Casos particulares de homologia

Nas notas de estudo que temos vindo a adoptar, para quaisquer duas retas do plano há sempre um único ponto em que ambas incidem. Esse ponto pode ser próprio ou impróprio e, quando o ponto comum a duas retas do plano é impróprio, dizemos que as retas são paralelas. Ao conjunto de pontos impróprios do plano, chamamos reta imprópria do plano.
Designamos pontos por A, B, C, ...e retas por a, b, c,... ou por AB a reta que incide em A e B, ... E por A_∞ designamos o ponto impróprio de a, que também designámos e designaremos, ainda que mais raramente, por ∞_a.
Sejam duas retas r e s e os seus pontos impróprios R_∞ e S_∞. Dizemos que estas retas r e s são paralelas quando r.s={R_∞}= {S_∞}. Quando isso acontece também dizemos que essas retas têm a mesma direção ou, dito de outro modo, dar um ponto impróprio é dar uma direção.
Uma homologia no plano é determinada por um feixe duplo de retas a passar por um ponto duplo O (centro da homologia) e por uma pontual de pontos duplos sobre uma reta (eixo da homologia). Dizemos que qualquer conjunto de pontos do plano (ou figura do plano) é duplo para uma homologia quando é homológico de si mesma, isto é, quando cada um dos seus pontos é transformado em si mesmo ou noutro dos seus pontos.

Uma homologia (de centro O e eixo e) ficou assim definida: ∀ (A, B) ∃ (A', B') : A'∈OA, B'∈OB e AB.A'B'∈e
Merecem menção especial os seguintes casos particulares de homologias do plano no plano:

1. a homologia em que o centro do feixe duplo é um ponto impróprio toma o nome de afinidade (homologia afim, afinidade homológica) e, destas, os casos particulares das reflexões relativamente ao eixo;
2. a homologia de centro próprio O e eixo impróprio que é uma homotetia e, destas, a reflexão relativa ao seu centro;
3. a homologia de centro e eixo impróprios que (sendo uma afinidade de eixo impóprio) é conhecida como translação.