10 ANOS DE GEOMETRIAS.BLOGSPOT.PT
©geometrias. 28 dezembro 2014, Criado com GeoGebra
27.12.14
Pontos equidistantes a duas circunferência dadas - uma discussão
Na entrada anterior, tratámos de procurar as curvas que contêm o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas circunferências dadas,\;(O_1, \; r_1)\; e \;(O_2, \; r_2)\;, considerando que a distância de um ponto \;P\; a a uma circunferência \;(O, \;r)\; é dada por
- \;OP-r, \; no caso de \;P\; ser exterior a \;(O, \;r)\;
- \;r-OP\; se \;P\; for interior a \;(O, \;r)\;
- \;0\; se \,P\; for um ponto de \;(O, \;r)\;
tendo concluído que os pontos \;P\; equidistantes das duas circunferências \;(O_1, \; r_1)\; e \;(O_2, \; r_2)\; satisfazem a condição: Os pontos \;P\; exteriores às duas circunferências e delas equidistantes satisfazem a condição \;O_1P -r_1= O_2P -r_2\; equivalente a O_1P - O_2P = r_1-r_2\; \mbox{ou}\; O_2P - O_1P = r_2 - r_1 ou pontos de uma hipérbole de focos \;O_1, \; O_2\; com segmento de eixo transverso de comprimento \;|r_1 - r_2|\; que pode seguir-se na figura que transportámos para esta entrada.
António Aurélio Fernandes insistiu que devíamos discutir a figura, a existência de soluções, o lugar geométrico. Quando procuramos um lugar geométrico de pontos que satisfazem uma dada condição, isto é, um conjunto de pontos definido compreensivamente pela condição, temos de esclarecer que face a um dado ponto qualquer (da hipérbole, por exemplo) podemos dizer, sem dúvida, que ele pertence ou não pertence ao lugar geométrico e podemos esclarecer para que (definições e) condições é que o conjunto de pontos encontrados (a hipérbole) é o respetivo lugar lugar geométrico.
É óbvio que \;PL=PO_2-r_2 = PO_1 -r_1= PN\; e, para a definição considerada acima, P é um ponto equidistante das duas circunferências e da hipérbole.
© geometrias, 17 de Dezembro de 2014, Criado com GeoGebra
Mas para o ponto \;S\; da hipérbole, é óbvio que \;SJ=SO_1-r_1 \neq SO_2 -r_2 =SW\; e, por isso, \;S\; não é um ponto equidistante das duas circunferências para a definição de distância de um ponto a uma circunferência acima estabelecida.
Podemos verificar rapidamente que há um ponto \;K\; de \;(O_1, \; r_1)\; e um ponto \;Z\; de \;(O_2, \; r_2)\; tais que \; SK=SO_1+r_1 = SO_2+r_2 = SZ \; e \;SO_2 + r_2 = SO_1 + r_1 \; \mbox{ou} \; SO_2-SO_1= r_2 -r_1\; e que é por isso que \;S\; é um ponto da hipérbole de focos \;O_1, \; O_2\; com segmento de eixo transverso de comprimento \;|r_1 - r_2|\;
Essa hipérbole seria o lugar geométrico dos pontos equidistantes das duas circunferências se tivéssemos definido que um ponto \;X\; é equidistante das duas circunferências sempre que existirem \; X_1 \in (O_1, \; r_1). XO_1 , \; X_2 \in (O_2, \; r_2). XO_2\; tais que \;XX_1= XX_2\;
Sabemos que a hipérbole de focos \;O_1, \; O_2\; com segmento de eixo transverso de comprimento \;|r_1 - r_2|\; é o lugar geométrico dos pontos \;P\: tais que \;|PO_1 - PO_2|=|r_1-r_2|, sendo que esta condição pode ser decomposta numa disjunção de várias, que a cada uma corresponde o seu conjunto de pontos (soluções) e que a reunião dos diversos conjuntos de pontos (soluções) dessas condições constituem a hipérbole.
17.12.14
Pontos equidistantes a duas circunferências dadas.
Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado nas entradas anteriores, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas circunferências \;(O_1, \; r_1)\; e \;(O_2, \; r_2)\; .
Sabemos que a distância de um ponto \;P\; a uma circunferência \;(O, \;r)\; é dada por
- \;OP-r, \; no caso de \;P\; ser exterior a \;(O, \;r)\;
- \;r-OP\; se \;P\; for interior a \;(O, \;r)\;
- \;0\; se \,P\; for um ponto de \;(O, \;r)\;
Os pontos \;P\; equidistantes de duas circunferências \;(O_1, \; r_1)\; e \;(O_2, \; r_2)\; satisfarão as seguintes condições:
- Os pontos \;P\; exteriores às duas circunferências e delas equidistantes satisfazem a condição \;O_1P -r_1= O_2P -r_2\; equivalente a O_1P - O_2P = r_1-r_2\; \mbox{ou}\; O_2P - O_1P = r_2 - r_1 ou pontos de uma hipérbole de focos \;O_1, \; O_2\; com segmento de eixo transverso de comprimento \;|r_1 - r_2|\;
- Os pontos \;P\; exteriores a \;(O_1, \;r_1)\; e interiores a \;(O_2, \; r_2)\; delas equidistantes satisfazem a condição \;O_1 P - r_1 =r_2 - O_2P\; equivalente a
O_1P + O_2P = r_1+ r_2
ou pontos de uma elipse de focos \;O_1, \;O_2\; e eixo maior de comprimento \;r_1+r_2\;.
Como é óbvio, os pontos interiores a \;(O_1, \;r_1)\; e exteriores a \;(O_2, \; r_2)\; satisfazem a mesma condição. - Os pontos interiores a ambas as circunferências e delas equidistantes satisfazem a condição \;r_1 - O_1P =r_2 - O_2P\; equivalente a O_1 P-O_2P = r_1-r_2 \; \mbox{ou} \; O_2P - O_1P = r_2-r_1 ou pontos de uma hipérbole de focos \;O_1, \;O_2\; e segmento de eixo transverso de comprimento \;|r_1 -r_2|\;
Na construção que apresentamos a seguir, tomamos duas circunferências de raios (6 e 2) diferentes, sendo os centros pontos livres no plano. pretendemos ilustrar o que atrás concluímos e não percorrer exaustivamente todos os casos que diferentes situações relativas das circunferências ou a comparação entre os raios (por exemplo não tomamos circunferências de raios iguais).
© geometrias, 17 de Dezembro de 2014, Criado com GeoGebra
Ao alto da construção temos dois segmentos: \;AB = r_1 + r_2\; e outro \;EF = |r_1 - r_2|:
- O ponto \;S\; livre em \;AB\; divide este em dois \;AS\; e \;BS\; que permite, por interseção de circunferências centradas em \;O_1, \; O_2\; e de raios \;AS, \;BS, \; determinar pontos cuja somas das suas distâncias a \;O_1\; e \;O_2\; seja constante igual a \;r_1 + r_2\;
- o ponto \;D\; colinear com \;E, \;F\; exterior a \;EF\; determina dois segmentos \;DE\; e \;DF\; tais que \;DE - DF = |r_1-r_2|\; que permitem, por sua vez, por interseção de circunferências centradas em \;O_1, \;O_2\; e raios \;DE, \;DF, \; determinar pontos tais que as diferenças das suas distâncias aos centros \;O_1, \;O_2\; é constante e igual a \;|r_1 - r_2|\;
A janela inicial ilustra o caso de duas circunferências mutuamente exteriores. Fazendo deslocar qualquer dos centros pode ir vendo, para as diferentes posições relativas das duas circunferências, as curvas que vão aparecendo e discutir para cada uma delas se se trata do lugar geométrico dos pontos equidistantes às duas.
Pode sempre voltar à configuração inicial clicando sobre o "botão na direita alta" e clicando no botão \;\fbox{|>}\, na esquerda baixa, que movimenta \;S,\; D, \; pode acompanhar o traçado das diversas curvas pelos pontos \;P, \;Q\; construídos pelo processo descrito.
12.12.14
Pontos equidistantes de uma circunferência e de uma reta que a interseta. (2)
Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado nas entradas anteriores, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma circunferência \;(O, \; r)\; e de uma reta\;a\; que a interseta.
Na nossa construção,
\;\; \fbox{n=1}:\;\; é dada a circunferência \;(O, \; r)\; e uma reta \;a\; que a interseta em \;B, \;C\;.
Fazendo variar os valor de \;n\; no cursor \;\fbox{n=}\;, pode seguir os passos da resolução do problema de construção do lugar geométrico dos pontos equidistantes de \;a\; e de \;(O, \;r).\; Usando os pontos \;A \; e \;T\; pode variar a posição da reta \;a\;
\;\; \fbox{n=2}:\;\; A reta definida por \;A\, e \;O\; interseta a circunferência no ponto \;T\; que é o ponto da circunferência mais próximo de \;a.\; A distância de \;a\; à circunferência é, pois, \;AT= r-AO\; e o ponto médio do segmento \;AT\; é equidistante de \;a\; e de \;(O, \;r)\; e, por isso, é um ponto do lugar geométrico que procuramos. Para determinar outros pontos \;Q\; equidistantes de \;a\; e de \;(O, \;r)\; tomamos um ponto \;D\; variável da circunferência e a tangente em \;D\; perpendicular a \;DA\; que contém os segmentos de reta cujos comprimentos são distâncias de pontos à circunferência. Os pontos \;Q\; equidistantes da circunferência e da reta encontram-se como interseções de \;a\; com as bissetrizes dos ângulos \;D\hat{G}A\; das tangentes nos ponto \;D\; com a reta \;\;a\;.
© geometrias, 11 de Dezembro de 2014, Criado com GeoGebra
\;\; \fbox{n=3}:\;\; Quando o ponto \;D\; percorre o arco \;BTC\; da circunferência, os pontos \;Q\; do semiplano determinado pela reta \;a\; e pelo ponto \;T\; percorrem um arco de parábola de foco \;O\; e diretriz \;d_1\; determinada de modo análogo ao usado na entrada anterior.
\;\; \fbox{n=4}:\;\; Para determinar outros pontos \;P\; equidistantes de \;a\; e da circunferência, procedemos de modo inteiramente análogo usando um ponto \;E\; do arco \;CEB\; da circunferência no outro dos semi-planos definidos pela reta \;a\; .
\;\; \fbox{n=5}:\;\; E de modo análogo, vimos que quando \;E\; percorre o arco da circunferência, \;P\; percorre um arco de parábola de foco \;O\; e diretriz \,d_2\;
Claro que estas duas parábolas (que se intersetam nos pontos \;B, \;C\; e em que a reta \;a\; interseta \;(O, \;r)\; de que apresentámos um arco de cada) constituem o lugar geométrico dos pontos equidistantes da circunferência e da reta \;a\; que a intersete em dois pontos distintos. Separámos os arcos para \;D\; e \;E\; para simplificar a figura.
\;\; \fbox{n=6}:\;\; Poderá verificar o que atrás afirmamos seguindo a animação de um ponto \;M\; que percorre a circunferência, para o qual se determinam pontos das duas bissetrizes do ângulo formado pela tangente em \;M\;, perpendicular a \;OM,\; e a reta \;a\;. Para cada ponto \;M\; estão determinados sobre essas bissetrizes dois pontos equidistantes de \;a\; e de \;(O, \;r)\;. Estes pontos estão sobre as duas parábolas referidas.
Deslocando \;A\; até que este coincida com \;T\; pode ver que o lugar geométrico é formado por uma reta que passa por \;O\; pelo ponto de tangência da reta com a circunferência e por uma parábola
Se a reta \;a\; passa por \;O\; o lugar geométrico é constituído por duas parábolas que se intersetam nos extremos de um diâmetro da circunferência.
8.12.14
Pontos equidistantes de uma reta e de uma circunferência (1)
Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado nas entradas anteriores, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma circunferência \;(O, \; r)\; e de uma reta \;a\; que não interseta essa circunferência.
Na nossa construção,
- é dada a circunferência \;(O, \; r)\; e uma reta \;a\; que a não interseta;
- a reta perpendicular a \;a\, tirada por \;O\; interseta a circunferência no ponto \;B_0\; que é o ponto da circunferência mais próximo de \;a.\; A distância de \;A_0\; à circunferência é, pois, \;A_0B_0= r-A_0O,\;, já que \;A_0\; é exterior à circunferência, e o ponto \;P_0,\; médio do segmento \;A_0B_0\; é equidistante de \;A_0\; e de \;(O, \;r)\; e, por isso, é um ponto do lugar geométrico que procuramos;
- para determinar outros pontos \;P\; equidistantes de \;a\; e da circunferência, lembremo-nos que a distância de pontos \; P\; à circunferência é medida sobre a reta \;PO\;. Tomando um ponto \;B\; da circunferência, variável, a existir cada um dos pontos \;P\; que procuramos, estará sobre alguma reta \;BO,\; com \;B\; a percorrer a circunferência. Como a distância \;PB\; de \;P\; à circunferência terá de ser igual a \;PA, \; \;P\; terá de ser um ponto da bissetriz do ângulo formado pela tangente em \;B\; e por \;a\;, para cada \;B\; da circunferência;
- como sabemos para cada ponto \;B,\; há um ponto \;P\; para o qual \;AP= PB,\; sendo \;AP \perp a, \; e sobre a reta \;AP\; há um ponto \;U\; tal que \;AU=r\; ou \;PU = PO.\; \;PU\; é a distância de \;P\; à reta \;d\; paralela a \;a\; e que dela dista \;r, \; como se pode ver na nossa figura.
- Os pontos \;P\; equidistantes de \;a\; e de ;(O, \;r)\; são equidistantes de \;O\; e de \;d\;, isto é, estão sobre uma parábola de diretriz \;d\; e de foco \;O.\;
© geometrias, 8 de Dezembro de 2014, Criado com GeoGebra
Clicando sobre o botão \;\fbox{|>}\; poderá ver a curva que o ponto \;P\; percorre.
Na nossa construção, consideramos a reta \;a\; não secante nem tangente à circunferência \;(O, \;r)\; e os pontos \;B\; da circunferência tais que \; \angle A_0Ô B \leq \displaystyle \frac{\pi}{2} .\, Veremos outras construções com outras restrições em próximas entradas.
4.12.14
Pontos equidistantes de uma circunferência e um ponto a ela interior.
Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado na entrada anterior, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma circunferência \;(O, \; r)\; e de um ponto \;A\; tal que \;AO \leq r\;.
Na nossa construção,
\;\; \fbox{n=1}:\;\; é dada a circunferência \;(O, \; r)\; e um ponto \;A\; interior a ela.
Fazendo variar os valor de \;n\; no cursor \;\fbox{n=}\;, pode seguir os passos da resolução do problema de construção do lugar geométrico dos pontos equidistantes de \;A\; e de \;(O, \;r)\;
\;\; \fbox{n=2}:\;\; A reta definida por \;A\, e \;O\; interseta a circunferência no ponto \;B_0\; que é o ponto da circunferência mais próximo de \;A. \; A distância de \;A\; à circunferência é, pois, \;AB_0= r-AO\; e o ponto \;M-0\;, médio do segmento \;AB_0\; é equidistante de \;A\; e de \;(O, \;r)\; e, por isso, é um ponto do lugar geométrico que procuramos.
© geometrias, 3 de Dezembro de 2014, Criado com GeoGebra
\;\; \fbox{n=3}:\;\; Para determinar outros pontos \;P\; equidistantes de \;A\; e da circunferência, lembremo-nos que a distância de pontos \; P\; à circunferência é medida sobre a reta \;PO\;. Tomando um ponto \;B\; da circunferência, variável, a existir cada um dos pontos \;P\; que procuramos, estará sobre alguma reta \;BO,\; com \;B\; a percorrer a circunferência. Como a distância \;PB\; de \;P\; à circunferência terá de ser igual a \;PA, \; \;P\; terá de ser um ponto da mediatriz de \;AB\;, para cada \;B\; da circunferência.
\;\; \fbox{n=4}:\;\;Clicando sobre o botão \;\; \fbox{|>}\;\; de animação de \;B\; verificará que, quando \;B\; percorre a circunferência \;(O, \;r),\; o ponto \;P\; percorre uma elipse de focos \;A\; e \;O,\; como seria de esperar, já que \;PA=PB=r-PO\; que é o mesmo que \;PO+PA=r :\;
A soma \;PO+PA\; das distâncias de \;P\; a \;A\; e a \;O\; é constante (igual ao raio \;r\;da circunferência dada).
1.12.14
Pontos equidistantes de uma circunferência e um ponto a ela exterior.
Ao longo dos anos, apresentamos várias definições e várias construções para as cónicas recorrendo a condições com distâncias de ponto a ponto, de ponto a reta, de reta a reta. Vamos agora introduzir lugares geométricos dos pontos que verificam condições usando distâncias de ponto a circunferência, reta a circunferência e circunferência a circunferência. Nesta entrada, trataremos do lugar geométrico dos pontos equidistantes a um ponto e a uma circunferência dados.
Tomemos um ponto \;A\; e uma dada circunferência \;(O, r)\;. A distância do ponto \;A\; a \;(O, \;r)\; é dada por
- \;AO - r\; no caso de \;A\; ser exterior à circunferência; <\li>
- \;r-AO\; no caso de \;A\; ser interior à circunferência;
- \;0\; n caso de \;A\; estar sobre a circunferência.
Na nossa construção,
\;\; \fbox{n=1}:\;\; é dada a circunferência \;(O, \; r)\; e um ponto \;A\; exterior a ela.
Fazendo variar os valor de \;n\; no cursor \;\fbox{n=}\;, pode seguir os passos da resolução do problema de construção do lugar geométrico dos pontos equidistantes de \;A\; e de \;(O, \;r)\;
\;\; \fbox{n=2}:\;\; A reta definida por \;A\, e \;O\; interseta a circunferência no ponto \;B_0\; que é o ponto da circunferência mais próximo de \;A. \; A distância de \;A\; à circunferência é, pois, \;AB_0= AO-r\; e o ponto \;M-0\;, médio do segmento \;AB_0\; é equidistante de \;A\; e de \;(O, \;r)\; e, por isso é um ponto do lugar geométrico que procuramos.
© geometrias, 30 de Novembro de 2014, Criado com GeoGebra
\;\; \fbox{n=3}:\;\; Para determinar outros pontos \;P\; equidistantes de \;A\; e da circunferência, lembremo-nos que a distância de pontos \; P\; à circunferência é medida sobre a reta \;PO\;. Tomando um ponto \;B\; da circunferência, variável, a existirem cada um dos pontos \;P\; que procuramos estará sobre alguma reta \;BO,\; com \;B\; a percorrer a circunferência. Como distância \;PB\; de \;P\; à circunferência terá de ser igual a \;PA, \; \;P\; terá de ser um ponto da mediatriz de \;AB\;, para cada \;B\; da circunferência.
\;\; \fbox{n=4}:\;\;Clicando sobre o botão \;\; \fbox{|>}\;\; de animação de \;B\; verificará que, quando \;B\; percorre a circunferência \;(O, \;r),\; o ponto \;P\; percorre uma hipérbole de focos \;A\; e \;O,\; como seria de esperar, já que \;PA=PB=PO-r\; que é o mesmo que \;PO-PA=r :\;
A diferença \;PO-PA\; das distâncias de \;P\; a \;A\; e a \;O\; é constante (igual ao raio \;r\;da circunferência dada).
Subscrever:
Mensagens (Atom)