Problema: Inscrever num paralelogramo dado \;[ABCD]\;, um retângulo \;[EFGH]\;
cujas diagonais \;EG,\;FH\; formam um ângulo \; \angle EÔF=\alpha\; dado.
Este problema foi considerado no livrinho de A. Lôbo Vilela, Métodos Geométricos para ilustrar o particular método das transformações e o geral método da análise do problema.
Consideremos as retas dos lados do paralelogramo dado \;a=AB, \;b=BC, \;c=CD, \;d=DA,\; E considerem-se conhecidas as propriedades dos paralelogramos relativas aos lados, ângulos, diagonais, centro,...
As diagonais de um paralelogramo bissetam-se. Chamamos \;O\; ao ponto de interseção das diagonais do paralelogramo \;AC.BD\; e as diagonais de qualquer retângulo nele inscrito intersetam-se no mesmo ponto.
Considerando o problema resolvido temos um retângulo \;[EFGH]\; inscrito em \;[ABCD], \;, sendo \; E\; um ponto sobre \;a=AB,\; \;F\; sobre \;b=BC,\;, \;G\; sobre \;c=CD,\; e \;H\; sobre \;d=DA.\;
Sendo \;O\; o centro comum, o ponto \;F\; é a imagem de \;E\; pela rotação de centro \;O\; e ângulo \;\alpha\; - \;{\cal{R}}_O ^\alpha. Como a rotação preserva a incidência o ponto \;E\; de \;a\; é transformado pela rotação \;{\cal{R}}_O ^\alpha\; num ponto de \;a'\; e de \;b, já que \;F\; é ponto de \;b\;.
Os passos da construção podem ser vistos, fazendo variar os valores \;n\; no cursor \; \fbox{n=1, 2, …, 5}
Este problema foi considerado no livrinho de A. Lôbo Vilela, Métodos Geométricos para ilustrar o particular método das transformações e o geral método da análise do problema.
Consideremos as retas dos lados do paralelogramo dado \;a=AB, \;b=BC, \;c=CD, \;d=DA,\; E considerem-se conhecidas as propriedades dos paralelogramos relativas aos lados, ângulos, diagonais, centro,...
As diagonais de um paralelogramo bissetam-se. Chamamos \;O\; ao ponto de interseção das diagonais do paralelogramo \;AC.BD\; e as diagonais de qualquer retângulo nele inscrito intersetam-se no mesmo ponto.
Considerando o problema resolvido temos um retângulo \;[EFGH]\; inscrito em \;[ABCD], \;, sendo \; E\; um ponto sobre \;a=AB,\; \;F\; sobre \;b=BC,\;, \;G\; sobre \;c=CD,\; e \;H\; sobre \;d=DA.\;
Sendo \;O\; o centro comum, o ponto \;F\; é a imagem de \;E\; pela rotação de centro \;O\; e ângulo \;\alpha\; - \;{\cal{R}}_O ^\alpha. Como a rotação preserva a incidência o ponto \;E\; de \;a\; é transformado pela rotação \;{\cal{R}}_O ^\alpha\; num ponto de \;a'\; e de \;b, já que \;F\; é ponto de \;b\;.
Os passos da construção podem ser vistos, fazendo variar os valores \;n\; no cursor \; \fbox{n=1, 2, …, 5}
- Na nossa construção, apresentamos como dados o ângulo \;\alpha\; de amplitude igual ao ângulo das diagonais do retângulo inscrito no paralelogramo \;[ABCD]\; de centro \;O\;
- \fbox{n=2}:\; Tomamos as retas que contêm os lados do paralelogramo dado
- \fbox{n=3}:\; A análise feita acima, dá-nos \;F\; como \;a'.b\;, sendo \;a'= \;{\cal{R}}_O ^\alpha\;(a).\; Conhecido \;F,\; determinamos \;E\; como \;\;{\cal{R}}_O ^{-\alpha}\;(F)\;
- \fbox{n=4}:\;\;
\;E, \;F\; são vértices consecutivos do retângulo, cujas diagonais iguais se bissetam em \;O\;. Por isso, os restantes vértices são obtidos por transformação de meia volta de centro \;O\;:
\begin{matrix} &{\cal{R}}(O, \pi)&&\\ E&\mapsto & G : & \mbox{ou} \quad \{G\} = EO.CD\\ F&\mapsto & H: & \mbox{ou}\quad \{H\} = FO.DA \\ \end{matrix} - \fbox{n=5}:\;\; As diagonais \;EG\; e \;FH\; são diâmetros da circunferência de rotação em que afinal se inscreve o retângulo.
H\hat{E}F= E\hat{F}G =F\hat{G}H =G\hat{H}E = \frac{\pi}{2} inscritos em semicircunferências.
© geometrias, 9 de Agosto de 2014, Criado com GeoGebra
