21.3.22
De duas circunferências concêntricas uma delas vê-se ao espelho que a outra é....
Problema:
Considere a circunferência c, a preto na figura, e a inversão a ela associada na figura. Determine a transformada por essa inversão da circunferência verde, v
14.3.22
Seja espelho a dourada circunferência: qual a posição da imagem do ponto A a esse espelho?
Considere a inversão associada à circunferência dourada e determine o transformado de A por essa inversão.
...o triângulo retângulo com uma hipotenusa e a soma dos catetos dadas
.... continuando
Na anterior publicação refere-se que o problema se pode reduzir a um outro:
Construir um triângulo retângulo de que se conhece a hipotenusa e a soma dos seus catetos.
Observando a figura:
Figura 3
Seja \;c\; a hipotenusa e \;a, \;b\; os catetos
\;𝑐 = 𝑏 − 𝑟 + 𝑎 − 𝑟 ⟺ 2𝑟 = (𝑏 + 𝑎) − 𝑐 𝑒 2𝑅 = 𝑐 \;\rm{e}\; 2R= c\; Assim podemos determinar \;r\; e \;R\; e resolver como o problema anterior.
Por último , e ainda na mesma entrada, é considerado um outro problema sugeridos pelos anteriores:
A partir do vértice do ângulo reto, determinar um triângulo retângulo \;[ABC]\; de que se conhece só o raio da circunferência inscrita.
Parece-me que este problema tem uma infinidade de soluções. Vejamos a seguinte construção:
Figura 4
As retas \;AB\; e \;BC\; são perpendicular em \;A.\;
A partir de \;A\; marcando \;r\; sobre as duas retas determinamos \;I, \; centro da circunferência inscrita. Traça-se o incírculo.
Seja \;D, \;um ponto livre sobre o arco \;EF.\; Traça-se a tangente à circunferência inscrita em \;D.\; Esta tangente determina os vértices \;B \;\rm{e}\; C\; sobre as retas \;AB\; \;AC.\;
Quando \;D\; percorre o arco \;EF,\; todos os triângulos retângulos assim gerados são solução.
Mariana Sacchetti
Aveiro, Fevereiro 2022.
Na anterior publicação refere-se que o problema se pode reduzir a um outro:
Construir um triângulo retângulo de que se conhece a hipotenusa e a soma dos seus catetos.
Observando a figura:
Figura 3
Seja \;c\; a hipotenusa e \;a, \;b\; os catetos
\;𝑐 = 𝑏 − 𝑟 + 𝑎 − 𝑟 ⟺ 2𝑟 = (𝑏 + 𝑎) − 𝑐 𝑒 2𝑅 = 𝑐 \;\rm{e}\; 2R= c\; Assim podemos determinar \;r\; e \;R\; e resolver como o problema anterior.
Por último , e ainda na mesma entrada, é considerado um outro problema sugeridos pelos anteriores:
A partir do vértice do ângulo reto, determinar um triângulo retângulo \;[ABC]\; de que se conhece só o raio da circunferência inscrita.
Parece-me que este problema tem uma infinidade de soluções. Vejamos a seguinte construção:
Figura 4
A partir de \;A\; marcando \;r\; sobre as duas retas determinamos \;I, \; centro da circunferência inscrita. Traça-se o incírculo.
Seja \;D, \;um ponto livre sobre o arco \;EF.\; Traça-se a tangente à circunferência inscrita em \;D.\; Esta tangente determina os vértices \;B \;\rm{e}\; C\; sobre as retas \;AB\; \;AC.\;
Quando \;D\; percorre o arco \;EF,\; todos os triângulos retângulos assim gerados são solução.
Mariana Sacchetti
Aveiro, Fevereiro 2022.
12.3.22
Triângulo retângulo dados raios de incírculo e circuncírculo
... continuado do anterior...
Construir o triângulo retângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita.
Resolvamos, agora o problema:
Figura 2
Como podemos observar o problema tem duas soluções, para o mesmo lado da reta \; AB.\; (o problema tem no total 4 soluções)
A partir de um ponto \;A\; e sobre uma reta suporte de \;AB,\; o ponto \;B\; dista \;2R\; de \;A.\;
Tracemos uma reta à distância \;r\; da reta \;AB.\; Determinemos \;\overline{𝐼𝑂}\; (média geométrica de \;R\; e \;R-2r\;). A circunferência de centro \;O\; e raio \;\overline{𝐼𝑂,}\; determina sobre a reta paralela a \;AB\; dois pontos de interseção, incentros das duas soluções possíveis.
Desenha-se, para cada solução, a circunferência inscrita e por \;A\; ou por \;B\; desenham-se as tangentes ao incírculo que determinam o vértice \;C\; sobre a circunferência circunscrita.
Do mesmo modo haveria outras duas soluções simétricas das apresentadas relativamente à reta \;AB\;, como se vê nos últimos passos da construção.
a continuar
Construir o triângulo retângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita.
Resolvamos, agora o problema:
Figura 2
Como podemos observar o problema tem duas soluções, para o mesmo lado da reta \; AB.\; (o problema tem no total 4 soluções)
A partir de um ponto \;A\; e sobre uma reta suporte de \;AB,\; o ponto \;B\; dista \;2R\; de \;A.\;
Tracemos uma reta à distância \;r\; da reta \;AB.\; Determinemos \;\overline{𝐼𝑂}\; (média geométrica de \;R\; e \;R-2r\;). A circunferência de centro \;O\; e raio \;\overline{𝐼𝑂,}\; determina sobre a reta paralela a \;AB\; dois pontos de interseção, incentros das duas soluções possíveis.
Desenha-se, para cada solução, a circunferência inscrita e por \;A\; ou por \;B\; desenham-se as tangentes ao incírculo que determinam o vértice \;C\; sobre a circunferência circunscrita.
Do mesmo modo haveria outras duas soluções simétricas das apresentadas relativamente à reta \;AB\;, como se vê nos últimos passos da construção.
a continuar
11.3.22
Triângulo rectângulo
A 13.04.06,
em Geometrias
é colocado o seguinte problema:
Construir o triângulo retângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita.
Comecemos por referir e demonstrar a seguinte propriedade, que se verifica em qualquer triângulo:
\overline{IO}^2 = R(R -2r),\; em que \;I\; é o centro da circunferência inscrita, \;O\; é o centro da circunferência circunscrita, \;R\; é o raio da circunferência circunscrita e \;r\; é o raio da circunferência inscrita.
Podemos assim dizer, de outra forma, que a distância entre os centros das circunferências inscrita e circunscrita é a média geométrica entre \;R\; e \;R-2r,\; sendo \;r\; o raio da circunferência inscrita e \;R\; o raio da circunferência circunscrita.
Observemos a seguinte figura:
Figura 1
\;I\; incentro ; \;O\; circuncentro; \;CE\; bissetriz do ângulo \;C\;; \;FE\; mediatriz de \;[AB]; \;AI\; bissetriz do ângulo \;\widehat{A}\;, \;IJ\; paralela a \;AB\;
Prova:
O triângulo \;[AEF]\; é retângulo, logo
\; \displaystyle \frac{AB}{ED} = \frac{EF}{AE} \Longleftrightarrow AE^2 = ED \times EF \hspace{5cm}(1)
O triângulo \;[AEI]\; é isósceles, \;\overline{𝐴𝐸} = \overline{𝐸𝐼},\; a bissetriz do ângulo \widehat{C}\, e a mediatriz de \;[AB]\; intersetam-se num ponto do circuncírculo \;E\; equidistante de \;A,\;I,\; B.\; (demonstrada na publicação anterior 9.2.22 - Triângulos-Algumas propriedades)
O triângulo \;[IJO]\; é retângulo, logo \;\overline{𝐼𝑂}^2 = \overline{IJ}^2 + \overline{JO}^2 \hspace{5cm} (2)
O triângulo \;[EIJ]\; é retângulo, logo \; \overline{𝐸𝐼}^2\; =\;\overline{IJ}^2 + \overline{JE}^2 \hspace{5cm}(3)
Fazendo \;(2) – (3)\;
\;\overline{IO}^2\; -\;\overline{𝐸𝐼}^2\; =\;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2 \Longleftrightarrow \;\overline{IO}^2\;=\; AE^2 \;+\;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2\; \Longleftrightarrow
\;\Longleftrightarrow\overline{𝐸𝐼}^2\;= \; \overline{𝐸D}\;\times \; \overline{𝐸F}\;+ \;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2\; \Longleftrightarrow \;\overline{IO}^2\;= \;(R - \overline{OD})2R \overline{JO}^2\;-\;(R+\overline{OJ})^2 \Longleftrightarrow
\;\Longleftrightarrow \overline{IO}^2\;=\;2R^2 - 2R\overline{OD} +\overline{JO}^2 - R^2 - 2R\overline{OJ} - \overline{JO}^2 \;\Longleftrightarrow\;\overline{IO}^2=R^2 - 2R\overline{OD} - 2R(r - \overline{OD}) \Longleftrightarrow
\;\Longleftrightarrow \overline{IO}^2 =R^2 - 2r \Longleftrightarrow \overline{IO}^2 = R(R-2r) \hspace{5cm} c.q.d.
a continuar
é colocado o seguinte problema:
Construir o triângulo retângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita.
Comecemos por referir e demonstrar a seguinte propriedade, que se verifica em qualquer triângulo:
\overline{IO}^2 = R(R -2r),\; em que \;I\; é o centro da circunferência inscrita, \;O\; é o centro da circunferência circunscrita, \;R\; é o raio da circunferência circunscrita e \;r\; é o raio da circunferência inscrita.
Observemos a seguinte figura:
Figura 1
\;I\; incentro ; \;O\; circuncentro; \;CE\; bissetriz do ângulo \;C\;; \;FE\; mediatriz de \;[AB]; \;AI\; bissetriz do ângulo \;\widehat{A}\;, \;IJ\; paralela a \;AB\;
Prova:
O triângulo \;[AEF]\; é retângulo, logo
\; \displaystyle \frac{AB}{ED} = \frac{EF}{AE} \Longleftrightarrow AE^2 = ED \times EF \hspace{5cm}(1)
O triângulo \;[AEI]\; é isósceles, \;\overline{𝐴𝐸} = \overline{𝐸𝐼},\; a bissetriz do ângulo \widehat{C}\, e a mediatriz de \;[AB]\; intersetam-se num ponto do circuncírculo \;E\; equidistante de \;A,\;I,\; B.\; (demonstrada na publicação anterior 9.2.22 - Triângulos-Algumas propriedades)
O triângulo \;[IJO]\; é retângulo, logo \;\overline{𝐼𝑂}^2 = \overline{IJ}^2 + \overline{JO}^2 \hspace{5cm} (2)
O triângulo \;[EIJ]\; é retângulo, logo \; \overline{𝐸𝐼}^2\; =\;\overline{IJ}^2 + \overline{JE}^2 \hspace{5cm}(3)
Fazendo \;(2) – (3)\;
\;\overline{IO}^2\; -\;\overline{𝐸𝐼}^2\; =\;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2 \Longleftrightarrow \;\overline{IO}^2\;=\; AE^2 \;+\;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2\; \Longleftrightarrow
\;\Longleftrightarrow\overline{𝐸𝐼}^2\;= \; \overline{𝐸D}\;\times \; \overline{𝐸F}\;+ \;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2\; \Longleftrightarrow \;\overline{IO}^2\;= \;(R - \overline{OD})2R \overline{JO}^2\;-\;(R+\overline{OJ})^2 \Longleftrightarrow
\;\Longleftrightarrow \overline{IO}^2\;=\;2R^2 - 2R\overline{OD} +\overline{JO}^2 - R^2 - 2R\overline{OJ} - \overline{JO}^2 \;\Longleftrightarrow\;\overline{IO}^2=R^2 - 2R\overline{OD} - 2R(r - \overline{OD}) \Longleftrightarrow
\;\Longleftrightarrow \overline{IO}^2 =R^2 - 2r \Longleftrightarrow \overline{IO}^2 = R(R-2r) \hspace{5cm} c.q.d.
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