O compasso moderno a partir do postulado. A existência por construção.

---

Na geometria euclidiana, podemos usar a régua postulada (de arestas, sem marcas) e o compasso postulado (colapsante, se tirar qualquer dos pontas do papel em que desenha, não se mantémm a abertura entre as hastes) São instrumentos com grandes limitações? Não, sendo instrumentos com grandes restrições, permitem realizar muitas construções de geometria euclidiana compostas por construções primitivas com régua de arestas (sem marcas) e com compasso colapsante.
Modernamente, consideramos compassos modernos que retêm as aberturas e são, por isso, usados para transferir distâncias. Poderá o compasso colapsante fazer o mesmo que um compasso moderno?
O compasso moderno constrói uma circunferência dados dois pontos, mas, além disso, por transferir distâncias, constrói uma circunferência dados um ponto (para centro) e um segmento (para raio).
Mostremos que o compasso euclidiano também constrói, em várias etapas, uma circunferência dados 3 pontos O, A, B em que O é o centro e AB é o raio.
A isso mesmo damos resposta com a construção dinâmica que se segue:

© geometrias, 14 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Sigamos os passos da construção, deslocando o cursor n.

1. São dados três pontos O, A, B.
2. Tomamos a circunferência de centro O a passar por A e a circunferência de centro A a passar por O que se intersetam em D e em E
3. Tomamos, em seguida as circunferências a passar por B centradas em D e em E que se intersetam em B e em F
4. A circunferência de centro O a passar por F é a circunferência de centro O e raio AB.

Fica assim produzida a existência de uma circunferência de que é dado o centro e uma distância para raio, usando o compasso colapsante (postulado III). Ou, que o conjunto dos pontos que estão a uma mesma dada distância de um ponto é uma circunferência.
Esta construção cria(?) assim o compasso moderno, composto por procedimentos possíveis por recurso ao compasso colapsante.

---

Notas: Uma definição dada não garante a existência do definido. As demonstrações de Euclides usam construções e, por isso, os seus teoremas são teoremas de existência de definidos por atributos precisos. Claro que há muitas definições a que podem não corresponder existências ou que não podemos construir com os instrumentos postulados.
Na construção desta entrada,
dados O e A, podemos determinar o ponto D tal que OD=OA=AD (vértices de um triângulo equiláero de lado OA) e isso é prova da existência de um triângulo equilátero.
Proposição I: Com o centro O e o intervalo OA se descreve (Post III) o círculo ODA; e, com o centro A e o intervalo AO se descreve o círculo ADO. Do ponto D, onde os círculos se cortam reciprocamente, tiram-se para os pontos O e A as retas DO e DA (Post. I). O triângulo OAD será equilátero: Como O é o centro do círculo ODA, OD=OA (Definição XV) e, do mesmo modo como A é o centro do círculo ADO, AD=AO. Assim, como "duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si"(Axioma 1), e OD e AD iguais a AO, OD=OA=AD . Seguiu-se a demonstração da Prop I dos Elementos de Euclides.

Instrumentos euclidianos

---

As próximas entradas ilustrarão o uso dos instrumentos e métodos de construção euclidianos.

---

No Livro I dos Elementos, Euclides dá as seguintes definições:

I.Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma.
II. Linha é o, que tem comprimento sem largura.
III. As extremidades da linha são pontos.
IV. Linha recta é aquella, que está posta egualmente entre as suas extremidades.
...
XV. Círculo é uma figura plana, fechada por uma só linha, a qual se chama circumferencia: de maneira que todas as linhas rectas, que de um certo ponto existente no meio da figura, se conduzem para a circumferencia, são eguais entre si

e, mais adiante, apresenta-nos os seguintes postulados

I. Pede-se como cousa pessoal, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha recta
II.E que uma linha recta determinada se continue em direitura de si mesma, até onde seja necessário.
III. E que com qualquer centro e qualquer intervallo se descreva um círculo

Estes postulados garantem todas as construções primitivas com as quais todas as construções dos Elementos de Euclides se podem compor. Constituem-se em regras do jogo das construções de Euclides, restringindo todas as construções às que podem ser feitas:com instrumentos "euclideanos": uma régua de arestas para traçar tanto quanto o desejemos uma reta determinada por dois pontos; um compasso que nos permite determinar uma circunferência de um dado centro e passando por um dado ponto.