Hipocicloides - exemplos de 1 a 10

A construção dinâmica, que ora mostramos, apresenta casos em se consideram circunferências (A,r) de raios 1 a 10 (escolher valor na caixa ao centro) e uma outra circunferência (C,1) de raio 1 que roda em torno de A tangencial interiormente à primeira (A,r).

1. Os pontos de tangência das circunferências (A,r) e (C,r) à partida vão sendo os pontos que assumem posições D sobre (A,r) e (E,1) por rotações da posição $\;B\;$ e de (C,1) em torno de A de ângulo de amplitude $\;\alpha \;$ (dos ângulos BÂD ou DÂB). O arco BD de (A,r) correspondente a BÂD percorrido mede r$\alpha.\;$ De C a E a distância percorrida é (r-1)$\alpha.$
2. Considerando B a posição de um ponto fixado em (C,1), se não há lugar a arrastamento (ou deslizamento), quando (C,1) tiver ocupado a posição (E,1), o ponto fixado nesta circunferência que rola, estará a ocupar uma posição sobre (E,1) tal que o arco correspondente tenha comprimento igual a r$\alpha\;$ do arco BD em (A,r), ou seja, uma posição F (ou G) obtida por rotação de D em torno de E segundo ângulo r$\alpha \;$ (ou G segundo -r$\alpha\;$).
3. Os lugares geométricos de F e G para cada raio e dependentes de $\; \alpha\;$ são apresentados automaticamente, mas podem ser confirmados pela sua deslocação com a variação de $\;\alpha\;$ que pode ser obtida pelos botões ao fundo à esquerda.

14 anos

da Epicicloide à Hipocicloide

---

Segue-se um texto que acompanha, etapa a etapa, os passos da construção. Isto é, vão sendo apresentados os elementos um a um. Clicar no botão da animação pode não ter qualquer utilidade enquanto não se mostram os elementos que se sucedem por etapas. Se um elemento não está visível, não se vê o movimento desse elemento. Aconselhamos, por isso, que se utilize o botão de animação só a partir da etapa 3. Como alguns elementos em movimento deixam rasto, pode ser necessário recorrer ao botão de reiniciar para limpar esses rastos.

1. Começamos por mostrar duas circunferências:
   • uma de centro $\;A\;$ e raio $\;r\;$
   • outra de centro $\;C\;$ e raio $\;s,\;$
   • tangentes em $\;B\;$ e $\;\overline{AB}=r=3s=3\overline{CB}\;$
2. Consideremos que a circunferência de centro $\;C\;$ vai rolar em torno de $\;A\;$. Apresenta-se uma outra posição da circunferência de raio $\;s\;$ correspondente a uma rotação de ângulo $\; \alpha \;$ com centro $\;A.\;$ Nessa posição, o ponto de tangência das duas circunferências é uma posição $\;D\;$ tal que o ângulo $\;B\hat{A}D\;$ tem amplitude $\; \alpha \;$ e, pela mesma rotação o ponto $\;C\;$ há de estar agora numa posição $\;E\;$ tal que $\; C\hat{A}E = \;B\hat{A}D = \alpha\;$
3. e o ponto fixo em $\; (C, \;s)\;$ que estava na posição $\; B\;$ inicial há-de estar agora numa nova posição $\;F\;$ de $\;(E,\; s)\; $ e tal que o arco desta, $\; \widehat{DEF},\;$ há-de ter um comprimento igual ao arco $\;\widehat{BAD}=r\alpha\;$ ou seja $\; 3s\alpha .\;$ Mostra-se a trajetória descrita por $\; F\;$ residente fixo da circunferência $\;(E,\; s)\;$ rolante é uma epicicloide (já apresentada antes)





4. O reflexo de $\;F\;$ ao espelho $\;D\;$ é um ponto $\;G\;$ de uma circunferência reflexo de $\;(E,\;s)\;$ e tangente a $\;(A,\;r)\;$ no ponto $\;D\;$ que obviamente se desloca tangencialmente e interiormente a $\;(A\;r).\;$ O ponto $\;G\;$ assim determinado poderia obviamente ser determinado sem qualquer recurso às reflexões de cada um dos pontos $\;F\;$ relativamente a cada ponto (posição) $\;D\;$ que varia com $\; \alpha. \;$ O lugar geométrico dos pontos $\;G\;$ com a variação de $\;D \; \mbox{ou}\; \alpha \;$ é também mostrado. Pode usar a animação para ver os deslocamentos e os traços dos pontos $\; F\; \mbox{e} \;G.\;$ Para limpar esses rastos, clique no botão (à direita alta) de reiniciar.
   Chamo a atenção que todos ângulos de rotação que transformam $\;B\;$ em $\;D\;$ ou $\;C\;$ em $\;E,;$ em torno de $\;A\;$ e $\;D\;$ em $\;F\;$ ou $\;D\;$ em $\;G\;$ em torno de $\;E\;$ têm o mesmo sentido, para além da igualdade das distâncias em arco percorridas relativamente a quaisquer duas posições de $\;D\;$ (ou dois valores de $\; \alpha\;$)por exemplo , $\;r\alpha\;$ de $\;B\;$ até $\;D\;$) ou duas posições de $\;F\;$ ou $\;G\;$ nas respetivas circunferências (por exemplo os arcos de $\;D\;$ a $\;F\;$ e de $\;D\;$ a $\;G\;$ têm comprimento $\; 3s\alpha = r\alpha).$
5. Neste passo, experimentamos ver qual é a trajetória do ponto $\;H\;$ (reflexo de $\;F\;$ no espelho$\;AE\;$) em que são iguais as amplitudes dos ângulos $\;\angle D\hat{E}H\; $ e $\;\angle D\hat{E}F\;$ mas com sentidos opostos e, logo em que o ponto $\;H\;$ é obtido por rotação de $\;D\;$ em torno de $\;E\;$ segundo um ângulo igual mas de sinal ou sentido contrário ao sentido do ângulo da rotação de centro $\;A\;$ que nos leva de $\;B\;$ até $\;D\;$
6. Finalmente, consideramos o ponto $\;I\;$ reflexo de $\;H\;$ ao espelho $\;D\;$ que é ponto da circunferência reflexo de $\;(E,\;s)\;$ no mesmo espelho $\;D\;$ e nos devolve mais uma das hipocicloides - curvas cíclicas assim obtidas: como trajetória de um ponto preso a uma circunferência (geratriz) que rola tangencial e interiormente a uma outra circunferência (directriz).

Epiciclóides

---

A pensar que não são precisas quaisquer explicações, aqui fica um pacote de pares de circunferências em que cada uma das circunferências $\;(C,\;s)\;$ rola tangencialmente a $\;(A, \;r)\;$ sendo $$\; 1.5\leq r \leq 4.5\; \wedge s= \frac{5-r}{2}\;$$



Façam o que fizerem, lembrem-se que esta publicação é para lembrar que entrámos em época festiva.

---

Notas para quem decidiu não procurar as explicações nas entradas anteriores.

---

Nesta entrada, apresentamos uma ilustração dinâmica que junta vários pares de circunferências em que uma delas de raio $\;s\;$ rola, sem deslizar, tangencialmente pelo exterior de outra de raio $\;r.\;$ Para além da variável $\;\alpha \in ] 0, 60\pi[\;$ relacionada com as rotações ds circunferência $\;(C,\;s)\;$ em torno de $\;A\;$ tangencialmente a $\;(A, \;r) \;$ com $\;r \in[1.5, 4.5]\;$ e $\;s=\frac{5-r}{2}.\;$ Tomamos um ponto fixo de $\;(C,\;s)\;$ que inicialmente se encontra na posição $\;B\;$ de ponto de tangência das duas circunferências. Pelas entradas anteriores, já sabemos que quando à circunferência $\;(C,\;s)\;$ é aplicada uma rotação de um ângulo $\;alpha\;$ em torno de $\;A,\;$ ela passa a uma nova posição $\;(C', \;s)\;$ sendo então o ponto de tangência $\;T\;$ tal que o ângulo $\;B\hat{A}T = \alpha\;$ e o ponto $\;B\;$, que nesta nova posição $\;(C',\;s)\;$ da mesmma circunferência - chamemos-lhe $\;T'\;$ - será tal que o comprimento do arco $\;TT'\;$ de $\;(C, \;s)\;$ terá comprimento igual ao arco $\;BT\;$ de $\;(A,\; r), \;$ ou seja, o ângulo $\;T\hat{C'}T' -\;$ chamemos-lhe $\;\beta \;- \;$ será tal que $\;s \beta = r\alpha \;$.
Como sabemos que, em qualquer par das nossas circunferências, $$\;s= \displaystyle \frac{5-r}{2}, \;\mbox{então}\; T\hat{C'}T'= \beta = \frac{2r\alpha}{5-r}.\;$$
Os botões abaixo, servem para fazer variar

• $\;\alpha \;$ e, em consequência, $\;\beta\;$
• $\;r\;$ e, em consequência, $\;s\;$

Para cada valor de $\;r\;$, ao animar $\;alpha\;$, obtemos a epiciclóide relativa, isto é, o lugar geométrico das posições do ponto $\;B\;$ quando a circunferência $\;(C,\;s)\;$ rola em torno de $\;A\;$ tangencialmente a $\;(A, \;r).\;$ Pode parar em qualquer momento e fazer voltar ao valor zero de $\;\alpha\;$ e, querendo ocultar os traços de $\;T'\;$, terá de clicar no botão de reiniciar presente à direita alta do écran.
Ao variar $\;r,\;$ obtém pares de circunferências tangentes de vários raios e pode observar as variações dos epiciclóides, recorrendo ao botão dos LG$T'(r,\;\alpha)\;$ (lugares geométricos). No caso, a variação de $\;r\;$ é acompanhada da variação de $\;r/s\;$ (limitadas sempre a serem razões entre números naturais) que permite observar a relação desta razão com a epiciclóide... com o tipo de corola....
Se mantivermos a imagem inicial ou num fixado valor de $\;\alpha,\;$ ao fazer variar $\;r\;$ e consequentes epiciclóides, obtemos o traço de $\;T'\;$ de um epiciclóide para outro $\;T'(r).\;$ Para um fixado valor de $\;r\;$ ao fazer variar $\; \alpha\;$ o traço de $\;T'\;$ é uma sucessão de pontos de um dado epiciclóide.

---

Fazer variar tudo ao mesmo tempo, mostrando os lugares geométricos todos, é BOAS FESTAS

Epiciclóide 5/3

---

Nas anteriores entradas, sempre considerámos casos de rolamento de circunferências de raios $\;r, \;s\;$ tais que um deles é múltiplo do outro. E uma volta completa da maior correspondia a um número inteiro de voltas da mais pequena. Por isso, pelo rolamento da circunferência menor, um ponto nela preso, descreve como trajectória uma sucessão de cinco curvas iguais que tomámos por pétalas inteiras contiguas de uma corola em volta da circunferência maior. As construções e os procedimentos usados, bem como as explicações que as acompanharam, respondem a uma parte do problema de quem nos sugeriu este tema (para a nossa interpretação). Nesta entrada, vamos considerar um caso em que cada um dos raios continua a ter um comprimento por número inteiro, mas não divisor um de outro. No caso tomamos circunferências em que os raios r e s se relacionam por $\;3r=5s\;$ ou $\;r/s =5/3.\;$ Ou seja, no seu rolamento, a circunferência de raio $\;s,\;$ numa volta completa de um qualquer dos seus pontos $\;T'\;$ em torno de $\;C'\;$ percorre uma distância $$\; 2\pi s = 2\pi \times \frac{3r}{5}=\frac{3}{5}\times 2\pi r.\;$$ Os pontos de tangência, de um rolamento correspondente a uma volta completa de $\;(C, \;s),\;$ ocupam três de cinco partes iguais do perímetro de $\;(A, \:r)\;$

Pode ser necessário clicar no botão de reiniciar (direita alta) ou no botão de $\;\fbox{|<<}\;$ para voltar ao zero de $\;\alpha .\;$ Chamamos a atenção (e pedimos a paciência necessária) para a baixa velocidade dada à variação de $\; \alpha \;$ que permite obter o razoável traço de curva ao clicar no botão $\;\fbox{>}.\;$



Usando o 1º botão de animação $\;\fbox{>}\;$ de $\;\alpha\;$ para valores $\;[0, \:2\pi]\;$, enquanto os pontos de tangência das duas circunferências ocupam $\;(A,\;r),\;$ as diversas posições de $\;T'(\alpha)\;$ percorrem uma curva que vai de $\;B\;$ ponto comum de partida dos pontos de tangência até $\;B'= \mbox{Rot}_C^{10\pi /3}(B)\in\;\dot{A}B\;$ que obviamente não coincide com $\;B \equiv \mbox{Rot}_A^{2\pi} (B)\;$.
Da primeira pétala, só o primeiro $\;T'_0=B\;$ e o último ponto $\; T_1 = \mbox{Rot}_A^{3\pi /5}(B)= \mbox{Rot}_C'^{2\pi}(T_1) \;$ são comuns às duas circunferências $\;(A, \;r), \; (C', \; s),\;$ sendo cada um dos restantes só de uma das circunferências $\;(C', \;s).\;$ A segunda pétala parte do último ponto $\;T_1\;$ da primeira até ao ponto $\;T_2 =\mbox{Rot}_A^{6\pi /5}(B) = \mbox{Rot}_A^{3\pi /5}(T_1).\;$ E a terceira começa em $\;T_2\;$ para acabar em $\;T_3 = \mbox{Rot}_A^{3\pi /5}(T_2) = \mbox{Rot}_A^{9\pi /5}(B).\;$ A quarta começa em $\; T_3,\;$ para acabar em $\;T_4= \mbox{Rot}_A^{12\pi /5}(B).\;$ E a quinta pétala vai começar em $\;T_4\;$ para acabar em $\;T_5 =\mbox{Rot}_A^{15\pi /5}(B) \equiv B .\;$
Quando a razão dos dois raios não é inteira, temos um certo número de pétalas, no caso 5, mas que têm pontos e mesmo partes em comum.
Como vimos, neste caso e afins, basta procurar o menor múltiplo comum entre os dois raios inteiros para saber o ponto $\;T_6\;$ ou o valor de $\; \alpha \;$ a partir do qual tudo se volta a repetir.

Veremos outros casos em que os raios não sejam inteiros nem sejam inteiras as razões entre eles: racionais, irracionais, etc.