Problema: Determinar (com régua e compasso) os pontos de interseção de uma reta dada com uma parábola de que se conhecem a diretriz e o foco.
A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas.
Deve lembrar-se que uma parábola é o lugar geométrico (conjunto) dos pontos equidistantes de uma reta- diretriz - e de um ponto - foco.
Deslocando o cursor \;\fbox{n=1, ..., 6}\; ao fundo à esquerda, pode seguir os passos da construção.
A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas.
Deve lembrar-se que uma parábola é o lugar geométrico (conjunto) dos pontos equidistantes de uma reta- diretriz - e de um ponto - foco.
© geometrias, 6 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra
Deslocando o cursor \;\fbox{n=1, ..., 6}\; ao fundo à esquerda, pode seguir os passos da construção.
- São dadas uma reta \;a\;; uma reta \;d\; - diretriz - e um ponto \;F\; -foco -de uma parábola.
- Que pontos da reta \;a\; são pontos da parábola de diretriz \;d\; e foco \;F\;? Estes pontos são centros de circunferências tangentes a \;d\; e a passar por \;F\;. Não sabemos quais são; tomemos um ponto \;A\;, qualquer de \;a\;. Se este ponto for centro de uma circunferência a passar por \;F\; e tangente a \;d\;, ele será um dos pontos que procuramos. O mais natural é que esse ponto não verifique essas condições. Em muitos problemas de construção interessa tanto saber bem o que queremos como construir uma falsa posição ( \;A;\; variável sobre \;a\;) para conjeturar e para, a partir dela, determinar a posição solução.
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Tomemos o ponto \;a.d\; a que chamamos \;O\; e a reta \;OF\;
Cada homotetia de centro \;O\; é uma transformação geométrica que faz corresponder a cada ponto de \;a\; um ponto de \;a\;, a cada ponto de \;OF\; um ponto de \;OF\;, a cada ponto de \;d\; um ponto de \;d\; e fica bem definida por um ponto e o seu correspondente colineares com \;O\;. - Tomemos então um ponto \;A\; sobre \;a\; e a circunferência nele centrada que é tangente à diretriz em \;T\;, na nossa figura. Esta circunferência não passa por \;F\;.
- A circunferência \;(A, AT)\; interseta a reta \;OF\; em dois pontos: \;P, \;Q\; tais que \;AP=AT=AQ\;
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Pela homotetia \;{\cal{H}}_1\; de centro \;O\; que faz corresponder \;Q\; a \;F\;, à reta \;AQ\; fará corresponder uma paralela que passa por \;F\; que interseta a reta \;a\; num ponto \;I\; e a \;AT\; uma paralela \;IK\;.
Por ser \;AT=AQ\;, é \;IK=IF\;, o que quer dizer que \;I\; é um ponto de \;a\; equidistante de \;d\; e de \;F\;, logo uma das soluções do problema. - Do mesmo modo, utilizando a homotetia \;{\cal{H}}_2\; de centro \;O\; que transforma \;P\; em \;F\;, \begin{matrix} & \;{\cal{H}}_2(O)\; & &&\\ P &\longrightarrow & F & \;\;\;P\in OF\;\;&\\ AP & \longrightarrow & FJ & \;\;\; AP \parallel FJ\;\;& \\ AT & \longrightarrow & JL &\;\;\;AT\parallel JL\;\;&AP=AT \Leftrightarrow FJ=JL\\ A &\longrightarrow & J &\;\;\;J\in a\;\;&\\ T &\longrightarrow & L & \;\;\;L\in d \;\;&\\ \end{matrix} sendo \;J\; assim determinado um ponto de \;a\; equidistante de \;F\; e de \;d\;, logo outra das soluções do problema.
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Pela homotetia \;{\cal{H}}_1\; de centro \;O\; que faz corresponder \;Q\; a \;F\;, à reta \;AQ\; fará corresponder uma paralela que passa por \;F\; que interseta a reta \;a\; num ponto \;I\; e a \;AT\; uma paralela \;IK\;.
- Apresentamos finalmente como ilustração a parábola de diretriz \;d\; e foco \;F. Para ver que a demonstração/construção para além de ser, parece boa.
