O quadrado e a raíz quadrada

Num triângulo rectângulo, a altura relativa à hipotenusa é meio proporcional entre as partes em que a hipotenusa fica dividida. Este é um resultado que se trabalha no 8º ano. E se uma das partes da hipotenusa é a unidade, a outra parte é o quadrado da altura. Ou a altura é a raíz quadrada da outra parte da hipotenusa. Se a altura h divide a hipotenusa em duas partes m e n, h²=mn. A partir de certa altura, fixamos a nossa atenção na média geométrica e só utilizamos este resultado para calcular o comprimento h à custa das partes da hipotenusa e raramente o utilizamos para determinar quadrados. Trabalhar com médias (aritmética, geométrica e harmónica) é um bom exercício de construção e permite consolidar noções relativas e invariantes. A construção que apresentamos em seguida (em que tudo pode variar, deslocando os elementos A,U,.) é um exemplo muito formativo que pode ser abordado de novo no 9º ano. Os estudantes podem aprofundar os seus conhecimentos e compreensão sobre o conceito de medida, mudando de unidade, etc. E não será natural garantir que os estudantes reconheçam que um determinado método de construção serve para obter dois resultados recíprocos?

[A.A.F.]
Como determinar o segmento que tem por comprimento a raíz quadrada do comprimento de um segmento dado? Como determinar o segmento que tem por comprimento o quadrado do comprimento de um segmento dado? Dois problemas?

Inversão

Com os alunos do 8º ano, experimentei a compreensão de alguns procedimentos para efectuar, com régua e compasso, construções geométricas sobre segmentos correspondentes a operações sobre números. Escolhido um segmento para unidade, e dados segmentos de comprimentos a e b, quaisquer, não aparecia como fácil a determinação de um segmento correspondente ao comprimento ab e menos ainda os correspondentes aos comprimentos a/b, 1/a, a_2>, etc. Na altura, tal era pedido depois de termos cuidado das semelhanças de triângulos e os raciocínios usavam só a proporcionalidade entre segmentos determinados por feixes de rectas concorrentes cortadas por paralelas. Parece que não há qualquer problema em determinar 2a em linha nem em compreender o que significa ab, a₂ ou a(b+c) em termos de áreas, mas já tudo se complica quando se pede um segmento igual a 2a/3, ab, etc. Parece que não é assumida a sistemática comparação entre segmentos quando se fala em medida de um comprimento relativamente a outro.
No 9º ano, vamos poder voltar às operações sobre segmentos, agora com recurso sistemático a circunferência e tangentes tiradas por um ponto, sem acrescentar muito ao que se sabe sobre triângulos. Será que a compreensão aumenta? Estas dificuldades devem estar todas resolvidas quando entramos na geometria analítica como tal. Por exemplo, sobre a construção que se apresenta a seguir, está desenhada uma circunferência de raio 3 e as tangentes tiradas por um ponto P (que pode deslocar), um ponto P' (da polar de P relativamente à circunferência e colinear com O e P), define o segmento [OP'] cujo comprimento é o inverso do comprimento de [OP] se tomarmos como unidade o raio da circunferência.

[A.A.F.]
A transformação associada à circunferência dada que a cada P faz corresponder P' (e reciprocamente) nas condições da construção dada, toma naturalmente o nome de inversão relativamente à circunferência. Este é outro exemplo, para aprofundar e melhorar o conceito de medida, permitindo realizar exercícios geométricos muito atractivos geometricamente. Valerá a pena?

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