Resolver problema de construção usando análise e síntese (8)

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Problema:     Construir um paralelogramo sendo dados os comprimentos de um lado e das duas diagonais.

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Th. Caronnet, Exércices de Géométrie. 2^ème livre- La Circonférence. Vuibert. Paris:1947

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Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido.
Análise do problema:
Com o problema resolvido, teríamos um paralelogramo $\;[ABCD]\;$ sendo $\;AB=a,\; AC=d_1, \; BC=d_2.\;$ Sabemos que as diagonais de um paralelogramo se bissetam num ponto, chamemos-lhe $\;M.\;$
$\;[ABM]\;$ é um triângulo de lados $\;AB=a, \; \displaystyle AM=\frac{d_1}{2}, \;BM=\frac{d_2}{2}\;$ e o paralelogramo é composto de 2 pares de triângulos iguais.
A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações descobertas na análise do problema resolvido. Pode segui-la fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 6}.\;$

© geometrias, 8 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra

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1. A análise feita, diz-nos que, nas condições do problema, podemos construir um triângulo usando os comprimentos dados e que, a partir dele, podemos construir o paralelogramo que procuramos.
2. Comecemos por tomar para $\;A\;$ um ponto qualquer do plano e para ponto $\;B\;$ um ponto qualquer da circunferência $\;(A,\;a), \;$ à distância $\;a\;$ de $\;A\;$.
3. As diagonais do paralelogramo bissetam-se num ponto $\;M,\;$ escolhemos um dos pontos da interseção $\;\left(A,\;\displaystyle \frac{d_1}{2}\right). \left(B, \displaystyle\frac{d_2}{2}\right).\;$
4. A construção do triângulo $\;[ABM]\;$ é decisiva para a resolução do problema, ou mais simplesmente, fundamental é determinar o ponto $\;M.\;$
5. $C, \;D\;$ determinam-se assim: $\left(M,\;MA\right). MA =\{A,\; C\}$
   $\left(B, \;BM\right).BM=\{B, \;D\}.\;$ $\;D\;$ pode ser obtido como interseção das retas: paralela a $\;AB\;$ tirada por $\;C\;$ e paralela a $\;BC\;$ tirada por $\;A$.
6. $\;[ABCD]\;$ é o paralelogramo que procuramos.     □

Para que o nosso problema tenha soluções é necessário e suficiente que se possa construir o triângulo $\;[ABM]\;$ ou que $$AB < BM+MA \;\;\; \wedge \;\;\; BM < MA+ AB \;\;\; \wedge \;\;\; MA< BM+AB$$ $$a<\frac{d_1+d_2}{2} \;\;\; \wedge \;\;\; \frac{d_1}{2} < a+ \frac{d_2}{2} \;\;\;\wedge \;\;\;\frac{d_2}{2}< a+\frac{d_1}{2}\;$$ que é o mesmo que $$a<\frac{1}{2}(d_1+d_2) \;\;\; \wedge \;\;\; \frac{1}{2}(d_1-d_2) < a \;\;\; \wedge \;\;\; \frac{1}{2} (d_2-d_1) < a$$ ou $$\frac{1}{2}\left| \;d_1-d_2\; \right| \; < \;a\; < \;\frac{1}{2}(d_1+d_2)$$ .

Resolver um problema de construção usando análise e síntese (7)

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Problema:
Determinar um ponto $\;P\;$ sobre uma reta que contém um diâmetro $\;AB\;$ de uma dada circunferência $\;(O)\;$ tal que, sendo $\;T\;$ o ponto de tangência da tangente à circunferência tirada por $\;P, \;$ $\;PT = 2PA.\;$

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Th. Caronnet, Exércices de Géométrie. 2^ème livre- La Circonférence. Vuibert. Paris:1947

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Para obter a solução por construção, temos de fazer a análise do problema a partir do problema como se ele estivesse resolvido.
Análise do problema:
Com o problema resolvido, teríamos uma circunferência $\;(O)\;$, um ponto $\;P\;$ no exterior de $\;(O)\;$ sobre um diâmetro $\;AB\;$, uma tangente num ponto $\;T\;$ da circunferência a passar por $\;P\;$, sendo $\;PT=2PA.\;$
Sabemos também que $\;PA \times PB =PT^2\;$ (potência de um ponto $\;P\;$ relativamente à circunferência $\;(O).\;$)
Assim, de $\;PT^2 =4PA^2= PA\times PB$ se tira $\;4PA=PB=BA+PA\;$ e, em consequência, $\;3PA=AB\;$ ou $\; \displaystyle PA=\frac{AB}{3}.\;$

A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações descobertas na análise do problema resolvido. Pode segui-la fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 6}.\;$

© geometrias, 5 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra

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1. A análise feita, diz-nos que, nas condições do problema, $$PT=2PA \Longrightarrow \displaystyle PA=\frac{AB}{3}.\;$$
2. Seguindo o que nos é sugerido, começamos por dividir $\;AB\;$ em três partes iguais.
3. E tomamos para ponto $\;P\;$ um dos pontos de interseção da circunferência $\,\left(A, \;\displaystyle \frac{AB}{3}\right).\;$ com a reta $\;AB\;$, isto é $\;P : 3PA =AB.\;$
4. Determinamos os pontos $\;T\;$ e $\;U\;$ de tangência das tangentes a $\;(O)\;$ que passam por $\;P\;\;\;\;$
   Será que $\;3PA=AB \Longrightarrow 2PA=PT\;?\;$. Como $\;BP=BA+AP\;$ e, por construção, $\;3PA=AB\;$, $\;BP =4PA\;$
   Por ser $\;PA\times PB = PT^2,\;$ temos $\;4PA^2=PT^2,\;$ e, em consequência $\;2PA=PT\;\;\;\;$ □