Problema: Dividimos o triângulo \;ABC\; retângulo em \;C\; pela altura \;CD\; relativa à hipotenusa \;AB.\; Provar que a soma dos raios \;r_1, \;r_2, \;r_3\; respetivamente das circunferências inscritas em \;ABC, \; BCD, \; CAD\; é \;CD\;
Na entrada de 13 de Setembro p.p., círculo "misto" de um triângulo retângulo no seu ponto 5. tínhamos demonstrado que o raio \;r\; da circunferência inscrita num triângulo \;ABC\; retângulo em \;C\; é dado pelo seu semiperímetro subtraído da hipotenusa r= \frac{a+b+c}{2} - c = \frac{a+b-c}{2}
em que \;a=BC, \;b=AC, \;c=AB.\; Ou: o comprimento do diâmetro do incírculo de um triângulo retângulo é igual à soma dos catetos subtraída da hipotenusa
2r= a+b-c
© geometrias, 6 de Outubro de 2014, Criado com GeoGebra
\fbox{x} 1. inscrita em ABC: No caso da nossa circunferência \;(O_1,\; r_1)\; inscrita em \;ABC\; de catetos \;a=BC, b=AC\; e hipotenusa \;c=AB\;, temos 2r_1=a+b-c
\fbox{x} 2. altura hC: Chamámos D ao pé da altura relativa a \;c.\; Na nossa figura, \;h_C= h=CD .
Como \;CD \perp AB,\; CD\; divide o triângulo ABC em dois triângulos, ambos retângulos em \;D:\;
- \;BCD\; de catetos \;BD, \;DC\; e hipotenusa \;a=BC\;
- \;CAD\; de catetos \;AD, \;DC\; e hipotenusa \;b=AC\;
\fbox{x} 4. inscrita em ACD: Da circunferência \;(O_3, \;r_3)\; inscrita em \;ACD\;
2r_3 =AD+DC-b
Finalmente, podemos concluir 2(r_1+r_2+r_3) = a+b-c + BD+DC-a +AD+DC-b=\underbrace{\underbrace{-c}+\underbrace{BD+DA}}+ 2DC= 2DC
ou r_1+r_2+r_3 =h_C \;\;\;\; \;\; \square
a partir de A collection of 30 Sangaku Problems, de J. Marshall Unger, Ohhio State University. (sugestões de António Aurélio Fernandes)
