TEOREMA: Quatro retas, concorrentes duas a duas,formam quatro triângulos; as circunferências circunscritas a estes quatro triângulos passam por um mesmo ponto
PROBLEMA: Demonstrar que o ponto de intersecção de quaisquer duas das circunferências circunscritas é ponto de qualquer outra das circunferências
F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, - Théorème de Miquel. 21. Quatre droites, se coupant deux à deux, forment quatre triangles ; les circonférences circonscrites à ces quatre triangles passent par un même point.
\;\fbox{n=1}:\; Apresentam-se quatro retas \;a,\;b,\;c,\;d\; que se intersectam duas a duas: \;a.b={E},\;a.c={D}, \; a.d={B},\; b.c={A}, \;b.d={C}, \;c.d={F}
\;\fbox{n=2}:\; Estes pontos são, combinados três a três, vértices de quatro triângulos, a saber: \;[FCA], \; [ADE], \;[ECB], \;[BDF]
\;\fbox{n=3}:\; Como sabemos, há uma circunferência a passar por cada terno de pontos não colineares, por exemplo, as circunferências \;(FCA), \;(ADE)\; circunscritas aos respetivos triângulos \;[FCA], \;[ADE]\; intersectam-se em dois pontos, sendo o primeiro deles \;A\; e um segundo que designaremos por ponto \;M,\; de Miquel, matemático catalão.
Assim a circunferência \;(FCA)\; passa por \;M\; e, por isso, circunscreve o quadrilátero \;[FMCA],\; e, como sabemos, os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são suplementares: \;\angle A\hat{F}M + \angle M\hat{C}A = 1 \;\;\mbox{raso}\;\; = \angle F\hat{M}C + \angle C\hat{A}F\;
O quadrilátero \;[ADME]\; está inscrito em \;(ADE)\; e, por isso, \;\angle A\hat{D}M + \angle M\hat{E}A = 1\;\;\mbox{raso}\;\; = \angle E\hat{A}D + \angle D\hat{M}E.\;
Nota: É condição necessária e suficiente para que um quadrilátero seja inscritível numa circunferência ou tenha os seus quatro vértices a incidir numa circunferência que qualquer dos seus quatro ângulos seja suplementar do seu oposto.
7 fevereiro 2018, Criado com GeoGebra
\;\fbox{n=4}:\; Para provar que \;M\; incide na circunferência \;(ECB)\; circunscrita ao triângulo \; [ECB]\; basta provar que \;[ECBM]\; é inscritível nela ou seja que \;ECB + BME = CBM+MEC = 1\;\; raso.
Na circunferência \;(FMCA)\; em que \;M\; incide, inscrevem-se ângulos iguais \;M\hat{A}F = M\hat{C}F=M\hat{C}B\; cuja amplitude é metade do arco \;\widehat{FM}\; da circunferência compreendido entre os seus lados.
Claro que \;M\hat{E}D = M\hat{E}B = M\hat{A}D\; já que compreendem entre os seus lados o mesmo arco \;\widehat{DM}\; da circunferência \;ADME\; (\;M\; foi determinado como ponto da intersecção \;(ADE).(FCA)\;)
\;M\hat{C}B=M\hat{C}F=M\hat{A}F=M\hat{E}B\;
\;M\hat{C}B=M\hat{E}B\; são ângulos inscritos em \;(ECB)\; sendo \;M\; o ponto comum a lados (um de cada um dos ângulos iguais) ou seja incidindo em \;(BCE)\; ou de intersecção da diagonal \;CM\; com os lados \;BM, \;ME\; do quadrilátero \;[ECBM]\; De facto, a verificação desta condição é suficiente para garantir que os ângulos opostos do quadrilátero \;[BMEC]\; são suplementares.
A prova de que \;M\; também é um ponto da circunferência \;(BDF)\; é inteiramente análoga.
Nota: Há várias entradas no "bloGeometrias"" sobre quadriláteros inscritíveis em circunferências e com referências ao ponto de Miquel. O nosso interesse em fazer esta nova ilustração dinâmica só pretende chamar a atenção para a demonstração presente no volume de Exercícios de Geometria por FG-M (acima referido) que pode ser consultado em
http://gallica.fr (bnf)
que merece ser visitada (também pelos professores de matemática básica).
