Problema: Temos um quadrado \;[ABCD]\;, um semicírculo de diâmetro \;AB,\; ao qual \;CK\; é tangente. A circunferência de centro \;O_1\; está inscrita no triângulo \;[CDK],\; As tangentes comuns a \;(O), \;(O_1)\; são as retas \;AD, \; EH.\; Esta última \;EH\; interseta \;CK\; em \; G\;. A circunferência de centro \;O_2\; está inscrita no triângulo \;[CGH].\;
Determinar relações entre os raios de \;(O_1)\; e \;(O_2).\;
Notações: Representemos por \;a =AB =...\; o comprimento do lado do quadrado , por \;r_1\; o raio de \;(O_1)\; e por \;r_2\; o raio de \;(O_2).\;
A construção da figura é feita pela ordem que a descrição do enunciado sugere e a determinação das relações pode ser feita de vários modos. Escolhemos o que nos pareceu mais simples, com recurso a propriedades das tangentes comuns a circunferências, a triângulos retângulos, teorema de Pitágoras e semelhanças.
© geometrias, 13 de Outubro de 2014, Criado com GeoGebra
- Por construção, a semicircunferência \;(O)\; tem diâmetro \;AB=a\; ou raio igual a \;\displaystyle \frac{a}{2}\; e como \;CL\; e \;CB\; são segmentos das tangentes a \;(O)\; tiradas por \;C, \; \;CL =CB =a.\; Do mesmo modo, por serem \;CS\; e \;CM\; segmentos das tangentes a \; (O_1)\; tiradas por \;C, \; \;CS =CM= CD-DS = a- r_1.
Assim, o segmento entre os pontos \;L\; e \;M\; de tangência de uma tangente comum (interiormente) a (O) e (O_1) é tal que
\;LM = CL - CM = a-(a-r_1)=r_1\; \; \; \\ \wedge \\
LM^2 =OO_1^2 - OW^2= (OT^2+TO_1^2)- OW^2= \left(\frac{a}{2} -r_1\right)^2 +\left(a-r_1\right)^2 - \left(\frac{a}{2}+r_1\right)^2 =\\ =\frac{a^2}{4}+r_1^2 - ar_1 + a^2+r_1^2-2ar_1 - \frac{a^2}{4} - r_1^2 - ar_1 = r_1^2 + a^2 - 4ar_1 r_1^2 = r_1^2 + a^2- 4ar_1 \Longleftrightarrow a^2-4ar_1=0 \Longleftrightarrow a(a-4r_1)=0 \Longleftrightarrow a=0 \vee r_1=\frac{a}{4}Existindo quadrado \;ABCD\; de lado não nulo \;(a \neq 0), \; o raio da circunferência \;(O_1) \; é \, \displaystyle r_1 = \displaystyle \frac{a}{4}
-
Como \;M, \;F\; são pontos de tangência das tangentes a \;(O_1)\; tiradas por \;G,\; \;O_1M \perp MG, \; O_1F \perp GF, \; GM=GF, \; O_1M=r_1=\displaystyle \frac{a}{4}=O_1F \: e, em consequência, \;[O_1MGF]\; é um quadrado de lado igual a \;r_1 = \displaystyle \frac{a}{4}, (um quadrilátero equilátero com dois ângulos opostos retos é um quadrado.)
De modo análogo por \;L, \; V\; serem pontos de tangência das tangentes a \;(O)\; tiradas por \;G,\; \;[GLOV]\; é um quadrado de lado \; \displaystyle \frac{a}{2}\;
Como \;KR\; e \;KM\; são segmentos das tangentes a \;(O_1) \; tiradas por \;K, \;\;KR\;=\;KM
E, do mesmo modo, como \; AK\; e \;KL\; são segmentos das tangentes a \;(O)\; tiradas por \;K,\; AK=KL
\;AR =AD-RD = \displaystyle a-\frac{a}{4} = \frac{3a}{4}=AK+KR=AK+KM=AK+KL+LM=2KL+LM=2AK+\frac{a}{4}\;, de onde se retira \;2AK=\displaystyle \frac{2a}{4}\; ou \;AK=KL=\displaystyle \frac{a}{4}.\;
\;GK = \frac{3a}{4}\; Como \;[EO_1F] \sim [O_1KM]\; e \;KM=2.MO_1\; temos O_1F=2.EF\; ou \;EF=\displaystyle \frac{1}{2}O_1F = \frac{1}{2} \times \frac{a}{4} = \frac{a}{8}.\;
GE=GF+FE = \displaystyle \frac{a}{4}+\frac{a}{8} = \frac{3a}{8}\; Como \;S, \; F\; são pontos de tangência das tagentes a \;(O_1)\; tiradas por \;E, \; EF=ES= \displaystyle \frac{a}{8}\; e \;DE = \displaystyle \frac{a}{4}+\frac{a}{8} = \frac{3a}{8}= GE.\;
CE= CD-DE =\displaystyle a -\frac{3a}{8} = \frac{5a}{8}
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo \;CGE\; retângulo em \;G\; temos \;CG^2 = CE^2-GE^2 = \displaystyle \left(\frac{5a}{8}\right)^2 - \left(\frac{3a}{8} \right)^2 = \frac{16a^2}{64},\; de onde \;CG=\displaystyle \frac{a}{2}.\; -
A circunferência \;(O_2, \;r_2)\; está inscrita no triângulo \;[HCG]\; retângulo em \;G\; e obviamente semelhante a \;[KCD]\; retângulo em \;D.\; . De facto, para além de \; \angle D = \angle G,\; também \;\angle G\hat{H}C = \angle D\hat{C}K\;por ambos serem complementares de \;\angle H\hat{C}G.\;
- Para resolver o problema proposto de determinar a relação entre os raios dois círculos, bastará determinar a razão da semelhança entre os triângulos em que eles estão inscritos.
A razão da semelhança \;[HCG]\;\sim \;[KCD]\; pode ser calculada, já que conhecemos os comprimentos (em função de \;a\;) de dois catetos homólogos \;CG = \displaystyle \frac{a}{2}\; e \;KD=\displaystyle \frac{3a}{4}. Assim, podemos dizer que \;r_1 = \frac{3}{2} \times r_2\; \;\;\;\; \; \square
Como \; \displaystyle r_1=\frac{a}{4}, \; r_2=\frac{a}{6}.\; ....
a partir de enunciado de J. Marshall Unger, A collection of 30 Sangaku Problems, Ohhio State University.
e seguindo em parte o processo de Garcia Capitán, F. J. Resolución de problemas bonitos de Geometría con métodos elementales Priego de Córdoba, 2003
(sugestões de António Aurélio Fernandes)
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