GEOMETRIA

8.9.14

Construção das circunferências do anjo com um pão

Problema: Dados um quadrado $\;[ABCD]\;$ de lado $\;a\;$, arcos $\;(A, BD), \;(B, AC)\;$ e o semicírculo de diâmetro $\;CD\;$, determinar os centros e raios de dois círculos, um tangente aos três arcos e outro tangente a $\;CD\;$ e aos dois arcos $\;(A, BD), \;(B, AC)\;$
Para determinar os dois círculos, bastará determinar os raios dos círculos. Os seus centros estarão forçosamente no eixo de simetria da figura, isto é sobre a reta que liga os pontos médios $\;E\;$ de $\;CD\;$ e $\;F\;$ de $\;AB.\;$
Chamemos $\;O_1\;$ e $\;r_1\;$ aos centro e raio da maior circunferência (o pão?) e $\;O_2\;$ e $\;r_2\;$ aos centro e raio da circunferência menor (a cabeça do anjo?)
Clicando o botão no centro ao fundo verá os segmentos de reta auxiliares.
Toma-se o segmento de reta $\;EF\;$ que conterá $\;O_1, \;O_2\;$ e analisa-se o problema supondo que já está resolvido.

$\;(O_1, r_1)?\;$ Esta circunferência é tangente internamente às circunferências
- $\;(E, \; \displaystyle \frac{a}{2})\;$ e, por isso,
  - passa por $\;G,\;$ sua interseção com $\;EF\;$
  - $\;FO_1\; = FG+GO_1 = \displaystyle \frac{a}{2} + r_1$
- $\;(A,\; a)\;$ e, por isso, $\;AO_1 = a-r_1, \;$, pois a distância entre centros de duas circunferências tangentes interiormente é igual ao valor absoluto da diferença dos seus raios
- $\;(B,\; a)\;$ e, por isso, $\;BO_1 = a-r_1:\;$ ($\;AO_1=BO-1 =a-r_1\;)$
Considerando o triângulo $\;[AFO_1],\;$ retângulo em $\;F\;$, cujos catetos são $\;AF = \displaystyle \frac{a}{2}\;$ e $\;FO_1= \displaystyle \frac{a}{2} + r_1, \;$ e cuja hipotenusa é $\;AO_1=a-r_1\;$, o teorema de Pitágoras estabelece $$\left( \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2} + r_1\right)^2 = \left(a-r_1\right)^2$$ que dá o valor de $\;r_1\,$ em função do lado $\;a\;$ do quadrado: $$r_1 = \frac{a}{6}$$
$\;(O_2, r_2)?\;$ Esta circunferência é tangente a $\;CD\;$ no ponto $\;E\;$ e exteriormente às circunferências $\;(A, \; a)\;$ e $\;(B, \; a)\;$. As circunferências tangentes exteriormente têm centros distanciados um do outro $\;AO_2 =a+r_2.\;$.
O Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo $\;[AFO_2]\;$, retângulo em $\;F\;$ cujos catetos são $\;AFO_2 = \displaystyle \frac{a}{2}\;$ e $\;FO_2=a-r_2\;$ e cuja hipotenusa é $\;AO_2 = a+r_2\;$ garante que $$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(a-r_2\right)^2 = \left( a+r_2\right)^2$$ que dá para $\;r_2\;$ um valor em função do lado $\;a\;$ do quadrado $$r_2 = \frac{a}{16}$$

Assim, a construção das circunferências fica feita se tomarmos o segmento $\;EF\;$ de comprimento $\;a\;$ e sobre ele tomarmos

$\;O_1\;$ tal que $\;GO_1 =\displaystyle \frac{a}{6} =r_1\;$ - $\;(O_1, r_1)\;$ passa pelo ponto de interseção da semicircunferência de diâmetro $\;CD\;$ da figura
$\;O_2\;$ tal que $\;EO_2 = \displaystyle\frac{a}{16} =r_2\;$ - $\;(O_2, r_2)\;$ passa por $\;E\;$

sugerido em vários apontamentos feitos sobre "sangakus", asssim apresentadas em pt.wikipedia: tábuas comemorativas, em madeira, oferecidas a pequenos santuários japoneses, como forma de agradecer aos deuses, provavelmente, a resolução de um problema matemático...

29.8.14

Posições de 3 circunferências tangentes entre si e tangentes a uma reta dada

Problema: Dada uma reta $\;a\;$ construir três circunferências tangentes à reta dada e tangentes duas a duas de que se conhecem os raios $\;r_1, \;r_2\;$ de duas delas.

Os passos da construção podem ser vistos, fazendo variar os valores $\;n\;$ no cursor $\; \fbox{n=1, 2, …, 6}$

$\fbox{n=1}:\;$ Apresenta-se a reta $\;a\;$ e segmentos $\;r_1, \;r_2\;$ de comprimentos iguais aos raios de duas circunferências $\;(O_1, \;r_1), \;(O_2, \;r_2).\;$
$\fbox{n=2}:\;$ Tomamos a circunferência inscrita em $\;(O_1, \;r_1)\;$ para a qual $\;T_1\;$ é um ponto de $\;a :\; O_1T_1 \;\perp\; a \;\wedge\; O_1T_1 =r_1.\;$
$\fbox{n=3}:\;$ Para construir $\;(O_2, \;r_2)\;$ nas condições requeridas temos de determinar os pontos $\;O_2, \; T_2\;$ tais que $\;T_2 \in a, T_2O_2\; \perp \;a, \; T_2O_2=r_2, \;O_1O_2=r_1+r_2\;$
Analisando o problema resolvido, a posição de $\;T_2\;$ sobre $\;a\;$ relativamente a $\;T_1\;$ é dada por $\;T_1T_2 = 2 \sqrt{r_1r_2}\;$
Nota: $\;\sqrt{r_1r_2}\;$ é determinado como altura de triângulo retângulo inscrito numa semicircunferência de diâmetro $\;r_1+r_2\;$ por ela dividido nos comprimentos - parcelas).
$\fbox{n=4}:\;$ Esse resultado está bem ilustrado na figura. Recorrendo a um triângulo $\;O_1PO_2\;$ retângulo em $\;P\;$, para o qual um dos catetos é $\;O_1P = |r_1-r_2|\;$ e a hipotenusa é $\;O_1O_2 = r_1+r_2\;$, o outro cateto é $\;O_2P = T_1T_2.\;$
E assim, pelo Teorema de Pitágoras aplicado a $\;O_1PO_2\;$, $\;T_1T_2 ^2 = (r_1+r_2)^2 - (r_1-r_2)^2= 4r_1r_2\;$, e finalmente $$\;T_1T_2 =2\times \displaystyle \sqrt{r_1r_2}.\;$$ Fica assim determinada a posição da circunferência $\;(O_2, \;r_2)\;$ tangente a $\;a\;$ e a $\;(O_1, \;r_1).\;$

$\fbox{n=5}:\;\;$ Para determinar a posição do ponto de tangência a $\;a\;$ - $\;T_3\;$ e raio $\;r_3\;$ de uma circunferência $\;( O_3, \;r_3),\;$, usamos os resultados anteriores agora aplicados aos pares de circunferências $\;\left(( O_1, \;r_1), \;( O_3, \;r_3)\right)\;$ e $\;\left(( O_2, \;r_2), \;( O_3, \;r_3)\right)\;$:
$\;T_1T_3 = 2\sqrt{r_1r_3}, \;T_2T_3 = 2\sqrt{r_2r_3}.\;$
Como terá de ser $\;T_1T_2 = T_1T_3 + T_3T_2,\;$ $\;2\sqrt{r_1r_2}=2\sqrt{r_1r_3} + 2\sqrt{r_2r_3}$, equivalente a $\;\sqrt{r_1r_2}=\sqrt{r_3}(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2})$, por sua vez equivalente a $$\frac{1}{\sqrt{r_3}} =\frac{1}{\sqrt{r_1}} + \frac{1}{\sqrt{r_2}}$$ que nos permitem a determinação de segmento de comprimento $\;\sqrt{r_3} \;$.
Na nossa construção, usamos a construção de $\;\sqrt{r}\;$ como altura do triângulo retângulo de hipotenusa $\;r+1\;$ por ela dividida nestas suas parcelas, e recorremos à inversão (já muitas vezes aplicada na resolução de problemas de construção neste "lugar geométrico")
Nota: O que fazemos para obter $\;r_3\;$ após termos obtido $\;\sqrt{r_3}\;$? Tomamos um segmento de comprimento 1 sobre uma reta à distância $\;\sqrt{r_3}\;$. Tiramos por um dos extremos do segmento unitário uma perpendicular a este e marcamos a interseção com a paralela. Tomamos para cateto de um triângulo retângulo o segmento que une esta interseção com o outro extremo do segmento unitário. A reta perpendicular a este cateto vai intersetar a reta do segmento unitário num ponto à distância $\;r_3\;$ do extremo da altura do triângulo de hipotenusa $\;1+\sqrt{r_3}\;$
$\fbox{n=6}:\;\;$ O centro $\;O_3\;$pode ser obtido como interseção das circunferências $\;(O_1, \;r_1+r_3)\;$ e$\;(O_2, \;r_2+r_3)\;$. E a terceira circunferência da solução do problema inicial está bem determinado (com régua e compasso)