Problema: Observe a figura abaixo: Dois pentágonos iguais ABCDE e EFGHA de que os pontos C, D , F, G estão sobre uma circunferência azul; dois círculos vermelhos em que um deles está inscrito no triângulo BAH e outro tangente à circunferência azul, a DE e a EF.
Pede-se a relação entre os raios dos círculos vermelhos.
© geometrias, 1 de Outubro de 2014, Criado com GeoGebra
Como $\;AC=AD=AF=AG,\;$ a circunferência que passa por $\;C, \;D, \;F, \;G \;$ tem centro em $\;A\;$ e raio igual às diagonais dos pentágonos.
Cada um dos círculos vermelhos está inscrito num triângulo: o maior no triângulo $\;PEQ\;$, o menor em $\;BAH\;$ Para determinar a razão entre os raios dos círculos vermelhos, bastará determinar a razão de semelhança entre os triângulos em que se inscrevem. Por simples observação: dos ângulos $\;PEQ \sim FEQ\;$ e dos lados $\;FEQ =HAB\;$.
A altura do triângulo $PEQ$, pode ser calculada assim $$EJ= AJ - AE = AD-AE =\; \displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2} AE - AE = \frac {\sqrt{5} -1}{2} AE, \;$$ porque a razão entre a diagonal $\;AD\;$ de um pentágono regular e o seu lado $\;AE\;$ é igual a $\; \displaystyle \frac{AD}{AE} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}\;$ (número de ouro). A altura do triângulo $\;BAH\;$ relativa a $\;HB\;$ é metade da base do triângulo $\;AKB :\;\;\;\displaystyle AI=\frac{1}{2}AK\;$. Este triângulo $\;AKB\;$ é isósceles (e semelhante a $\;ACE):\; \, A\hat{K}B= B\hat{A}K = 180^{o}-B\hat{A}E = 72^{o}, \;\; \; K\hat{B}A = 36^{o}.\;$ Para o que interessa, dessa semelhança retira-se: $\; \displaystyle\frac{AB}{AK}= \frac{AC}{AE} = \frac{1+\sqrt{5}}{2},\;$ ou, para o que interessa, sabendo que $\;AB=AE\;$ $$\;AK = \frac{2AB}{\sqrt{5}+1}= \frac{2AE}{\sqrt{5}+1}$$ $$AI = \frac{1}{2} AK = \frac{1}{2}\times\frac{2AE}{\sqrt{5}+1}= \frac{AE}{\sqrt{5}+1} =\frac{AE \times (\sqrt{5} -1)}{(\sqrt{5} +1)\times (\sqrt{5} -1)} =\frac{\sqrt{5}-1}{4} AE $$ ou seja, a razão de semelhança $\;BAH \sim PEQ\;$ é 2, calculada pela razão das alturas $\; \displaystyle\frac{EJ}{AI}=2\;$ relativas aos lados $\;BH \;$ e $\;PQ\;$. Por isso, 2 é também razão entre os raios dos círculos vermelhos. O raio do círculo tangente à circunferência azul e aos lados $\;DE\;$ e $\;EF\;$ dos pentágonos tem comprimento duplo do raio do círculos vermelho tangente a $\;AH, \;HB, \; BA\; \;\;\; \; \square$
em Garcia Capitán, F. J. Resolución de problemas bonitos de Geometría con métodos elementales Priego de Córdoba, 2003 sugerido por António Aurélio Fernandes
