Na entrada
Uma polaridade, uma cónica fixámos o seguinte:
Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada
polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados
chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de
cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos
auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas
auto-conjugadas. Na entrada
Construção de uma polaridade (cónica) com um triângulo
auto-polar e um ponto auto-conjugado construímos uma polaridade
(ABC)(Pp) em que ABC é um triângulo autopolar e P é um ponto
autoconjugado (P inicide na sua polar p; p inicide no seu polo P)
Na entrada
Da cónica
para a polaridade associada retomámos o resultado já antecipado
se os vértices de um quadrângulo PQRS completo forem pontos
auto-conjugados para uma dada polaridade, então o triãngulo diagonal ABC
do quadrângulo é um triângulo auto-polar para concluirmos que
é auto-polar o triângulo diagonal ABC de um quadrângulo qualquer
PQRS de vértices incidentes numa cónica .
Embora tenhamos
tido sempre presente que uma cónica é a envolvente da retas
autoconjugadas para uma dada polaridade, nunca nos preocupámos em
definir o triângulo auto-polar para o quadrângulo circunscrito.
Bastou-nos mostrar que é auto-polar o triângulo diagonal de um qualquer
quadrângulo completo de vértices autoconjugados (pontos da cónica)
(quadrivértice inscrito na cónica) para continuar o estudo.
No seu
livro "Geometria Descriptiva Superior y Aplicada", sob o título
Cuadrivértice y cuadrlátero inscrito y circunscrito a una cónica
Fernando Izquierdo Asensi trata de dois enunciados:
- En todo
cuadrivértice inscrito a una cónica, su triángulo diagonal es autopolar
respecto a la cónica
- En todo cuadrilátero circunscrito a una
cónica, los puntos de intersección de sus diagonales y de los pares de
lados opuestos son vértices de un triángulo autopolar respecto a la
cónica.
E é por isso que decidimos voltar a abordar a
polaridade induzida por cada cónica.
A respeito de quadrângulos,
lembramos a entrada
Para escrever sobre quadriláteros (completos) em
que esclarecíamos as noções de quandrângulos completos onde se pode ler:
- o conjunto formado por quatro pontos {A,B,C,D}, dos quais não
há 3 colineares, (vértices) e pelas 6 retas {AB,AC,AD,BC,BD,CD}
definidas pelos pares de pontos existentes, a que chamamos lados. Dois
lados consideram-se opostos quando se intersetam em pontos que não A, B,
C, D, ou seja, em pontos que não são vértices, no caso, E,F,G. Esses 3
pontos tomam o nome de pontos diagonais
- o conjunto formado pelas quatro retas {a,b,c,d}, das quais não há 3
incidentes num ponto,(lados) e pelos 6 pontos {a.b,a.c,a.d,b.c,b.d,c.d}
definidos pelos 6 pares de retas existentes a que chamamos vértices.
Dois vértices consideram-se opostos quando definem uma reta que não é
qualquer dos 4 lados a,b,c ou d, a saber, a.d e b.c, a.c e b.d, a.b e
c.d. As retas definidas por vértices opostos chamam-se retas diagonais,
no caso, e,f,g.
A construção do quadrângulo completo inscrito na cónica para definir a
polaridade associada já foi abordada repetidas vezes.
Vamos
apresentar a construção do quadrângulo completo circunscrito à cónica e
respetivo triângulo auto-polar.
Na construção que se segue, temos quatro retas t, u, v, w tangentes à
cónica respetivamente em T, U, V, W (que é o mesmo que dizer que T é o
polo de t ou que t é a polar de T, etc ). Essas quatro retas
autoconjugadas intersetam-se duas a duas em P=u.v, Q=t.w, R=v.w e S=t.u;
A=u.w, B=t.v e C=PQ.RS (vértices). O quadrilátero completo considera
ainda as retas definidas pelas interseções pelos pares de pontos de
intersecção de lados opostos, a saber a=BC, b=AC e c=AB que se chamam
retas diagonais e formam o triângulo diagonal.
Para este triângulo
ABC ser auto-polar foi preciso garantir que TV.UW=PQ.RS=C, já que B está
sobre a polar de V também b (polar de B) tem de passar por V, etc Na
figura, ainda indicamos a polar de P=u.v que é p=UV, Q=t.w que é q=TW,
de S=t.u que é s=TU, de R=v.w que é r=VW.
Poderá deslocar os pontos T e U sobre a cónica e B so.bre t
Para esta construção do triângulo autopolar de um
quadrilátero em que os 4 lados são tangentes de uma cónica,
começamos por tomar as tangentes t, u nos pontos T e U. Por um ponto
B de t tirámos a tangente v à cónica. E a tangente w no segundo
ponto de intersecção da reta BU com a cónica. Marcámos A=u.w,
P=u.v, Q=t.w, R=v.w e S=t.u
Do feixe centrado em B, a e c são
conjugadas harmónicas de t e v e como estas últimas são retas duplas
(tangentes) a e c são conjugadas para a polaridade. O mesmo acontece
com o feixe centrado em A, b e c são conjugadas harmónicas com u e
w que são retas duplas (tangentes). São conjugadas as retas a com
c e b com c. Os lados do triângulo abc são conjugados dois a dois,
o que é o mesmo que dizer que cada vértice é polo do lado oposto:
A=b.c é polo de a=BC, B=a.c é polo de b=BC e C=a.b é polo de c=AB.
Das quatro retas a, c, v, t do feixe centrado em B, os seus polos
A, C, V e T terão de pertencer à polar de B, b, isto é, AC=TV. De
modo análogo, se verifica que BW=UW.
F. I. Asensi,
Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada.
Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
H. S. M. Coxeter,
Projective
Geometry, Springer. NY:1994
