Reta de Euler Num triângulo qualquer, as três medianas concorrem num ponto (baricentro), as três mediatrizes concorrem num ponto (circuncentro) e as três alturas concorrem num ponto (ortocentro). Estes pontos, que podem coincidir ou não, são sempre colineares. Estão sobre uma reta - Reta de Euler.
PROBLEMA: Demonstrar que os ortocentro, circuncentro e baricentro estão sobre uma mesma reta.
\;\fbox{n=1}:\; Considera-se um triângulo \;[ABC]\; definido pelos seus vértices, os seus três lados \; a=[BC], \; b=[AC], \; c=[AB]. \;.
\;\fbox{n=2}:\; Três pontos não colineares determinam um triângulo e também determinam a circunferência única que passa pelos três pontos e cujo centro \;O\; é equidistante de \;A, \;B, \;C, \; ou seja, está na perpendicular a \;a\; tirada pelo seu ponto médio (mediatriz) onde estão todos os pontos equidistantes de \;B\; e \;C,\; na mediatriz de \;b\; - pontos equidistantes de \;C\; e \;A\; e na mediatriz de \;c\; - pontos equidistantes de \;A\; e \;B.\; \;O\; é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo.
26 fevereiro 2018, Criado com GeoGebra
\;\fbox{n=3}:\; Paralelas tiradas a cada um dos lados pelo vértice a ele oposto intersectam-se em \;A',\; B',\; C',\; vértices do triângulo \;[A'B'C']\; semelhante a \;[ABC]\; já que os seus ângulos são iguais cada um a cada um:
- \;( A'C' \parallel CA \wedge A'B' \parallel BA ) \Rightarrow \angle C'\hat{A'}B' = \angle C\hat{A}B \;
- \;( C'B' \parallel BC \wedge B'A' \parallel BA ) \Rightarrow \angle C'\hat{B'}A' = \angle A\hat{B}C \;
- \;( C'A' \parallel AC \wedge C'B' \parallel BC ) \Rightarrow \angle B'\hat{C'}A' = \angle B\hat{C}A \;
Por isso, podemos dizer que \;BC = B'A = AC'\; e, em consequência, que \;a'=B'C'=2 \times BC = 2a.\; Por razões análogas, se pode afirmar que \;b'=C'A'= 2 \times AC =2b\; e \;c'=A'B'= 2 \times AB=2c.\;
Podemos concluir que \;[ABC] \sim [A'B'C']\; de razão igual a 2: \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA}= \frac{A'B'}{AB} =2
\;\fbox{n=4}:\; No passo anterior já ficou provado que que \;A, \;B, \;C\; são os pontos médios de \;a'=B'C', \;b'=C'A', \;c'=A'B'\; respetivamente. E, por isso, sendo as alturas de \;[ABC]\; perpendiculares a \;B'C', \;C'A', \; A'B'\; tiradas pelos seus pontos médios \;A, \;B, C\; (segmentos das mediatrizes de \;[A'B'C']\;) que se intersectam no ponto que é o centro da circunferência \;(A'B'C').\; A existência do centro de qualquer circunferência definida por 3 pontos não colineares, garante que as três mediatrizes de qualquer triângulo têm um ponto em comum e, a ser assim, podemos afirmar que as alturas de qualquer triângulo têm um ponto em comum (ortocentro), porque as retas das alturas de \;[ABC]\; são as retas das mediatrizes de \;[A'B'C'].\; O ortocentro \;H\; de \;[ABC]\; é o circuncentro de \;[A'B'C'].\;
\;\fbox{n=5}:\; A semelhança de razão 2 entre os triângulos \;[ABC] \sim [A'B'C']\; permite-nos escrever \frac{H_{a'}A'}{H_a A}=\frac{H_{b'}B'}{H_b B}= \frac{H_{c'}C'}{H_c C}=2 Como é óbvio, a semelhança entre as circunferências \; (ABC)=(O, OA) \sim (A'B'C')=(H,HA')\; tem a mesma razão. E podemos escrever \frac{HA'}{OA}=\frac{HB'}{OB}= \frac{HC'}{OC}=2 Como \;A\; é o ponto médio de \;a'=B'C',\; AA'\; é mediana do triângulo \;[A'B'C']\; e, claro!, também são suas medianas \;BB'\; e \;CC'.
Como a mediatriz \;OM_a\; é paralela à altura \;AH_a,\; são semelhantes os triângulos \;[AGH]\; e \;M_aGO\; e como \;AH=2OM_a,\; também \;HG=2OG\; e \;AG=2M_aG.\; E, a ser assim, então a mediana \;AM_a\; corta o segmento \;OH\; num ponto \;G\; tal que \;OH=3OG.\;
Como já observámos no enunciado, há casos em que as medianas podem coincidir com as mediatrizes ou com as alturas e os pontos notáveis em causa coincidirem. Mas o raciocínio feito para uma das medianas \;AA'\; pode ser repetido para \;BB'\; e \;CC'\; nos triângulos escalenos em que não há coincidências.
Nos triângulos equiláteros são coincidentes as medianas, mediatrizes, alturas (e bissectrizes). No triângulo isósceles em que \;AB=AC,\; por exemplo, há coincidência da mediana \;AM_a\; com a mediatriz de \;BC\; e com a altura \;AH_a \; e com a linha \;OH.\; Ficou demonstrado que as três medianas de um triângulo têm um ponto em comum que designamos por \;G\; e a que chamamos baricentro.
\;\fbox{n=6}:\; Tendo provado que o baricentro está no segmento \;OH\; damos por provado que os três pontos \;O, \;G, \;H\; são colineares. À reta que passa por esses três pontos notáveis chamamos reta de Euler
de visita a uma entrada de Diamond nos gaussianos que nos lembrou a editora Nivola e o livro
Dunham. Euler: El maestro de todos los matemáticos. Nivola.
considerando uma demonstração (esta) de Gauss.
