Cadeias de Steiner entre circunferências não concêntricas e não concorrentes

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Será que quaisquer duas circunferências que não se intersetam admitem uma cadeia de Steiner?.

Numa entrada de 6 de Setembro p.p., provámos que duas circunferências não concorrentes podem inverter-se em circunferências concêntricas. Assim as condições para a existência de uma cadeia de Steiner para duas circunferências que não se intersetam podem ser verificadas a partir das suas inversas concêntricas.

Na nossa construção de hoje, tomamos uma circunferência $(O)$ de um certo raio $R$ e determinamos os raios $r_n, r_n \lneq R$ das circunferências $(O, r_n)$ para cada uma $n=1, \ldots, 13$ das quais, as circunferências $(O, R)$ e $(O, r_n)$ admitem uma cadeia de Steiner com $n$ circunferências.
Na figura inicial apresenta-se uma cadeia de Steiner com 13 circunferências. Esta circunferêncais estão invertidas por uma inversão seguida de uma reflexão.

© geometrias, 29 outubro 2013, Criado com GeoGebra

No botão n-seletor pode variar o número de circunferências coloridas tangentes entre si e às duas dadas (de bordo negro). Com o botão de animação (ao fundo à esquerda) pode fazer rodar as circunferências, para perceber como as cadeias se repetem ciclicamente. No botão a vermelho "auxiliares da inversão" acede à reta dos centros, ao centro de inversão e circunferência de inversão, para além reta eixo da reflexão usada.

Escolhemos para circunferência de inversão relativamente a uma circunferência ortogonal à circunferência $(O, R)$ para que a esta seja inversa de si mesma. Desenhámos uma circunferência de raio igual a $(O, R)$ e para centro da inversão a interseção $I$ das tangentes interiores às duas circunferências iguais de tal modo que $(O, R)$, inversa de si mesma, seja imagem por reflexão de eixo perpendicular à reta dos centros das circunferências iguais tirada por $I$. A circunferência de inversão de centro $I$ passa por todos os pontos de tangência das tangentes interiores às duas circunferências. Assim, a cadeia de Steiner das circunferências excêntricas é obtida por inversão relativamente a $(I, IT^2)$ seguida da reflexão relativamente à perpendicular referida tirada por $I$.

Construção de cadeias de Steiner (em circunferências concêntricas)

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Dadas duas circunferências concêntricas $(O, OP)$ e $(O, OQ)$ com $OP > OQ$, determinar em que condições uma sequência de circunferências que são tangentes interiormente à primeira daquelas e exeriormente à segunda são também tangentes cada uma das que a seguem ou precedem.

© geometrias, 27 outubro 2013, Criado com GeoGebra

Clicando nos botões de navegação ao fundo, pode seguir as etapas da construção Vejamos as condições da figura:

1. Chamemos $R$ a $OP$, $r$ a $OQ$ e $s$ a $AQ$. Para que a circunferência $(A)$ seja a tangente a $(O, R)$ e a $(O, r)$ é preciso que $R-r = 2s$. Para que $(B)$ seja tangente a $(A)$, a $(O, R)$ e $(O, r)$ será preciso que $AB=2s$ ou que $s=BM$ em que M é o ponto médio de $AB$. O mesmo se passará com $(F)$.
2. Essas condições permitem desenhar circunferências tangentes nas condições requeridas: $(C)$ tangente a $(B)$, $(O,R)$ e $(O,r)$; $(D)$ tangente a $(C)$, $(O,R)$ e $(O,r)$; $\ldots$.
   Mas nada garante que haja uma circunferência $(X)$ tangente à que a precede e que seja tangente a $(F)$ nas condições requeridas.
   Mas é óbvio que tal acontece se $AB=BC=\ldots =XF= FA$, isto é, se os centros das circunferências $(A)$, $(B)$, $\ldots$ $(X)$, $(F)$ forem vétrices de um polígono regular inscrito na circunferência de centro $O$ e raio $r+s = R-s$.
3. Para que isso aconteça, para que os termos da sequência se repitam ciclicamente (por exemplo de $n$ em $n$), precisamos que $$\angle AÔB = \displaystyle \frac{2\pi}{n}$$ em que $n$ seja o número de lados do polígono inscrito em $(O, r+s)$ e, por isso, $\angle AÔM = \displaystyle \frac{\pi}{n}$ e como $$\frac{AM}{OA}= \frac{s}{r+s}=\frac{s}{R-s}= sin \frac{\pi}{n}$$ pode deduzir-se uma nova relação entre $R$ e $r$ que garanta que a sequência seja cíclica. Assim: $$s=(r+s). sin \frac{\pi}{n} \Leftrightarrow s\left(sin \frac{\pi}{n}-1\right) =r$$ $$s = (R-s).sin \frac{\pi}{n} \Leftrightarrow s\left(sin \frac{\pi}{n}+1\right) =R$$ e $$\frac{R}{r}= \frac{sin \frac{\pi}{n}+1}{sin \frac{\pi}{n}-1}$$

Se, para duas circunferências concêntricas $C_1$ e $(C_2)$, podemos sempre encontrar uma sequência de $n$ circunferências $(A_i)$ em que $(A_i)$ é tangente a $A_{i+1}$, $C_1$ e $(C_2)$, desde que se verifique a relação entre raios $2.a_i = c_1 - c_2$ ($c_1>c_2$); já para que nessa sequência, $(A_n)$ seja simultaneamente tangente a $A_{n-1}$ e a $A_1$ essa condição não é suficiente e é preciso reforçá-la com $$\frac{c_1}{c_2} = \frac{sin \frac{\pi}{n} +1}{sin \frac{\pi}{n} -1}$$ Às sequências que se repetem ciclicamente chamamos Cadeias de Steiner. Na próxima entrada, estudaremos a existência de cadeias de Steiner para circunferências excêntricas recorrendo ao resultado aqui abordado e à inversão.

Teorema de Feuerbach (enunciado e demonstração)

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Dados 3 pontos $A_1, A_2, A_3$ não colineares, há quatro circunferências tangentes às retas $A_1A_2$, $A_2A_3$ e $A_3A_1$: a de centro $I$ (incentro) a que chamamos inscrita e outras de exincentros $I_i$ a que chamamos exinscritas.

O enunciado do Teorema de Feuerbach é: A circunferência de nove pontos é tangente às quatro circunferências inscrita e exinscritas Com recurso à inversão, vamos demonstrar este resultado. A nossa construção parte do triângulo $A_1A_2A_3$, do qual construímos o circuncírculo e a circunferência de nove pontos (tal como fizemos na entrada anterior com notas sobre a circunferência de nove pontos).

Arsélio Martins, 22 outubro 2013, Criado com GeoGebra Com os botões de navegação ao fundo da janela de visualização, pode seguir os passos da construção, fixando cada parte que lhe interesse.

Demonstração.:

1. Debruçamo-nos sobre o triângulo $A_1A_2A_3$, a circunferência $(I)$ nele inscrita e a exinscrita $(I_1)$ (de centros $I$ e $I_1$ sobre a bissetriz interior $A_11 I$). Os resultados para as restantes $(I_2)$ e $(I_3)$ serão obtidos de modo análogo.
   • Tomemos as quatro tangentes a estas duas circunferências $(I)$ e $(I_1)$ que determinam duas homotetias de uma na outra: por um lado, a homotetia de centro $A_1$ definida pelas duas tangentes exteriores $A_1A_2$ e $A_1A_3$; por outro a homotetia de centro $K$ na interseção de $II_1$ com $A_2A_3$,já que esta última é tangente interior comum a $(I)$ e $(I_1)$.
   • $A_2A_3$ e $XX_1$ têm o mesmo ponto médio (ver a entrada em que esse resultado é abordado.
   • Do triângulo $A_1KA_3$ e do triângulo retângulo $IA_3 I_1$, considerando segmentos orientados, retiramos que $(A_1K;II_1) =-1$ (ver inversão de círculos de apolónio). Como $H_1, X, X_1$ são os pés das perpendiculares a $A_2A_3$, tiradas por $A_1, I, I_1$ e a projeção preserva a razão dupla, então $(H_1K; XX_1)=-1$, ou $$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{H_1X}{XK}}{\displaystyle\frac{H_1X_1}{X_1K}} =-1$$ Considerando comprimentos dos segmentos: $$\frac{H_1X}{XK}= \frac{H_1X_1}{X_1K}$$ e, como $H_1X=H_1M_1-M_1X, \; H_1X_1=H_1M_1+M_1X_1 , \;XK=XM_1-M_1K , \; X_1K=X_1M_1+M_1K$, podemos escrever $$\frac{H_1M_1-M_1X}{XM_1-M_1K}= \frac{H_1M_1+M_1X_1}{X_1M_1+M_1K}$$ equivalente a $$(H_1M_1-M_1X) \times (X_1M_1+M_1K)= (XM_1-M_1K)\times (H_1M_1+M_1X_1)$$ que desenvolvendo fica $$\;\;\;H_1M_1\times X_1M_1 +H_1M_1\times M_1K - XM_1\times X_1 M_1 - M_1X\times M_1K =$$ $$= XM_1\times H_1 +XM_1\times M_1X_1-M_1K\times H_1M_1 - M_1K\times M_1X_1$$ e, por ser $M_1 X=M_1X_1$, se simplifica em $$2H_1M_1 \times M_1K = 2MX^2$$ $$M_1K \times M_1H_1=M_1X^2=M_1X_1^2$$
2. Tomemos agora a circunferência de centro em $M_1$ e raio $M_1X_1$ para circunferência de inversão.
   • O resultado anterior é prova de que $H_1$ é o correspondente de $K$ pela inversão $I(M_1, M_1X^2)$
   • Os círculos $(I)$ e $(I_1)$ invertem-se em si mesmos já que são ortogonais à circunferência de inversão: $I_1X_1$, raio de $(I_1)$, é tangente a $(M_1)$ e perpendicular ao seu raio $M_1X_1$ que é tangente a $(I_1)$.
   • Como a circunferência dos nove pontos $(N)$ passa por $M_1$, centro da inversão, tem para inversa um reta $(N)'$ que passa por $K$ (inverso de $H_1$ que é ponto de $(N)$) e é paralela à tangente a $(N)$ no ponto $M_1$.
3. A inversa de $(N)$ contém uma corda comum a $(M_1)$ e a $(N)$, logo perpendicular a $M_1N$, paralela a $H_2H_3$.
4. $H_2$ é um ponto da circunferência de diâmetro $A_2A_3$ (centro em $M_1$) já que $A_2H_2 \perp H_2A_3$. $H_3$ pertence à mesma circunferência de diâmetro $A_2A_3$, já que $A_3H_3 \perp H_3A_2$.
   • Quer dizer que $H_2, H_3, A_2, A_3$ estão sobre uma circunferência (concícliicos), sendo por isso $\angle A_1A_2A_3+ \angle H_3H_2A_3 =180^o$ e $\angle A_1A_3A_2+ \angle A_2H_3H_2 = 180^o$, situação que se mantém para qualquer reta paralela a $H_2H_3$
   • Ora $(N)'$ é paralela à tangente a $N$ em $M_1$ e paralela a $H_2H_3$, tal como é a reta tangente a $(I)$ tirada por $K$. E por $K$ só passa uma paralela a $H_2H_3$.
   • A inversa de $(N)$, $(N)'$, é, pois, a tangente a $(I)$ e a $(I_1)$ tirada por $K$, ou seja, $EF$,
5. Como $EF$ é tangente a $(I)$ e $(I_1)$, inversas de si mesmas por $I(M_1, M_1X^2)$, e $(N)$, inversa de $EF$, também é tangente a $(I)$ e $(I_1)$ (cada uma inversa de si mesma). $\hspace{1cm} \square$

Teorema de Feuerbach (nota sobre a circunferência de 9 pontos)

A circunferência de nove pontos (ou de Feuerbach) foi referida neste "lugar geométrico" muitas vezes. Antes da demonstração propriamente dita do chamado Teorema de Feuerbach (usando a inversão geométrica), estudamos a existência e unicidade (?) de tal circunferência para cada trângulo.

Circunferência de 9 pontos, Euler ou Feuerbach Para um triângulo qualquer, de vértices $A_i$ tomam-se os seguintes pontos: $M_i$,médios dos lados; $H_i$, pés das alturas; $E_i$, pontos médios dos segmentos das alturas entre o ortocentro e cada vértice. Prova-se que estes 9 pontos estão sobre uma circunferência de raio igual a metade do circunraio e centro no ponto médio entre circuncentro e ortocentro. A.Martins, 10 outubro 2013, Criado com GeoGebra

Demonstração.:

1. • Porque o triângulo $A_2 H_3 S_3$ é retângulo em $H_3$ e $A_2 H_1 A_1$ é retângulo em $H_1$, são iguais os ângulos $\angle A_2 A_3 S_3$ e $\angle A_2 A_1 S_1$ por serem complementares de $A_1A_2A_3$. E, por estarem inscritos no mesmo arco $A_2 S_1$, são iguais os ângulos $\angle A_1 A_2 S_1$ e $\angle A_2 A_3 S_1$ : $$\angle A_2 A_3 S_3 =\angle A_2 A_1 S_1= \angle A_2 A_3 S_1$$
   • Assim, são congruentes os triângulos retângulos em $H_1$ $H H_1 A_3$ e $S_1 H_1 A_3$ e, em consequência, $H_1$ é o ponto médio de $H S_1$
   • Do mesmo modo, se pode concluir que $H_2$ é o ponto médio de $H S_2$ e $H_3$ é o ponto médio de $H S_3$
   ´
2. • Consideremos agora o circundiâmetro $A_1 T_1$: $T_1 A_3 \parallel A_2 H$ porque são ambas perpendiculares a $A_1 A_3$ e $A_3 H \parallel T_1 A_2$ porque são ambas perpendiculares a $A_1 A_2$.
   • Por isso, $H A_2 T_1 A_3$ é um paralelogramo cujas diagonais $HT_1$ e $A_2 A_3$ se bissetam. E o ponto $M_1$, médio de $A_ 2 A_3$, é também o ponto médio de $H T_1$
   • Do mesmo modo, se concluiria que $M_2$, médio de $A_ 1 A_3$, é também o ponto médio de $H T_2$ e que $M_3$, médio de $A_ 1 A_2$, é também o ponto médio de $H T_1$
3. • A homotetia de centro $H$ e razão $1 \over 2$ transforma a circunferência azul na circunferência vermelha, já que a cada um dos 3 pontos $S_i$ corresponde um dos pontos $H_i$ (por 1.) e também a cada um dos pontos $T_i$ corresponde um dos pontos $M_i$ (por 2.)
   • Cada vértice $A_i$ do triãngulo e da circunferência azul circunscrita, pela mesma homotetia, tem correspondente $E_i$ incidente na circunferência vermelha e em $H A_i$. Porque a razão da homotetia é $1 \over 2$, cada $E_i$ é ponto médio de $H A_i$
   • Para concluir: pela mesma homotetia, o centro $O$ é transformado num ponto $N$ (centro da homotética vermelha) incidente em $HO$ e seu ponto médio.

Ficou assim provado que para um triângulo qualquer, há uma circunferência que passa pelos 3 pontos médios dos lados, pelos 3 pés das alturas, e pelos 3 pontos médios dos segmentos das alturas entre o ortocentro e os respetivos vértices.
Esta circunferência é nomeada por circunferência dos 9 pontos (pelos anglófonos :-), de Euler (pelos francófonos :-) ou de Feuerbach (pelos germanófonos :-)

Determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.

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Levando em conta as duas últimas entradas, vamos determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.
Na nossa construção, partimos de duas circunferências $(O)$ e $(P)$ tangentes em $T$. Tomamos o eixo radical (a negro) das duas circunferências que, neste caso, é a perpendicular a $OP$ tirada por $T$ que é a única reta tangente às duas circunferências no ponto $T$. E sobre o eixo radical, tomamos um ponto $M$ qualquer. E determinamos, como feito na entrada de 7 de Outubro as circunferências que passam por $M$ e são tangentes às circunferências $(O)$ e $(P)$ dadas.
Como se vê na figura abaixo, essas duas circunferências, determinadas com recurso à inversão $I(T, TM^2)$, em comum têm dois pontos, para além de $M$, $M'$, variando este quando $M$ se desloca sobre o eixo radical.
Vamos determinar o lugar geométrico dos pontos $M'$ quando $M$ percorre o eixo radical.



As duas circunferências que passam por $M$ e são tangentes às circunferências $(O)$ e $(P)$: uma delas (verde) é tangente a $(O)$ em $A$ e tangente a $P$ em $A'$; a outra (azul topázio) é tangente a $(O)$ em $B$ e a $(P)$ em $B'$. Referindo-nos aos resultados da entrada de 7 de Outubro p.p. sobre Inversão e Homotetia, sabemos que $AA'$ e $BB'$ passam pelo centro comum de homotetias várias definidas por pares de circunferências homotéticas tangentes duas a duas: uma (direta) que transforma $(O)$ em $(P)$ e outras, as que transformam $(P)$ na circunferência verde (tangente), ou $(O)$ na circunferência azul topázio (tangente)...
Como vimos então $A$ e $A'$ são tais que $$HA \times HA'= HT^2$$ Pela mesma razão, sendo $M'$ o segundo ponto de interseção de $HM$ com a circunferência verde (ou com a azul topázio), $M$ e $M'$ são tais que $$HM \times HM' = HT^2$$ Assim, uma circunferência que passe por $M$ e $M'$ e seja tangente a uma das $(O)$ ou $(P)$ é tangente à outra. $M'$ é o segundo ponto de interseção das circunferências que passam por $M$ e são tangentes a $(O)$ e a $(P)$.
E de $$HM \times HM' = HT^2$$ também se retira que, pela inversão $I(H, HT^2)$, aos pontos $M$ do eixo radical correspondem os pontos $M'$, ou seja, os pontos $M'$ encontram-se sobre a circunferência inversa do eixo radical das circunferências $(O)$ e $(P)$, que tem como diâmetro $TH$. $\hspace{1cm} \square$

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Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Inversão e Homotetia.

Na entrada Conservação dos ângulos por inversão (2) ilustrámos e demonstrámos o seguinte resultado:
A inversa por $I(O,r^2)$ de uma circunferência que não passa por $O$ é uma circunferência homotética da original. O ângulo que a tangente num ponto qualquer $P$ desta circunferência faz com $OP$ é congruente com o ângulo que $OP$ faz com a tangente à inversa em $P'$ .
Dito de outro modo, as tangente em $P$ e em $P'$ são imagens uma da outra por reflexão de eixo perpendicular a $OP$ no ponto médio de $PP'$

No caso da construção que apresentamos a seguir, retomamos esse resultado partindo de duas circunferências tangentes num ponto $T$. Temos uma homotetia de centro $H$ que transforma a circunferência de centro $O$ na circunferência de centro $P$ e a circunferência com centro em $H$ e raio $HT$ define uma inversão que faz corresponder à circunferência de centro $P$ a circunferência de centro $O$.


A reta, tirada por H, que corta cada uma das circunferências em dois pontos, define pares de pontos $(D, A)$ e $(C, B)$ correspondentes pela homotetia e pares de pontos $(C, A)$ e $(D, B)$ correspondentes pela inversão $I(H, HT^2)$.
$$\frac{HA}{HD} = \frac{HB}{HC} = \; \mbox{razão da homotetia de centro $H$ da circunferência $(P)$ para $O$}$$ $$HA \times HC = HB \times HD = HT^2 = \;\mbox{potência da inversão}$$ para além de $$HC \times HD = HR^2 = \; \mbox{potência de $H$ relativamente à circunferência de centro em $P$}$$ A razão de homotetia que transforma a circunferêcnia de centro $P$ na circunferência de centro $O$ é afinal a razão das potências de inversão e do ponto H relativamente à circunferência de centro $P$, já que $$HC=\frac{HT^2}{HA} \wedge HC=\frac{HR^2}{HD}$$ e, em consequência, $$\frac{HT^2}{HA}=\frac{HR^2}{HD}$$ ou seja $$\frac{HA}{HD}= \frac{HT^2}{HR^2} \hspace{1cm}\square$$
Os triângulos isósceles $BOA$ e $CPD$ são semelhantes, sendo $OB \parallel PC$ e $OA \parallel PD$.
$A$ e $C$ são inversos e correspondentes por reflexão relativamente á mediatriz de $AC$. Também $B$ e $D$ são inversos e correspondentes por reflexão relativamente á mediatriz de $BD$

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Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Determinar circunferências tangentes a duas outras tangentes entre si - um caso simples.

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Nesta entrada, estudamos uma construção, com recurso à inversão, de circunferências tangentes a duas circunferências dadas que são tangentes entre si.
Nesta entrada, estudamos uma construção, com recurso à inversão, de circunferências tangentes a duas circunferências dadas que são tangentes entre si.
Na nossa construção, partimos de duas circunferências (O) e (P) tangentes em T. Tomamos o eixo radical Δ (g) das duas circunferências que, neste caso, é a perpendicular a OP tirada por T que é a única reta tangente às duas circunferências no ponto T. E sobre Δ, tomamos um ponto M qualquer. Vamos determinar as circunferências que passam por M e são tangentes às circunferências (O) e (P) dadas.



Se tomarmos uma inversão - I(T, TM²) - M é inverso de si mesmo por ser um ponto da circunferência de inversão e Δ é inversa de si mesma por passar pelo centro da inversão. Δ terá dois pontos que são auto-inversos, para além de M, o outro extremo do diâmetro da circunferência de inversão sobre Δ. E

• por passar pelo centro de inversão T, a circunferência (O) tem por inversa uma reta que passa pelos pontos de interseção dela com a circunferência de inversão quando se intersetam
• pelas mesmas razões, a circunferência (P) terá por inversa uma reta (para cada elemento e seu inverso, a mesma cor).

Como a inversão preserva a tangência, bastará determinar as circunferências que passam por M e são tangentes às retas inversas de (O) e (P). Os centros dessas circunferências serão equidistantes dessas retas e de M. Há obviamente duas circunferências (azul topázio e verde).
Por I(T, TM²) a estas circunferências correspondem duas circunferências passando por M e cada uma delas tangente às circunferências dadas, uma tangente exteriormente e outra tangente interiormente

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Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992