GEOMETRIA : Dois pentágonos e dois círculos numa circunferência

3.10.14

Dois pentágonos e dois círculos numa circunferência

Problema: Observe a figura abaixo: Dois pentágonos iguais ABCDE e EFGHA de que os pontos C, D , F, G estão sobre uma circunferência azul; dois círculos vermelhos em que um deles está inscrito no triângulo BAH e outro tangente à circunferência azul, a DE e a EF.
Pede-se a relação entre os raios dos círculos vermelhos.

Clique no botão de mostrar e ocultar [□auxiliares] para tornar visiveis pontos e segmentos auxiliares e as designações que lhe foram atribuídas para acompanhar a descrição da construção e dos cálculos.

Como

$\;AC=AD=AF=AG,\;$ a circunferência que passa por

$\;C, \;D, \;F, \;G \;$ tem centro em

$\;A\;$ e raio igual às diagonais dos pentágonos.
Cada um dos círculos vermelhos está inscrito num triângulo: o maior no triângulo

$\;PEQ\;$ , o menor em

$\;BAH\;$ Para determinar a razão entre os raios dos círculos vermelhos, bastará determinar a razão de semelhança entre os triângulos em que se inscrevem. Por simples observação: dos ângulos

$\;PEQ \sim FEQ\;$ e dos lados

$\;FEQ =HAB\;$ .
A altura do triângulo

$PEQ$ , pode ser calculada assim

$EJ= AJ - AE = AD-AE =\; \displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2} AE - AE = \frac {\sqrt{5} -1}{2} AE, \;$ porque a razão entre a diagonal

$\;AD\;$ de um pentágono regular e o seu lado

$\;AE\;$ é igual a

$\; \displaystyle \frac{AD}{AE} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}\;$ (número de ouro). A altura do triângulo

$\;BAH\;$ relativa a

$\;HB\;$ é metade da base do triângulo

$\;AKB :\;\;\;\displaystyle AI=\frac{1}{2}AK\;$ . Este triângulo

$\;AKB\;$ é isósceles (e semelhante a

$\;ACE):\; \, A\hat{K}B= B\hat{A}K = 180^{o}-B\hat{A}E = 72^{o}, \;\; \; K\hat{B}A = 36^{o}.\;$ Para o que interessa, dessa semelhança retira-se:

$\; \displaystyle\frac{AB}{AK}= \frac{AC}{AE} = \frac{1+\sqrt{5}}{2},\;$ ou, para o que interessa, sabendo que

$\;AB=AE\;$

$\;AK = \frac{2AB}{\sqrt{5}+1}= \frac{2AE}{\sqrt{5}+1}$

$AI = \frac{1}{2} AK = \frac{1}{2}\times\frac{2AE}{\sqrt{5}+1}= \frac{AE}{\sqrt{5}+1} =\frac{AE \times (\sqrt{5} -1)}{(\sqrt{5} +1)\times (\sqrt{5} -1)} =\frac{\sqrt{5}-1}{4} AE$ ou seja, a razão de semelhança

$\;BAH \sim PEQ\;$ é 2, calculada pela razão das alturas

$\; \displaystyle\frac{EJ}{AI}=2\;$ relativas aos lados

$\;BH \;$ e

$\;PQ\;$ . Por isso, 2 é também razão entre os raios dos círculos vermelhos. O raio do círculo tangente à circunferência azul e aos lados

$\;DE\;$ e

$\;EF\;$ dos pentágonos tem comprimento duplo do raio do círculos vermelho tangente a

$\;AH, \;HB, \; BA\; \;\;\; \; \square$

em Garcia Capitán, F. J. Resolución de problemas bonitos de Geometría con métodos elementales Priego de Córdoba, 2003 sugerido por António Aurélio Fernandes