Problema: Dados um quadrado \;[ABCD]\; de lado \;a\;, arcos \;(A, BD), \;(B, AC)\; e o semicírculo de diâmetro \;CD\;, determinar os centros e raios de dois círculos, um tangente aos três arcos e outro tangente a \;CD\; e aos dois arcos \;(A, BD), \;(B, AC)\;
Para determinar os dois círculos, bastará determinar os raios dos círculos. Os seus centros estarão forçosamente no eixo de simetria da figura, isto é sobre a reta que liga os pontos médios \;E\; de \;CD\; e \;F\; de \;AB.\;
Chamemos \;O_1\; e \;r_1\; aos centro e raio da maior circunferência (o pão?) e \;O_2\; e \;r_2\; aos centro e raio da circunferência menor (a cabeça do anjo?)
Clicando o botão no centro ao fundo verá os segmentos de reta auxiliares.
Toma-se o segmento de reta \;EF\; que conterá \;O_1, \;O_2\; e analisa-se o problema supondo que já está resolvido.
© geometrias, 7 de Setembro de 2014, Criado com GeoGebra
- \;(O_1, r_1)?\; Esta circunferência é tangente internamente às circunferências
-
\;(E, \; \displaystyle \frac{a}{2})\; e, por isso,
- passa por \;G,\; sua interseção com \;EF\;
- \;FO_1\; = FG+GO_1 = \displaystyle \frac{a}{2} + r_1
- \;(A,\; a)\; e, por isso, \;AO_1 = a-r_1, \;, pois a distância entre centros de duas circunferências tangentes interiormente é igual ao valor absoluto da diferença dos seus raios
- \;(B,\; a)\; e, por isso, \;BO_1 = a-r_1:\; (\;AO_1=BO-1 =a-r_1\;)
que dá o valor de \;r_1\, em função do lado \;a\; do quadrado: r_1 = \frac{a}{6} -
\;(E, \; \displaystyle \frac{a}{2})\; e, por isso,
- \;(O_2, r_2)?\; Esta circunferência é tangente a \;CD\; no ponto \;E\; e exteriormente às circunferências \;(A, \; a)\; e \;(B, \; a)\;. As circunferências tangentes exteriormente têm centros distanciados um do outro \;AO_2 =a+r_2.\;.
O Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo \;[AFO_2]\;, retângulo em \;F\; cujos catetos são \;AFO_2 = \displaystyle \frac{a}{2}\; e \;FO_2=a-r_2\; e cuja hipotenusa é \;AO_2 = a+r_2\; garante que \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(a-r_2\right)^2 = \left( a+r_2\right)^2que dá para \;r_2\; um valor em função do lado \;a\; do quadrado r_2 = \frac{a}{16}
Assim, a construção das circunferências fica feita se tomarmos o segmento \;EF\; de comprimento \;a\; e sobre ele tomarmos
- \;O_1\; tal que \;GO_1 =\displaystyle \frac{a}{6} =r_1\; - \;(O_1, r_1)\; passa pelo ponto de interseção da semicircunferência de diâmetro \;CD\; da figura
- \;O_2\; tal que \;EO_2 = \displaystyle\frac{a}{16} =r_2\; - \;(O_2, r_2)\; passa por \;E\;
sugerido em vários apontamentos feitos sobre "sangakus", asssim apresentadas em pt.wikipedia: tábuas comemorativas, em madeira, oferecidas a pequenos santuários japoneses, como forma de agradecer aos deuses, provavelmente, a resolução de um problema matemático...
