Teorema de Mohr-Mascheroni

As construções geométricas com régua e compasso trabalham com dois tipos de figuras: as circunferências (compasso) e as retas (régua). Estas figuras ficam determinadas por dois pontos — a reta — e por três pontos — a circunferência. Nas últimas entradas, vimos que, só com compasso, podemos determinar o centro de uma circunferência dada por três pontos e também vimos como determinar, só com compasso, os pontos de intersecção de quaisquer duas dessas figuras definidas unicamente pelos seus pontos. Para isso, usámos a inversão relativamente a uma ou várias circunferências.
Assim demonstrámos que
Todas as construções de régua e compasso podem ser feitas só com recurso a compasso (ou só com circunferências)
Este resultado é conhecido como teorema de Mohr-Mascheroni.

Exercícios interativos: Soluções (VII)

Na entrada do dia 5 de Junho, propomos que, com compasso e ponto a ponto, para quatro pontos A, B, C e D dados, determine o ponto de interseção das retas AB e CD.
Ilustramos a seguir as etapas da resolução desse problema:




Para determinarmos a intersecção da reta (A,B) com a reta (C,D) recorrendo exclusivamente à circunferência, precisamos transformar, por inversão, essas retas em circunferências.

1. Para definir uma inversão, basta tomar, como auxiliares, um ponto P e uma circunferência nele centrada.
2. Por inversão, relativamente a P e à circunferência nele centrada, determinamos
   • A' e B'
   • a circunferência que passa por A', B', P é o transformado de AB pela inversão
   • C' e D'
   • a circunferência que passa por C', D', P é o transformado de CD pela inversão
   • as circunferências (A',B',P) e (C',D', P) intersetam-se em P e em I' sendo este a imagem, pela inversão definida, do ponto de intersecção I de (A,B) com (C,D)
3. Determinar I é feito usando a mesma inversão auxiliar, relativamente à qual determinamos o correspondente de I'

Este processo pode ser utilizado para determinar a intersecção de duas figuras — retas com circunferências, circunferências com circunferências, etc.

Exercícios interativos - Soluções (VI)

Na entrada de 30 de Maio, propomos ao leitor que,
com compasso e ponto a ponto, desenhe a circunferência que passa pelos três pontos I, J e K dados
Para realizar esse exercício, disponibilizávamos a ferramenta "compasso" que permite transferir comprimentos, embora tal possa ser feito com recurso a circunferências.
A construção dinâmica, a seguir apresentada, ilustra as etapas de uma resolução possível desse problema:

1. A primeira etapa consiste na construção de três circunferências: uma de centro I e raio JK - chamemos-lhe i - , outra de centro J e raio IK — j — e a terceira de centro K e raio IJ — k —; duas destas circunferências intersetam a terceira em pontos equidistantes do centro da terceira. No caso tomámos C₁ de k.ie C₂ de j.i que são pontos da circunferência que passa por I, J e K, circunscrita ao triângulo [IJK] e também aos triângulos [C₁ KI] e [C₂ JI] com ele congruentes. Repare-se, para exemplo, que C₁ K = IJ , C₁ I = KJ e IK=IK para ver que [C₁ KI] = [JKI].
2. Como já vimos em entradas anteriores, o centro desta circunferência que passa por C₁ e C₂ terá a sua imagem, por inversão relativamente a I e i, na interseção das circunferências centradas em C₁ e C₂ (de i) e a passar por I. Por isso, a segunda etapa da nossa resolução consiste nesta determinação de C'.
3. Finalmente, determina-se o correspondente C de C' por inversão relativamente a I e i.
4. E com centro em C traça-se a circunferência que passa por C₁, C₂, I, J e K.

Exercícios interativos: Soluções (V)

Na entrada de 28 de Maio, propomos ao leitor a determinação do centro de uma dada circunferência com recurso exclusivamente a circunferências
A construção dinâmica, que se apresenta a seguir, ilustra as etapas da resolução desse problema:

1. Toma-se um ponto P qualquer sobre a circunferência original e uma circunferência, a azul, de centro P que intersete a original em dois pontos A e B, a roxo;
2. Com centros em A e B traçam-se as circunferências a roxo que passam por P e também se intersetam em C', a castanho;
3. Com centro em C' traça-se a circunferência, a castanho, que passa por P e interseta a circunferência a azul nos pontos D e E, amarelos;
4. Finalmente as circunferências centradas em D e E, a amarelo, que passam por P, intersetam-se ainda no ponto C, a vermelho.

A entrada anterior que tratava da construção da imagem de um ponto qualquer por inversão relativamente a uma circunferência de centro C, mostra que a imagem de C, C', por uma inversão de centro em P é a interseção das circunferências centradas em A e B que passam por P. Assim, obtido C', resta-nos obter C como imagem de C' pela inversão relativamente à circunferência azul e seu centro P. O ponto C é o centro da circunferência original.

Exercícios interativos: Soluções (IV)

Exercícios interativos: Soluções(III)

A entrada de 24 de Maio mostrava um quadro para construção, com Cinderella, em que eram dados um círculo e um ponto A e propunha-se ao leitor
a determinação, sem acesso ao centro da circunferência, da sua tangente em A.

Com recurso ao GeoGebra, apresenta-se a seguir uma resolução de que se reproduzem os passos fundamentais:

1. a castanho, determina-se a reta que passa pelo centro não conhecido: uma nova circunferência de centro em A que interseta a original em dois pontos determina os dois vértices da base de um triângulo isósceles; a reta que contém a altura relativa a A passa pelo centro desconhecido;
2. a laranja, escolhem-se dois pontos equidistantes de A, sobre essa reta, e determina-se a perpendicular a ela que é a tangente em A (a vermelho).

Exercícios interativos: Soluções(II)

Estamos a restaurar mal, que os tempos são outros, a solução de um exercício interactivo proposto em 21 de Maio de 2013 que foi "deprecated" até retorcido se ver o texto e nada se ver da construção. Por não termos culpa, não pedimos desculpa.

Exercícios interativos: Soluções (I)

Temos vindo a propor exercícios interativos - problemas para resolver usando construções dinâmicas com o Cinderella - sobre assuntos que já foram tratados (mais ou menos profundamente, há mais ou menos tempo). E prometemos que escreveríamos sobre a sua resolução ao fim de algum tempo. É o que vamos começar hoje mesmo a fazer.

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A primeira construção (exercício interativo), de 19 de Maio, apresentava um dado quadrilátero ABCD e pedia aos leitores a determinação dos centros de todas as possíveis homologias que transformam ABCD num losango A'B'C'D'



Para este caso basta rever ou reler a entrada determinação de uma homologia que transforma um dado quadrilátero num losango

Exercício interativo: Determinar a interseção de AB com CD, usando circunferências.

Nesta entrada, propomos-lhe que, com compasso e ponto a ponto,
determine o ponto de interseção das retas AB e CD..
Sugerimos que utilize a circunferência p de centro P da figura e a ferramenta "Circunferência por 3 pontos" para substituir o trabalho correspondente ao exercício da entrada anterior.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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Exercício interativo:Desenhar a circunferência que passa por três pontos dados.

Nesta entrada, propomos-lhe que, com compasso e ponto a ponto,
desenhe a circunferência que passa pelos três pontos I, J e K dados.
Deixamos presente a ferramenta compasso (ícone próprio) que permite transferir comprimentos. Poder-se-ia dispensar, mas desenhar uma circunferência de centro em I e raio JK, por exemplo, acrescentaria demasiadas linhas à construção.

Exercício interativo: Determinar o centro da circunferência, usando compasso

Estamos a publicar uma série de exercícios interativos com as ferramentas escolhidas e disponibilizadas por nós no quadro do Cinderella. Revemos alguns problemas enquanto experimentamos criticamente as potencialidades do Cinderella. Publicaremos mais tarde, ao fim de cada série, as construções que conduzem às soluções.
Nesta entrada, propomos-lhe que, com circunferências e ponto a ponto,
determine o centro da circunferência dada..

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Esta restauração só mostra os passos feitos ao tempo, mas como figuras estáticas: nada interativas estas só servem ara deixar a ideia do que fizemos com o Cinderella para acompanhar professores e alunos......

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). ------Já cá não fica porque não se mostrava.....