GEOMETRIA : dezembro 2014

28.12.14

o décimo aniversário do GEOMETRIAS e a evolução regular da teia.

DEZANOS

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©geometrias. 28 dezembro 2014, Criado com GeoGebra

27.12.14

Pontos equidistantes a duas circunferência dadas - uma discussão

Na entrada anterior, tratámos de procurar as curvas que contêm o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas circunferências dadas,$\;(O_1, \; r_1)\;$ e $\;(O_2, \; r_2)\;$, considerando que a distância de um ponto $\;P\;$ a a uma circunferência $\;(O, \;r)\;$ é dada por

$\;OP-r, \;$ no caso de $\;P\;$ ser exterior a $\;(O, \;r)\;$
$\;r-OP\;$ se $\;P\;$ for interior a $\;(O, \;r)\;$
$\;0\;$ se $\,P\;$ for um ponto de $\;(O, \;r)\;$

tendo concluído que os pontos $\;P\;$ equidistantes das duas circunferências $\;(O_1, \; r_1)\;$ e $\;(O_2, \; r_2)\;$ satisfazem a condição: Os pontos $\;P\;$ exteriores às duas circunferências e delas equidistantes satisfazem a condição $\;O_1P -r_1= O_2P -r_2\;$ equivalente a $$O_1P - O_2P = r_1-r_2\; \mbox{ou}\; O_2P - O_1P = r_2 - r_1$$ ou pontos de uma hipérbole de focos $\;O_1, \; O_2\;$ com segmento de eixo transverso de comprimento $\;|r_1 - r_2|\;$ que pode seguir-se na figura que transportámos para esta entrada.

António Aurélio Fernandes insistiu que devíamos discutir a figura, a existência de soluções, o lugar geométrico. Quando procuramos um lugar geométrico de pontos que satisfazem uma dada condição, isto é, um conjunto de pontos definido compreensivamente pela condição, temos de esclarecer que face a um dado ponto qualquer (da hipérbole, por exemplo) podemos dizer, sem dúvida, que ele pertence ou não pertence ao lugar geométrico e podemos esclarecer para que (definições e) condições é que o conjunto de pontos encontrados (a hipérbole) é o respetivo lugar lugar geométrico.

É óbvio que $\;PL=PO_2-r_2 = PO_1 -r_1= PN\;$ e, para a definição considerada acima, P é um ponto equidistante das duas circunferências e da hipérbole.

Mas para o ponto $\;S\;$ da hipérbole, é óbvio que $\;SJ=SO_1-r_1 \neq SO_2 -r_2 =SW\;$ e, por isso, $\;S\;$ não é um ponto equidistante das duas circunferências para a definição de distância de um ponto a uma circunferência acima estabelecida.
Podemos verificar rapidamente que há um ponto $\;K\;$ de $\;(O_1, \; r_1)\;$ e um ponto $\;Z\;$ de $\;(O_2, \; r_2)\;$ tais que $\; SK=SO_1+r_1 = SO_2+r_2 = SZ \;$ e $$\;SO_2 + r_2 = SO_1 + r_1 \; \mbox{ou} \; SO_2-SO_1= r_2 -r_1\;$$ e que é por isso que $\;S\;$ é um ponto da hipérbole de focos $\;O_1, \; O_2\;$ com segmento de eixo transverso de comprimento $\;|r_1 - r_2|\;$

Essa hipérbole seria o lugar geométrico dos pontos equidistantes das duas circunferências se tivéssemos definido que um ponto $\;X\;$ é equidistante das duas circunferências sempre que existirem $\; X_1 \in (O_1, \; r_1). XO_1 , \; X_2 \in (O_2, \; r_2). XO_2\;$ tais que $\;XX_1= XX_2\;$

Sabemos que a hipérbole de focos $\;O_1, \; O_2\;$ com segmento de eixo transverso de comprimento $\;|r_1 - r_2|\;$ é o lugar geométrico dos pontos $\;P\:$ tais que $$\;|PO_1 - PO_2|=|r_1-r_2|,$$ sendo que esta condição pode ser decomposta numa disjunção de várias, que a cada uma corresponde o seu conjunto de pontos (soluções) e que a reunião dos diversos conjuntos de pontos (soluções) dessas condições constituem a hipérbole.

17.12.14

Pontos equidistantes a duas circunferências dadas.

Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado nas entradas anteriores, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas circunferências $\;(O_1, \; r_1)\;$ e $\;(O_2, \; r_2)\;$ .

Sabemos que a distância de um ponto $\;P\;$ a uma circunferência $\;(O, \;r)\;$ é dada por

$\;OP-r, \;$ no caso de $\;P\;$ ser exterior a $\;(O, \;r)\;$
$\;r-OP\;$ se $\;P\;$ for interior a $\;(O, \;r)\;$
$\;0\;$ se $\,P\;$ for um ponto de $\;(O, \;r)\;$

Os pontos $\;P\;$ equidistantes de duas circunferências $\;(O_1, \; r_1)\;$ e $\;(O_2, \; r_2)\;$ satisfarão as seguintes condições:

Os pontos $\;P\;$ exteriores às duas circunferências e delas equidistantes satisfazem a condição $\;O_1P -r_1= O_2P -r_2\;$ equivalente a $$O_1P - O_2P = r_1-r_2\; \mbox{ou}\; O_2P - O_1P = r_2 - r_1$$ ou pontos de uma hipérbole de focos $\;O_1, \; O_2\;$ com segmento de eixo transverso de comprimento $\;|r_1 - r_2|\;$
Os pontos $\;P\;$ exteriores a $\;(O_1, \;r_1)\;$ e interiores a $\;(O_2, \; r_2)\;$ delas equidistantes satisfazem a condição $\;O_1 P - r_1 =r_2 - O_2P\;$ equivalente a $$ O_1P + O_2P = r_1+ r_2$$ ou pontos de uma elipse de focos $\;O_1, \;O_2\;$ e eixo maior de comprimento $\;r_1+r_2\;$.
Como é óbvio, os pontos interiores a $\;(O_1, \;r_1)\;$ e exteriores a $\;(O_2, \; r_2)\;$ satisfazem a mesma condição.
Os pontos interiores a ambas as circunferências e delas equidistantes satisfazem a condição $\;r_1 - O_1P =r_2 - O_2P\;$ equivalente a $$O_1 P-O_2P = r_1-r_2 \; \mbox{ou} \; O_2P - O_1P = r_2-r_1 $$ ou pontos de uma hipérbole de focos $\;O_1, \;O_2\;$ e segmento de eixo transverso de comprimento $\;|r_1 -r_2|\;$

Na construção que apresentamos a seguir, tomamos duas circunferências de raios (6 e 2) diferentes, sendo os centros pontos livres no plano. pretendemos ilustrar o que atrás concluímos e não percorrer exaustivamente todos os casos que diferentes situações relativas das circunferências ou a comparação entre os raios (por exemplo não tomamos circunferências de raios iguais).

Ao alto da construção temos dois segmentos: $\;AB = r_1 + r_2\;$ e outro $\;EF = |r_1 - r_2|:$

O ponto $\;S\;$ livre em $\;AB\;$ divide este em dois $\;AS\;$ e $\;BS\;$ que permite, por interseção de circunferências centradas em $\;O_1, \; O_2\;$ e de raios $\;AS, \;BS, \;$ determinar pontos cuja somas das suas distâncias a $\;O_1\;$ e $\;O_2\;$ seja constante igual a $\;r_1 + r_2\;$
o ponto $\;D\;$ colinear com $\;E, \;F\;$ exterior a $\;EF\;$ determina dois segmentos $\;DE\;$ e $\;DF\;$ tais que $\;DE - DF = |r_1-r_2|\;$ que permitem, por sua vez, por interseção de circunferências centradas em $\;O_1, \;O_2\;$ e raios $\;DE, \;DF, \;$ determinar pontos tais que as diferenças das suas distâncias aos centros $\;O_1, \;O_2\;$ é constante e igual a $\;|r_1 - r_2|\;$

A janela inicial ilustra o caso de duas circunferências mutuamente exteriores. Fazendo deslocar qualquer dos centros pode ir vendo, para as diferentes posições relativas das duas circunferências, as curvas que vão aparecendo e discutir para cada uma delas se se trata do lugar geométrico dos pontos equidistantes às duas.
Pode sempre voltar à configuração inicial clicando sobre o "botão na direita alta" e clicando no botão $\;\fbox{|>}\,$ na esquerda baixa, que movimenta $\;S,\; D, \;$ pode acompanhar o traçado das diversas curvas pelos pontos $\;P, \;Q\;$ construídos pelo processo descrito.

12.12.14

Pontos equidistantes de uma circunferência e de uma reta que a interseta. (2)

Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado nas entradas anteriores, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma circunferência $\;(O, \; r)\;$ e de uma reta$\;a\;$ que a interseta.

Na nossa construção,
$\;\; \fbox{n=1}:\;\;$ é dada a circunferência $\;(O, \; r)\;$ e uma reta $\;a\;$ que a interseta em $\;B, \;C\;$.
Fazendo variar os valor de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=}\;$, pode seguir os passos da resolução do problema de construção do lugar geométrico dos pontos equidistantes de $\;a\;$ e de $\;(O, \;r).\;$ Usando os pontos $\;A \;$ e $\;T\;$ pode variar a posição da reta $\;a\;$
$\;\; \fbox{n=2}:\;\;$ A reta definida por $\;A\,$ e $\;O\;$ interseta a circunferência no ponto $\;T\;$ que é o ponto da circunferência mais próximo de $\;a.\;$ A distância de $\;a\;$ à circunferência é, pois, $\;AT= r-AO\;$ e o ponto médio do segmento $\;AT\;$ é equidistante de $\;a\;$ e de $\;(O, \;r)\;$ e, por isso, é um ponto do lugar geométrico que procuramos. Para determinar outros pontos $\;Q\;$ equidistantes de $\;a\;$ e de $\;(O, \;r)\;$ tomamos um ponto $\;D\;$ variável da circunferência e a tangente em $\;D\;$ perpendicular a $\;DA\;$ que contém os segmentos de reta cujos comprimentos são distâncias de pontos à circunferência. Os pontos $\;Q\;$ equidistantes da circunferência e da reta encontram-se como interseções de $\;a\;$ com as bissetrizes dos ângulos $\;D\hat{G}A\;$ das tangentes nos ponto $\;D\;$ com a reta $\;\;a\;$.

$\;\; \fbox{n=3}:\;\;$ Quando o ponto $\;D\;$ percorre o arco $\;BTC\;$ da circunferência, os pontos $\;Q\;$ do semiplano determinado pela reta $\;a\;$ e pelo ponto $\;T\;$ percorrem um arco de parábola de foco $\;O\;$ e diretriz $\;d_1\;$ determinada de modo análogo ao usado na entrada anterior.
$\;\; \fbox{n=4}:\;\;$ Para determinar outros pontos $\;P\;$ equidistantes de $\;a\;$ e da circunferência, procedemos de modo inteiramente análogo usando um ponto $\;E\;$ do arco $\;CEB\;$ da circunferência no outro dos semi-planos definidos pela reta $\;a\;$ .
$\;\; \fbox{n=5}:\;\;$ E de modo análogo, vimos que quando $\;E\;$ percorre o arco da circunferência, $\;P\;$ percorre um arco de parábola de foco $\;O\;$ e diretriz $\,d_2\;$
Claro que estas duas parábolas (que se intersetam nos pontos $\;B, \;C\;$ e em que a reta $\;a\;$ interseta $\;(O, \;r)\;$ de que apresentámos um arco de cada) constituem o lugar geométrico dos pontos equidistantes da circunferência e da reta $\;a\;$ que a intersete em dois pontos distintos. Separámos os arcos para $\;D\;$ e $\;E\;$ para simplificar a figura.
$\;\; \fbox{n=6}:\;\;$ Poderá verificar o que atrás afirmamos seguindo a animação de um ponto $\;M\;$ que percorre a circunferência, para o qual se determinam pontos das duas bissetrizes do ângulo formado pela tangente em $\;M\;$, perpendicular a $\;OM,\;$ e a reta $\;a\;$. Para cada ponto $\;M\;$ estão determinados sobre essas bissetrizes dois pontos equidistantes de $\;a\;$ e de $\;(O, \;r)\;$. Estes pontos estão sobre as duas parábolas referidas.
Deslocando $\;A\;$ até que este coincida com $\;T\;$ pode ver que o lugar geométrico é formado por uma reta que passa por $\;O\;$ pelo ponto de tangência da reta com a circunferência e por uma parábola
Se a reta $\;a\;$ passa por $\;O\;$ o lugar geométrico é constituído por duas parábolas que se intersetam nos extremos de um diâmetro da circunferência.

8.12.14

Pontos equidistantes de uma reta e de uma circunferência (1)

Na nossa construção,

é dada a circunferência $\;(O, \; r)\;$ e uma reta $\;a\;$ que a não interseta;
a reta perpendicular a $\;a\,$ tirada por $\;O\;$ interseta a circunferência no ponto $\;B_0\;$ que é o ponto da circunferência mais próximo de $\;a.\;$ A distância de $\;A_0\;$ à circunferência é, pois, $\;A_0B_0= r-A_0O,\;$, já que $\;A_0\;$ é exterior à circunferência, e o ponto $\;P_0,\;$ médio do segmento $\;A_0B_0\;$ é equidistante de $\;A_0\;$ e de $\;(O, \;r)\;$ e, por isso, é um ponto do lugar geométrico que procuramos;

para determinar outros pontos $\;P\;$ equidistantes de $\;a\;$ e da circunferência, lembremo-nos que a distância de pontos $\; P\;$ à circunferência é medida sobre a reta $\;PO\;$. Tomando um ponto $\;B\;$ da circunferência, variável, a existir cada um dos pontos $\;P\;$ que procuramos, estará sobre alguma reta $\;BO,\;$ com $\;B\;$ a percorrer a circunferência. Como a distância $\;PB\;$ de $\;P\;$ à circunferência terá de ser igual a $\;PA, \;$ $\;P\;$ terá de ser um ponto da bissetriz do ângulo formado pela tangente em $\;B\;$ e por $\;a\;$, para cada $\;B\;$ da circunferência;
como sabemos para cada ponto $\;B,\;$ há um ponto $\;P\;$ para o qual $\;AP= PB,\;$ sendo $\;AP \perp a, \;$ e sobre a reta $\;AP\;$ há um ponto $\;U\;$ tal que $\;AU=r\;$ ou $\;PU = PO.\;$ $\;PU\;$ é a distância de $\;P\;$ à reta $\;d\;$ paralela a $\;a\;$ e que dela dista $\;r, \;$ como se pode ver na nossa figura.
Os pontos $\;P\;$ equidistantes de $\;a\;$ e de $;(O, \;r)\;$ são equidistantes de $\;O\;$ e de $\;d\;$, isto é, estão sobre uma parábola de diretriz $\;d\;$ e de foco $\;O.\;$

4.12.14

Pontos equidistantes de uma circunferência e um ponto a ela interior.

Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado na entrada anterior, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma circunferência $\;(O, \; r)\;$ e de um ponto $\;A\;$ tal que $\;AO \leq r\;$.

Na nossa construção,
$\;\; \fbox{n=1}:\;\;$ é dada a circunferência $\;(O, \; r)\;$ e um ponto $\;A\;$ interior a ela.
Fazendo variar os valor de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=}\;$, pode seguir os passos da resolução do problema de construção do lugar geométrico dos pontos equidistantes de $\;A\;$ e de $\;(O, \;r)\;$
$\;\; \fbox{n=2}:\;\;$ A reta definida por $\;A\,$ e $\;O\;$ interseta a circunferência no ponto $\;B_0\;$ que é o ponto da circunferência mais próximo de $\;A. \;$ A distância de $\;A\;$ à circunferência é, pois, $\;AB_0= r-AO\;$ e o ponto $\;M-0\;$, médio do segmento $\;AB_0\;$ é equidistante de $\;A\;$ e de $\;(O, \;r)\;$ e, por isso, é um ponto do lugar geométrico que procuramos.

$\;\; \fbox{n=3}:\;\;$ Para determinar outros pontos $\;P\;$ equidistantes de $\;A\;$ e da circunferência, lembremo-nos que a distância de pontos $\; P\;$ à circunferência é medida sobre a reta $\;PO\;$. Tomando um ponto $\;B\;$ da circunferência, variável, a existir cada um dos pontos $\;P\;$ que procuramos, estará sobre alguma reta $\;BO,\;$ com $\;B\;$ a percorrer a circunferência. Como a distância $\;PB\;$ de $\;P\;$ à circunferência terá de ser igual a $\;PA, \;$ $\;P\;$ terá de ser um ponto da mediatriz de $\;AB\;$, para cada $\;B\;$ da circunferência.
$\;\; \fbox{n=4}:\;\;$Clicando sobre o botão $\;\; \fbox{|>}\;\;$ de animação de $\;B\;$ verificará que, quando $\;B\;$ percorre a circunferência $\;(O, \;r),\;$ o ponto $\;P\;$ percorre uma elipse de focos $\;A\;$ e $\;O,\;$ como seria de esperar, já que $\;PA=PB=r-PO\;$ que é o mesmo que $\;PO+PA=r :\;$
A soma $\;PO+PA\;$ das distâncias de $\;P\;$ a $\;A\;$ e a $\;O\;$ é constante (igual ao raio $\;r\;$da circunferência dada).

1.12.14

Pontos equidistantes de uma circunferência e um ponto a ela exterior.

Ao longo dos anos, apresentamos várias definições e várias construções para as cónicas recorrendo a condições com distâncias de ponto a ponto, de ponto a reta, de reta a reta. Vamos agora introduzir lugares geométricos dos pontos que verificam condições usando distâncias de ponto a circunferência, reta a circunferência e circunferência a circunferência. Nesta entrada, trataremos do lugar geométrico dos pontos equidistantes a um ponto e a uma circunferência dados.

Tomemos um ponto $\;A\;$ e uma dada circunferência $\;(O, r)\;$. A distância do ponto $\;A\;$ a $\;(O, \;r)\;$ é dada por

$\;AO - r\;$ no caso de $\;A\;$ ser exterior à circunferência; <\li>
$\;r-AO\;$ no caso de $\;A\;$ ser interior à circunferência;
$\;0\;$ n caso de $\;A\;$ estar sobre a circunferência.

De um modo geral, podemos dizer que a distância de um ponto $\;P\;$ qualquer do plano a uma circunferência $\;(O, \; r)\:$ é dada por $$\; |PO-r|\;$$

Na nossa construção,
$\;\; \fbox{n=1}:\;\;$ é dada a circunferência $\;(O, \; r)\;$ e um ponto $\;A\;$ exterior a ela.
Fazendo variar os valor de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=}\;$, pode seguir os passos da resolução do problema de construção do lugar geométrico dos pontos equidistantes de $\;A\;$ e de $\;(O, \;r)\;$
$\;\; \fbox{n=2}:\;\;$ A reta definida por $\;A\,$ e $\;O\;$ interseta a circunferência no ponto $\;B_0\;$ que é o ponto da circunferência mais próximo de $\;A. \;$ A distância de $\;A\;$ à circunferência é, pois, $\;AB_0= AO-r\;$ e o ponto $\;M-0\;$, médio do segmento $\;AB_0\;$ é equidistante de $\;A\;$ e de $\;(O, \;r)\;$ e, por isso é um ponto do lugar geométrico que procuramos.

$\;\; \fbox{n=3}:\;\;$ Para determinar outros pontos $\;P\;$ equidistantes de $\;A\;$ e da circunferência, lembremo-nos que a distância de pontos $\; P\;$ à circunferência é medida sobre a reta $\;PO\;$. Tomando um ponto $\;B\;$ da circunferência, variável, a existirem cada um dos pontos $\;P\;$ que procuramos estará sobre alguma reta $\;BO,\;$ com $\;B\;$ a percorrer a circunferência. Como distância $\;PB\;$ de $\;P\;$ à circunferência terá de ser igual a $\;PA, \;$ $\;P\;$ terá de ser um ponto da mediatriz de $\;AB\;$, para cada $\;B\;$ da circunferência.
$\;\; \fbox{n=4}:\;\;$Clicando sobre o botão $\;\; \fbox{|>}\;\;$ de animação de $\;B\;$ verificará que, quando $\;B\;$ percorre a circunferência $\;(O, \;r),\;$ o ponto $\;P\;$ percorre uma hipérbole de focos $\;A\;$ e $\;O,\;$ como seria de esperar, já que $\;PA=PB=PO-r\;$ que é o mesmo que $\;PO-PA=r :\;$
A diferença $\;PO-PA\;$ das distâncias de $\;P\;$ a $\;A\;$ e a $\;O\;$ é constante (igual ao raio $\;r\;$da circunferência dada).