GEOMETRIA

9.10.21

Problema:Triângulo(s). Áreas. Meio Proporcional

Problema: Seja $\;H\;$ o ortocentro do triângulo $\;\Delta[ABC]:\;$ o círculo de diâmetro $\;BC\;$ corta $\;AH\;$ em $\;D\;$.
Demonstra-se que a área do triângulo $\;\Delta[BCD]\;$ é o meio proporcional entre as áreas dos triângulos $\;\Delta [BCH]\;$ e $\;\Delta [BCA]\;$.

A ilustração dinâmica que se segue serve-nos bem como conjectura.
Construções com Geogebra

Notamos que:
a)   $\;x\;$ é o meio proporcional de $\;a \;\mbox{e}\; b\;$ se e só se $\;\frac{ a}{x}\;=\; \frac{x}{b}\;$
b) Nas condições da figura, $\;BC\;$ é um lado dos três triângulos $\;\Delta[ABC],\; \Delta[CDB]\; e \; \Delta[BAC]\;$ ou seja é
   base comum desses três triângulos.
   E as alturas relativas a $\;BC\;$ dos três triângulos são segmentos da reta $\;HAH_aD.\;$ ....

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

5.10.21

Problema resolvido?

Problema:
Num plano são dados: uma circunferência de raio $\;r \;$ e centro $\;P\;$ e uma reta $\;l\;$, sendo $\;d \;$ a distância de $\;P \;$ a $\;l \;$ tal que $\;d \;>\; r \;$.
Se tomarmos $\;M \;$ e $\;N \;$ sobre $\;r \;$ de tal modo que a circunferência de diâmetro $\;MN \;$ seja tangente exterior à circunferência dada. Mostre que existe um ponto $\;A \;$ do plano para o qual todos os segmentos $\;MN \;$ subentendem um ângulo $\;\angle MÂN \;$ constante.

Tiramos um ponto $\;O(0,\;0) \;$, uma reta $\;Ox =l\;$ e uma $\; Oy \;$ (perpendicular a $\; Ox \;$ tirada por $\; O \;$), um ponto $\;P(O,\;d) \;$ de $\; Oy \;$ para centro de uma circunferência de raio $\; r \;$ sendo $\; d > r \;$.
Tomamos por $\; P \;$ uma reta que intersecta $\; Ox \;$ num ponto $\; C(h, 0) \;$ que é centro da circunferência tangente à circunferência $\;(P,\;r) \;$, como na figura se ilustra.

@ geometrias, 5 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
O centro $\; C\;$ de uma circunferência tangente exterior à dada $\;(P,r) \;$ deve ter um raio $\; s \;$ tal que $\; PC =(r+s)\;$ é hipotenusa do triângulo $\;\Delta [OCP]\;$ rectângulo em $\; O \;$ e, pelo Teorema de Pitágoras, $$\; d^2 + h^2 = (r+s)^2$$
Aos extremos do diâmetro da circunferência $\;(C, s)\;$ cortada por $\;Ox\;$ na nossa construção, chamamos $\; M=(h-s, 0)\;$ e $\;\;N=(h+s,0)\;$.
Aceitemos que existe um ponto de $\;Oy, \;\;A(0,\;k), k>0\;$ que satisfaz a condição do problema, ou seja, tal que as amplitudes dos ângulos $\; \angle MAN \;$ se mantêm invariáveis.
Se tirarmos por $\;O \;$ uma reta tangente à circunferência $\;(P,r),\;$ ficamos com um triângulo $\;\Delta[OTP]\;$, retângulo em $\;T\;$, para além do triângulo $\;\Delta[COP]\;$ rectângulo em $\;O\;$.
A circunferência $\;(O,\;T)\;$ corta $\;Oy\;$ num ponto que designamos por $\; A \;$ e, como nos parece óbvio, só nos falta provar que a amplitude $\; \angle MÂN \;$ em causa se mantém invariável, no caso de tomarmos pelo mesmo processo outras retas $\;P, \;C\;$ perpendiculares a tangentes da circunferência $\;(P,\;r)\;$....
Tal se pode provar, recorrendo à circunferência $\; (A,\; O)\;$ e aos seus diferentes sectores circulares com centro em O e construídos de igual modo ao primeiro sempre com as tangentes a $\;(P,\;r).\;$
Não dependem dos raios $\;s\;$ e deslocando o ponto $\; C\;$ podem ser vistos e vista a sua constância em amplitude dos sectores circulares de $\;(A,O).\;$ $\hspace{0.5 cm}\square$

3.10.21

conjectura ou tentação de palpite

Um dia destes de arrumações que não me levam longe, folheei um Calendário Matemático de 1997, - CENAMEC, Centro Nacional para el mejoramiento de la enseñanza de la ciencia (Fundacion Polar), Venezuela - e as folhas do mês de Julho de 1997 ficaram abertas como tentação e obrigação de fazer uma construção dinâmica ligada a um "Un Problema Retador"- Problema Desafiante apresentado por "Andrés Moya Romero".

a) Observe a construção dinâmica que aqui lhe deixamos.
b) Fixe-se em dois pontos: A, que pode mover-se no eixo Oy,
e T, que pode mover-se na circunferência de centro P.
c) Repare na amplitude do ângulo MÂN que toma valores diferentes ao deslocar
A ou T cada um no seu mundo.
d) Procure uma posição de A para a qual pode deslocar o ponto T e com ele as posições de M e N
sem alterar a amplitude de MÂN .

Escreva-nos. Estamos a precisar de receber apoios (ou abandonar o feito e o seu feitio inicial).

21.7.21

experiência com cinderella seguida de experiência com GeoGebra sem qualquer interesse digo eu.

12ortoga3.cdy Uma prenda para António Aurélio Fernandes que vai ter pontos para deslocar... e animar-se....
Se duas circunferências de centros O₁ e O₂ se intersetam em dois pontos C e D e cada uma delas é ortogonal a uma terceira de centro O, então os pontos C e D são inversos relativamente a essa terceira circunferência de centro O

Pode movimentar pontos da figura dinâmica.

A tentativa de restauração de uma entrada de 2013: Inversão ou reflexão relativamente a uma circunferência devolveu a este triste restaurador alguma esperança na Cinderella reencontrada como prenda, um amor antigo que volta. Veremos o que aprendemos com este regresso.
Sei lá. Fico à espera.....
Ora era, já era.

Fiquei à espera. Até me fartar de ver nada. Se passei muito tempo a tentar ver nada, outro tanto passei a conseguir fazer uma construção com cálculos em notas ... de forma que sejam calculados dinamicamente, isto é, variam quando faz variar pontos na construção.

3.7.21

A, B, C, D -> AB e CD. Usando só circunferências e pontos, determinar a posição do ponto comum a AB e CD.

Voltamos a dar algum relevo a um problema (que usa compassos ou circunferências - (centro, raio); (centro, ponto), (ponto, ponto, ponto) - e inversões) que pudemos restaurar a partir de uma entrada de 20 de Junho de 2013. Aqui fica problema deste tempo recorrendo ao geogebra.
Na entrada do dia 5 de Junho, propomos que, com compasso e ponto a ponto, para quatro pontos A, B, C e D dados, determine o ponto de interseção das retas AB e CD.
Ilustram-se a seguir as etapas da resolução desse problema:

Para determinar a intersecção da reta (A,B) com a reta (C,D) recorrendo exclusivamente à circunferência, precisamos transformar, por inversão, essas retas em circunferências.

Para definir uma inversão, basta tomar, como auxiliares, um ponto P e uma circunferência nele centrada.
Por inversão, relativamente a P e à circunferência nele centrada, determinamos
- A' e B'
- a circunferência que passa por A', B', P é o transformado de AB pela inversão
- C' e D'
- a circunferência que passa por C', D', P é o transformado de CD pela inversão
- as circunferências (A',B',P) e (C',D', P) intersetam-se em P e em I' sendo este a imagem, pela inversão definida, do ponto de intersecção I de (A,B) com (C,D)
Determinar I é feito usando a mesma inversão auxiliar, relativamente à qual determinamos o correspondente de I'

Este processo pode ser utilizado para determinar a intersecção de duas figuras — retas com circunferências, circunferências com circunferências, etc.