TEOREMA DE SIMSON: Se de um ponto tomado sobre a circunferência circunscrita a um triângulo baixarmos perpendiculares a cada lado do triângulo, os pontos assim obtidos estão em linha reta
PROBLEMA: Demonstrar que são colineares os pés das perpendiculares aos lados de um triângulo tiradas de qualquer ponto da circunferência circunscrita
F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, (http://gallica.fr)- Théorème de Simson. 22. Si d'un point pris sur la circonférence circonscrite à un triangle, on abaisse des perpendiculaires sur chaque côté du triangle, les trois points ainsi obtenus sont en ligne droite.
Ce théorème s'énonce quelque fois comme il suit:
Les projections d'un point quelconque de la circonférence circonscrite à un triangle, sur chaque côté de ce triangle, sont en ligne droite.
\;\fbox{n=1}:\; Apresentam-se um triângulo \;[ABC],\; a circunferência \;(ABC)\; e um ponto \;P\; nelaa
\;\fbox{n=2}:\; As perpendiculares tiradas por \;P\; a cada uma das retas \;BC, \;CA, \; AB\; do trilátero \;ABC,\; determinam os respetivos pés \;D, \;E, \;F.\;
\;\fbox{n=3}:\; E, para a posição de \;D, \;E, \;F\; da nossa figura inicial,ficam determinados dois quadriláteros convexos \;[FAEP],\;[PCDE]\; que são inscritíveis, porque
- o primeiro tem ângulos retos opostos, obviamente de soma rasa - \;P\hat{E}A, \;A\hat{F}P;\; e
- o segundo tem dois triângulos retângulos com a mesma hipotenusa \;PC:\;\; [CDP], \;[PEC], \;] que é o diâmetro da comum circunscrita aos dois triângulos retângulos, i.e, a passar pelos pontos \;P, \;C, \;D, \;E.\;
Para outras posições de \;P\; sobre a circunferência \;(ABC),\; teremos naturalmente de considerar outros quadriláteros, mas serão análogos os raciocínios a fazer para provar que os pontos \;D,\;E, \;F\; são colineares.
13 fevereiro 2018, Criado com GeoGebra
Fixemo-nos no caso da nossa figura inicial, em que \;P\; está no arco \;(CA)\; da circunferência \;(ABC);\; e \;D \in [BC], \;E \in [AC], \; F \in \dot{B}A \setminus [BA].\;
Nestas condições, podemos dizer que \;D, E, F\; são colineares se e só se \;D\hat{E}C = F\hat{E}A, \; já que, como o vértice \;E\; é ponto de uma reta \;AC\; dada, aqueles ângulos só são iguais se forem verticalmente opostos, i.e. os segundos lados estiverem sobre uma mesma reta.
Finalmente
- Sabemos que \;\angle P\hat{A}F\; é suplementar de \;\angle B\hat{A}P\;, já que \;D\; é um ponto da reta \;BA;\;
- e também são suplementares os ângulos \;\angle B\hat{A}P\; e \;\angle P\hat{C}B\;; opostos no quadrilátero \;[PABC]\; inscrito na circunferência \;(ABC)\;
- em consequência, \;\angle P\hat{A}F =\angle P\hat{C}B.\;
- Como \;\angle P\hat{A}F\; (ou \;\angle P\hat{C}B\; ) é complementar de \;\angle F\hat{P}A\; e \;\angle P\hat{C}D\; (ou \;\angle P\hat{C}B\;) é complementar de \;\angle D\hat{P}C\; podemos concluir que \;\angle D\hat{P}C= \angle F\hat{P}A\;
- Considerando a circunferência \;(PFAE)\; os lados dos ângulos \;\angle F\hat{P}A\; e \;\angle F\hat{E}A\; compreendem o mesmo arco \; \widehat{FA}\; dessa circunferência, o que nos permite concluir que \;\angle F\hat{P}A = \angle F\hat{E}A\;
- e do mesmo modo, concluímos que são iguais os ângulos inscritos no mesmo arco \;\widehat{CD}\; da circunferência \;(CDEP):\;\;\; \angle C\hat{E}D =\angle C\hat{P}D\;
- Resumindo e concluindo \; \left(\angle D\hat{P}C= \angle F\hat{P}A\; \wedge \;\angle F\hat{P}A = \angle F\hat{E}A\; \wedge
\;\angle C\hat{E}D =\angle C\hat{P}D \right) \Rightarrow \angle F\hat{E}A = \angle C\hat{E}D, \;ou seja os pontos \;D, \;E,\;F\; estão sobre uma mesma reta □
