Reta de Simson: caso de colinearidade das projeções de um ponto sobre três retas

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TEOREMA DE SIMSON: Se de um ponto tomado sobre a circunferência circunscrita a um triângulo baixarmos perpendiculares a cada lado do triângulo, os pontos assim obtidos estão em linha reta
PROBLEMA: Demonstrar que são colineares os pés das perpendiculares aos lados de um triângulo tiradas de qualquer ponto da circunferência circunscrita

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F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, (http://gallica.fr)- Théorème de Simson. 22. Si d'un point pris sur la circonférence circonscrite à un triangle, on abaisse des perpendiculaires sur chaque côté du triangle, les trois points ainsi obtenus sont en ligne droite.
Ce théorème s'énonce quelque fois comme il suit:
Les projections d'un point quelconque de la circonférence circonscrite à un triangle, sur chaque côté de ce triangle, sont en ligne droite.

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$\;\fbox{n=1}:\;$ Apresentam-se um triângulo $\;[ABC],\;$ a circunferência $\;(ABC)\;$ e um ponto $\;P\;$ nelaa
$\;\fbox{n=2}:\;$ As perpendiculares tiradas por $\;P\;$ a cada uma das retas $\;BC, \;CA, \; AB\;$ do trilátero $\;ABC,\;$ determinam os respetivos pés $\;D, \;E, \;F.\;$
$\;\fbox{n=3}:\;$ E, para a posição de $\;D, \;E, \;F\;$ da nossa figura inicial,ficam determinados dois quadriláteros convexos $\;[FAEP],\;[PCDE]\;$ que são inscritíveis, porque

• o primeiro tem ângulos retos opostos, obviamente de soma rasa - $\;P\hat{E}A, \;A\hat{F}P;\;$ e
• o segundo tem dois triângulos retângulos com a mesma hipotenusa $\;PC:\;\; [CDP], \;[PEC], \;]$ que é o diâmetro da comum circunscrita aos dois triângulos retângulos, i.e, a passar pelos pontos $\;P, \;C, \;D, \;E.\;$

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Para outras posições de $\;P\;$ sobre a circunferência $\;(ABC),\;$ teremos naturalmente de considerar outros quadriláteros, mas serão análogos os raciocínios a fazer para provar que os pontos $\;D,\;E, \;F\;$ são colineares.

13 fevereiro 2018, Criado com GeoGebra

Fixemo-nos no caso da nossa figura inicial, em que $\;P\;$ está no arco $\;(CA)\;$ da circunferência $\;(ABC);\;$ e $\;D \in [BC], \;E \in [AC], \; F \in \dot{B}A \setminus [BA].\;$
Nestas condições, podemos dizer que $\;D, E, F\;$ são colineares se e só se $\;D\hat{E}C = F\hat{E}A, \;$ já que, como o vértice $\;E\;$ é ponto de uma reta $\;AC\;$ dada, aqueles ângulos só são iguais se forem verticalmente opostos, i.e. os segundos lados estiverem sobre uma mesma reta.
Finalmente

• Sabemos que $\;\angle P\hat{A}F\;$ é suplementar de $\;\angle B\hat{A}P\;$, já que $\;D\;$ é um ponto da reta $\;BA;\;$
• e também são suplementares os ângulos $\;\angle B\hat{A}P\;$ e $\;\angle P\hat{C}B\;;$ opostos no quadrilátero $\;[PABC]\;$ inscrito na circunferência $\;(ABC)\;$
• em consequência, $\;\angle P\hat{A}F =\angle P\hat{C}B.\;$
• Como $\;\angle P\hat{A}F\;$ (ou $\;\angle P\hat{C}B\;$ ) é complementar de $\;\angle F\hat{P}A\;$ e $\;\angle P\hat{C}D\;$ (ou $\;\angle P\hat{C}B\;$) é complementar de $\;\angle D\hat{P}C\;$ podemos concluir que $\;\angle D\hat{P}C= \angle F\hat{P}A\;$
• Considerando a circunferência $\;(PFAE)\; $ os lados dos ângulos $\;\angle F\hat{P}A\;$ e $\;\angle F\hat{E}A\;$ compreendem o mesmo arco $\; \widehat{FA}\;$ dessa circunferência, o que nos permite concluir que $\;\angle F\hat{P}A = \angle F\hat{E}A\;$
• e do mesmo modo, concluímos que são iguais os ângulos inscritos no mesmo arco $\;\widehat{CD}\;$ da circunferência $\;(CDEP):\;\;\; \angle C\hat{E}D =\angle C\hat{P}D\;$
• Resumindo e concluindo $$\; \left(\angle D\hat{P}C= \angle F\hat{P}A\; \wedge \;\angle F\hat{P}A = \angle F\hat{E}A\; \wedge \;\angle C\hat{E}D =\angle C\hat{P}D \right) \Rightarrow \angle F\hat{E}A = \angle C\hat{E}D, \;$$ ou seja os pontos $\;D, \;E,\;F\;$ estão sobre uma mesma reta □

$\;\fbox{n=4}:\;$ Apresenta-se a reta onde incidem os pés das perpendiculares sobre cada um dos lados de triângulo tiradas por um ponto $\;P\;$ da circunferência circunscrita ao triângulo. A cada posição do ponto $\;P\;$ na circunferência corresponderá uma reta a que chamamos reta de Simson (ou de Wallace?)