponto Le de Lemoine e determinemos a sua polar trilinear rLe (a verde cheio). Traçando as três isogonais da recta de Lemoine (uma por vértice do triângulo) verifica-se que elas se intersectam no ponto de Steiner que é o mesmo que dizer que o ponto isogonal do ponto do infinito da recta de Lemoine é o ponto de Steiner.
Traçando uma paralela (a verde tracejado) à recta de Lemoine por qualquer um dos vértices – seja, por exemplo, o vértice A - a sua isogonal - simétrica dessa paralela em relação à bissectriz (amarelo tracejado) - é uma recta (a verde tracejado) que passa pelo ponto St de Steiner.



[A.A.F.]

Da polar trilinear para o pólo

A pedido de um leitor anónimo, apresentamos a resposta à pergunta:
Dada uma recta e um triângulo de que ela é polar trilinear, como se determina o pólo correspondente?



[A.A.M.] reconstrutor de serviço

---

Consideramos que a resposta está na entrada Polar trilinear de 9 de Dezembro de 2008. Mas aqui fica tratado o problema posto.

---

Na construção dinâmica, que pode seguir por etapas, ao deslizar o cursor ao fundo da janela, parte-se da polar p e para determinar o pólo P respectivo, seguem-se os passos:

1. Determinam-se os pontos de intersecção da recta p com os lados do triângulo ABC - P'_a, P'_b e P'_c.


2. O vértice P_c do triângulo ceviano de ABC que procuramos separa harmonicamente os pontos A, B e P'_c e que é colinear com os pontos C e Q, este último a separar harmonicamente os pontos P'_a, P'_b e P'_c. A determinação de P_c ou de Q faz-se pela construção de um quadrilátero completo de que CQ é diagonal


3. Determinado P_c, imediatamente se determinam P_a e P_b tirando as rectas P'_a P_c e P'_bP_c que intersectam os lados de ABC em P_a e P_b. A recta P'_cP_a passa por P_b e, por isso P_aP_bP_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar p nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.


4. As cevianas AP_a, BP_{b e CPc intersectam-se no pólo P, correspondente à polar trilinear p}

Recta de Steiner

Tomemos um ponto P qualquer sobre o circuncírculo; os simétricos Pa, Pb, Pc de P em relação a cada lado são colineares; se P for o ponto de Steiner, a recta obtida é a recta de Steiner.


Na construção dinâmica, que se segue, pode verificar os resultados para qualquer P do circuncírculo e pode deslocá-lo até ser coincidente com o Ponto de Steiner e a recta dos simétricos de P ser a recta de Steiner. Também pode deslocar os vértices do triângulo.


[AAF]

O ponto de Steiner e o ponto G

No triângulo ABC, sejam
- A’ o simétrico de A em relação a G
- B’ o simétrico de B em relação a G
- C’ o simétrico de C em relação a G;
as três circunferências definidas pelos conjuntos de ternos de pontos AB’C’, BA’C’, CA’B’ intersectam-se num ponto do circuncírculo - ponto de STEINER. A cada uma das três circunferências dá-se o nome de “círculo de Steiner”



Nesta construção dinâmica, criada com GeoGebra, pode deslocar os vértices do triângulo para verificar.

Ponto de Steiner e triângulo de Brocard

No triângulo ABC sejam O o centro do circuncírculo e Le o ponto simediano (ou de Lemoine). O círculo de diâmetro OLe é o círculo de Brocard, como vimos. Por O tracemos perpendiculares aos lados a, b, c; as suas intersecções com o círculo de Brocard são os vértices A’, B’, C’ do “primeiro triângulo de Brocard”. Por A tracemos uma paralela ao lado B’C’, por B uma paralela ao lado A’C’, por C uma paralela ao lado A’B’: as três rectas intersectam-se no ponto de Steiner. O ponto de Steiner é sempre um ponto do circuncírculo.




Sobre esta construção, criada com GeoGebra, pode deslocar os vértices para verificar os invariantes. A única ferramenta - ao cimo à direita - permite-lhe voltar ao ponto de partida. Se precisar da aplicação GeoGebra, basta clicar duas vezes sobre o quadro dinâmico.

Pontos de Fermat, pontos isodinâmicos e ponto de Lemoine

No triângulo ABC determinemos:
- os pontos V1 e V2 de Fermat (ou pontos isogónicos)
- os pontos isodinâmicos W1 e W2 (que são os pontos isogonais dos pontos de Fermat)
- o ponto Le de Lemoine.
As polares trilineares dos pontos V1, V2, W1, W2 formam um paralelogramo - resultado inesperado! Mas há mais: uma das diagonais do paralelogramo é a polar trilinear (ou recta de Lemoine) do ponto Le.





As ferramentas disponíveis permitem verificar, sobre a construção dinâmica, os resultados apresentados.

Os três pontos e as três rectas

Nas últimas entradas, andámos a ver rectas definidas inicialmente de um modo, podiam ser definidas e construídas de outro modo. Por exemplo, a recta de Lemoine apareceu definida como polar trilinear do ponto de Lemoine e como eixo radical de duas circunferências. Na construção de hoje, a tracejado castanho, fica sugerido (só?) que a recta de Lemoine também pode ser obtida (e definida?) como polar do ponto Le - ponto de Lemoine - relativamente ao circuncírculo.

Mas o que a construção de hoje quer tornar patente (dinamicamente falando) é que à colinearidade vermelha dos pontos Re, G e Le corresponde o facto das rectas p_Re, eo e r_Le se intersectarem num ponto vermelho. Como se esperava?



[A.A.F.]
o que não mantém as notações do texto


Estes trabalhos de pontos e rectas do triângulo foram acompanhados por Paulo Correia que se lembrou de nos dar a conhecer o trabalho notável (também de paciência!) da equipa de Humberto Bortolossi que fez construções dinâmicas de 1000 pontos notáveis (de cada vez) a mostrar-nos comportamentos das suas posições relativas para diferentes triângulos que nos deixam maravilhados. A primeira impressão que tive foi "isto é um vespeiro!". Obrigado, Paulo!

Chegados aqui, temos de dizer que do lado da persistência nas construções geométricas estão António Aurélio Fernandes e Mariana Sacchetti (que não deixam descansar os livros velhos e novos e tornam a vida de todos nós muito mais dinâmica!).

Polar trilinear do Retrocentro

No artigo Recíproco do Ortocentro , de 16 de Agosto de 2008, apresentávamos uma construção do retrocentro de um triãngulo. Sobre cada lado do triângulo tomávamos o seu ponto médio e, relativamente a ele, o simétrico do pé da altura. As cevianas - segmentos de cada vértice para esses simétricos dos pés das alturas - encontram-se no Retrocentro. No mesmo artigo, uma outra construção ilustrava, dinamicamente, que o Retrocentro é colinear com os primeiros pontos de Gergonne e de Nagel.

Neste artigo de hoje, ilustra-se a construção (a verde e castanho) da polar trilinear do Retrocentro.



[A.A.F.]

Pode verificar a estabilidade, deslocando os vértices do triângulo [ABC]

Eixo órtico como eixo radical

O eixo órtico do triângulo ABC é simultaneamente o eixo radical dos seus circuncírculo e círculo dos nove pontos.

A azul está a construção do eixo radical das circunferências - circuncírculo e círculo dos nove pontos.
A verde está a construção do eixo órtico.




[A.A.F.]

Eixo radical e recta de Lemoine

A recta de Lemoine é a polar trilinear do ponto de Lemoine (ponto em que as simedianas do triângulo se cruzam), mas é também o eixo radical dos circuncírculo e círculo de Brocard, ambos na figura.

A vermelho está a construção do eixo radical das circunferências - circuncírculo e círculo de Brocard.
A verde está a construção da polar trilinear do ponto, L, de Lemoine.




[A.A.F]

Do eixo antiórtico ao seu triângulo (II)

Exercício Interactivo

De um triângulo ABC conhecemos o seu eixo antiórtico r_ao, a recta c que contém o lado AB e os vértices A e C.
Determine B.

Do eixo antiórtico ao seu triângulo

Exercício Interactivo

De um triângulo ABC conhecemos o seu eixo antiórtico r_ao, a recta c que contém o lado AB, o vértice C e o pé T_B da bissectriz do ângulo B no lado oposto.
Determine A e B.

Propriedade do eixo órtico

No triângulo ABC a retcta de Euler e o eixo órtico são perpendiculares. O ponto de intersecção das duas rectas é designado por X(468) no catálogo de Kimberley.



[A.A.F.]

Eixo Órtico

Sejam P um ponto do plano do triângulo ABC e P_aP_bP_c os vértices do seu triângulo ceviano. H é o ortocentro. Determinemos os pontos A’, B’, C’ tais que:
- A’ a intersecção do lado BC com a perpendicular por A à recta HP_a;
- B’ a intersecção do lado AC com a perpendicular por B à recta HP_b;
- C’ a intersecção do lado BA com a perpendicular por C à recta HP_c.

Os pontos A´, B’, C’ são colineares e a recta que definem é perpendicular a HP.



[A.A.F.]

Se P for o baricentro G, tal recta é o “eixo órtico”




[A.A.F.]

Propriedade do eixo antiórtico

Tomemos um ponto qualquer P sobre o eixo antiórtico. e calculemos as distâncias de P a cada lado. Uma das distâncias é a soma das outras duas.



[A.A.F.]

Pode movimentar os pontos A,B, C e P para verificar a invariância do resultado.

Propriedade do eixo antiórtico

Para cada par de circunferências exinscritas, há uma homotetia positiva que transforma uma das circunferências na outra: o centro obtem-se pela intersecção das tangentes comuns exteriores; como podemos considerar três pares de circunferências, temos três centros de homotetia. Os três centros de homotetia situam-se sobre o eixo antiórtico.



[A.A.F.]

Propriedade do eixo antiórtico

As bissectrizes externas de um triângulo ABC passam pelos pontos definidores da polar trilinear do seu incentro ou eixo antiórtico. Ou seja, os pés das bissectrizes externas estão sobre o eixo antiórtico.



[A.A.F.]

Eixo antiórtico

O eixo antiórtico de um triângulo ABC é a polar trilinear do seu incentro.



[A.A.F.]

Propriedade da recta de Gergonne

De um triângulo ABC, consideremos os dois triângulos EaEbEc dos exincentros e MaMbMc dos pontos médios dos lados. Existe uma homologia que transforma um no outro, cujo eixo é a recta de Gergonne.




A.A.F.]

Recta de Gergonne

No triângulo ABC, Ge é o seu ponto de Gergonne. Se determinarmos a sua polar trilinear, obtemos a “recta de Gergonne”.



[A.A.F.]

Polar trilinear

Há uma homologia que transforma o triângulo ABC no seu triângulo ceviano PaPbPc: o centro é o ponto P, o eixo é a recta p; esta recta é a “polar trilinear” de P em relação a ABC; P é o “pólo trilinear” de p em relação a ABC.

Sejam Pa’ a intersecção de p com a recta BC , Pb’ a intersecção de p com a recta AC, Pc’ a intersecção de p com a recta AB. Verifica-se que:
Pa’ é conjugado harmónico de Pa em relação a B e C
Pb’ é conjugado harmónico de Pb em relação a A e C
Pc’ é conjugado harmónico de Pc em relação a A e B.




[A.A.F.]

Triângulos ceviano e anti-ceviano

No plano do triângulo ABC tomemos um ponto P não pertencente a nenhum dos lados. Seja Pa a intersecção de AP com o lado a, Pb a intersecção de AP com o lado b, Pc a intersecção de AP com o lado c. O triângulo PaPbPc é o “triângulo ceviano” do triângulo ABC em relação ao ponto P.
Se partirmos do triângulo PaPbPc, o triângulo ABC é o seu anticeviano; ou seja, o anticeviano de ABC é um triângulo em relação ao qual ABC é o triângulo ceviano.



[A.A.F.]

Outra propriedade do Ponto de Bevan com círculos

Propriedade:
No triângulo ABC, consideremos o triângulo I_aI_bI_c dos exincentros; por cada um dos seus vértices, tiremos perpendiculares às bissectrizes de ABC: obtém-se o triângulo A₁B₁C₁. Verifica-se que:
- o circuncentro do triângulo A₁B₁C₁ é o incentro I do triângulo ABC;
- o centro do círculo de nove pontos do triângulo A₁B₁C₁ é o ponto de Bevan do triângulo ABC.




[A.A.F.]

Ponto de Bevan, Circuncentro e Incentro

Propriedade:
De um triângulo qualquer ABC, são colineares o ponto de Bevan, o circuncentro e o incentro. O circuncentro é o ponto médio do segmento de extremos nos ponto de Bevan e incentro.



[A.A.F]

Ortocentro, pontos de Bevan e Spieker

Propriedade:
Os pontos de Bevan e Spieker são colineares com o ortocentro, sendo o ponto de Spieker médio do segmento que une o ponto de Bevan ao ortocentro.



[A.A.F.]

Outra determinação do Ponto de Bevan

O circuncentro do triângulo dos exincentros I_a, I_b e I_c é o ponto de Bevan, o que é o mesmo que dizer que as mediatrizes do triângulo dos exincentros se intersectam no ponto de Bevan.

Ponto de Bevan

No triângulo ABC, tomemos os três exincentros I_a, I_b, I_c. Por cada um deles tiremos perpendiculares respectivamente aos lados a, b, c. As três perpendiculares intersectam-se num ponto: “ponto de Bevan” Bv.



[A.A.F.]

Pontos Mediano,Incentro e de Lemoine

Propriedade:
O ponto mediano Md, o incentro I e o ponto simediano K (Lemoine) são colineares. [A.A.F.]

Pontos Mediano, Spieker e Ortocentro

Propriedade:
Num triângulo, os pontos mediano Md, de Spieker Sp e ortocentro H são colineares.


[A.A.F.]

Pontos Mediano, Gergonne e Baricentro

Propriedade:
Num triângulo, os pontos mediano Md, baricentro G e de Gergonne Ge são colineares. Verifica-se que d(G, Ge) = 2 d(G, Md).



[A.A.F.]

Ponto Mediano (?) (mitten punkt, middle point)

Dado o triângulo ABC, tomemos o triângulo I_aI_bI_c dos seus exincentros
Vamos determinar o ponto simediano de I_aI_bI_c; teremos, como se sabe, de determinar as simétricas das medianas em relação às bissectrizes. Como se pode verificar na construção feita em relação ao vértice I_b, a simétrica da mediana I_bM_b' passa pelo ponto médio M_b do lado b do triângulo ABC. Para obter o ponto semi-mediano de I_aI_bI_c basta, portanto, traçar as rectas I_aM_a,I_bM_b, I_cM_c. O ponto de intersecção destas três cevianas (uma por cada triângulo) é o chamado "ponto mediano" M_d.



[A.A.F.]

Pontos de Feuerbach e Euler

O ponto de Feuerbach é o ponto de reflexão de Euler da recta OI relativamente ao triângulo dos pontos de tangência do incirculo com o triângulo [ABC].
A recta OI é a recta de Euler do triângulo dos pontos de tangência do incírculo com o triângulo [ABC].


[M.I.H.B.S.]

Ponto de Euler

A recta e de Euler pode reflectir-se em cada um dos lados a=BC, b=CA e c=AB sendo as imagens de e por essa reflexão as retas e_a, e_b e e_c respectivamente. E estas têm um ponto comum designado por E - ponto de Euler.

Esta construção é, em certa medida e em parte, repetida na construção que se segue:

---

No triângulo [ABC], tomemos os centros A', B' e C' dos triângulos equiláteros construídos sobre os seus lados. As quatro circunferências definidas pelos ternos de pontos ABC, AB'C', BC'A' e CA'B' intersectam-se no ponto E de Euler.

Nota: As etapas 2 a 5 respondem ao enunciado acima. A etapa 6 chama-nos à atenção para o seguinte:
Se é verdade que as circunferências ABC, AB'C', BC'A' e CA'B' têm um ponto comum, então,
também têm um ponto comum as circunferências A'B'C', A'BC, B'CA e C'AB que é o ponto E' = F de Feuerbach.

Ponto de reflexão de Euler

Os circuncentro, ortocentro e baricentro estão alinhados sobre a recta de Euler. As transformadas da recta de Euler por reflexão relativamente a cada um dos lados do triângulo [ABC] (como eixos da reflexão) encontram-se num ponto do circuncírculo a que damos o nome de ponto de reflexão de Euler.



[A.A.F.]

Ponto de Fhurmann

Consideremos o triângulo ABC e o seu círculo circunscrito.
Tomemos sobre a circunferência A' ponto médio do arco BC, B' ponto médio do arco AC e C' ponto médio do arco AB.
Chama-se "triângulo de Fhurmann" ao triângulo A''B''C'', sendo A'' simétrico de A' em relação a BC, B'' simétrico de B' em relação a AC, C'' simétrico de A' em relação a AB,
O circuncírculo de A''B''C'' é o "círculo de Fhurmann" e o seu centro é o "ponto de Fhurmann.

[A.A.F.]

---

O segmento definido pelo incentro I e pelo ponto de Fhurmann Fh tem o centro N do círculo de nove pontos como ponto médio: Fh é simérico de I em relação a N.

O segmento definido pelo circuncentro O e pelo ponto de Fhurmann Fh tem o ponto Sp como ponto médio: Fh é simétrico de O em relação a Sp.


[A.A.F.]

Ponto de Schiffler

Seja I o centro do círculo inscrito a [ABC]. Definamos os seguintes triângulos: [AIB], [AIC], [BIC].
Schiffler provou que as rectas de Euler dos quatro triângulos têm um ponto comum; designámo-lo por Sch.



[A.A.F]


e – recta de Euler do triângulo [ABC]
e1 – recta de Euler do triângulo [AIB]
e2 – recta de Euler do triângulo [BIC]
e3 – recta de Euler do triângulo [AIC]

Ponto de Exeter

Foi na Phillips Exeter Academy em 1986 que "nasceu" mais este ponto. Obtem-se do seguinte modo:
- dado o triângulo [ABC], traça-se o seu circuncírculo;
- desenha-se o triângulo [A'B'C'] formado pelas tangentes ao circuncírculo nos pontos A, B, C (triângulo tangencial);
- traçam-se as medianas de [ABC] e sejam A'', B'', C'' as intersecções das medianas com o circuncírculo;
- as rectas A'A'', B'B'', C'C'' intersectam-se no "ponto de Exeter", Ex.



[A.A.F]

Como se verifica na construção, o ponto Ex é o centro de perspectiva dos triângulos [A'B'C'] e [A''B''C''].

Ponto de Spieker

Construamos o triângulo [M_aM_bM_c] cujos vértices são os pontos médios do triângulo dado [ABC]. O ponto Sp de Spieker é o ponto de intersecção das três bissectrizes internas do triângulo [M_aM_bM_c].



[A.A.F.]


Tracemos as circunferências exinscritas no triângulo ABC; sejam E_a, E_b, E_c os seus centros.
Estes três pontos definem uma circunferência. Esta circunferência define, com cada uma das exinscritas, um eixo radical; vamos designá-los por e_a, e_b, e_c.
O triângulo formado pelas rectas e_a, e_b, e_c é homotético do triângulo medial de [ABC]; o centro de homotetia é o ponto de Spiecker.



[A.A.F.]

Triângulo pedal de um dos pontos de Kenmotu

Tomemos o ponto Ke₁ de [ABC] e construamos o seu triângulo pedal [A’B’C’].
Um dos pontos de Vecten deste triângulo obtido com quadrados interiores é o próprio ponto Ke₁.
De modo análogo se podia fazer para o triângulo pedal de Ke₂.



[A.A.F]

Pontos de Kenmotu, Brocard, Beltrami e Schoute

No triângulo ABC, sejam Ke₁ e Ke₂ os pontos de Kenmotu e Br₁ e Br₂ os pontos de Brocard. Consideremos uma inversão relativamente ao circuncírculo; sejam K₁ e K₂ os inversos dos pontos de Kenmotu e Be₁ e Be₂ os inversos dos pontos de Brocard (designados por “pontos de Beltrami”).
Os pontos K₁, K₂, Be₁, Be₂ são os vértices de um quadrado. O ponto de intersecção das diagonais é o “ponto de Schoute”, Sch.


[A.A.F.]

Nota: A construção é instável quando os pontos Ke passam de dentro para fora do circuncírculo já que os pontos K da figura são os seus inversos e são calculados para uma das situações.

Pontos de Kenmotu, Lemoine e circuncentro

No triângulo ABC, sejam O o circuncentro e K o ponto de Lemoine. Estes dois pontos situam-se na recta definida pelos pontos Ke₁ e Ke₂.
Ke₁ e Ke₂ separam harmonicamente O e K.



[A.A.F.]