De um quadrilátero a outro com o mesmo triângulo

Na construção que se segue, tomámos um quadrilátero completo de vértices P,Q, R, S. Os pontos A, B, C são as interseções de lados PS.RQ=A, QS.RP=B e QP.RS=C que não são vértices. Ao triângulo ABC chamamos triângulo diagonal de lados a=BC,b=AC,c=AB.
Acrescentando as interseções dos lados do triângulo ABC com os lados do quadrilátero de vértices P, Q, R, S, a saber:
BC.QR=A₁, AC.PR=B₁, AB.QP=C₁ e BC.PS=A₂, AC.QS=B₂, AB.RS=C₂; que definem as retas p=A₁B₂,
q=B₁A₂, r=A₂B₂ e s=A₁B₁, obtemos um quadrilátero de lados p, q, r e s, cujo triângulo diagonal a, b, c é o mesmo triângulo ABC, diagonal de PQRS.



[A.A.M.]

Demonstração do Teorema de Desargues

Duas pontuais ou dois feixes dizem-se perspetivos quando estão relacionados por uma perspetividade. Esta noção estende-se a figuras envolvendo mais do que um ponto e mais do que uma reta. Dois exemplares de uma figura da mesma espécie dizem-se perspetivos se entre os seus pontos se pode estabelecer uma correspondência um para um que seja tal que os pares de pontos correspondentes estão sobre retas concorrentes ou se entre as suas retas se pode estabelecer uma correspondência uma a uma que seja tal que os pares de retas correspondentes se intersetam em pontos colineares.
Na construção abaixo há dois triângulos PQR e P'Q'R' perspetivos já que os lados correspondentes PP', QQ' e RR' incidem no ponto O. Será que os lados correspondentes se intersetam em pontos colineares? Como se vê na figura, D=RQ.R'Q', E=PR.P'R' e F=PQ.P'Q'. A figura sugere que são colineares. Serão?
Na construção, tomámos A=OP.DE, B=OQ.DE e C=OR.DE e, por isso OPAP' é perspetivo (por E) a ORCR' que, por sua vez, é perspetivo (por D) a OQBQ'. Assim podemos dizer que O é imagem de si mesmo pela projetividade entre as pontuais PAP' e QBQ' e, conforme já vimos antes, esta projetividade é uma perspetividade. O centro desta perspetividade só pode ser F e este está sobre AB que é DE. Assim D, E e F são colineares.
Acabamos de demonstrar que se dois triângulos são perspetivos em relação a um ponto são perspetivos em relação a uma reta.

[A.A.M.] Este resultado, agora demonstrado, é o que chamámos Teorema de Desargues, que assim pode deixar de ser considerado axioma.
Alguns axiomas foram sendo referidos e, entre estes, referíamos o Teorema de Desargues como axioma e, a partir dele, demonstrávamos o dual.

Dual do Teorema de Pappus

O dual do teorema de Pappus pode ser enunciado como segue:
Se os seis lados de um hexágono passam alternadamente por dois pontos, as três diagonais são concorrentes
Se tomarmos o hexágono definido pela sequência de lados ab'ca'bc', as suas três diagonais serão (a.b')(b.a'), (a.c')(c.a') e (b.c')(c.b')


[A.A.M.] Se o teorema de Pappus tem a ver com o eixo de projetividade entre pontuais iniciado anteriormente, o seu dual tem a ver com o centro da projetividade entre feixes, também já iniciado em anterior publicação
Se dois feixes de retas a,b,c por R e a',b',c' por S então as retas (a.b')(b.a'), (a.c')(c.a') e (b.c')(c.b') são concorrentes
Aqui fica a figura publicada para o centro de projetiivdade entre feixes. É um exercício interessante fazer a dualização da demonstração do Teorema de Pappus como demonstração do dual.

De outro modo, enunciar e demonstrar o Teorema de Pappus

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Para Coxeter, chama-se hexágono a um conjunto de seis pontos (vértices) sem exigir que não haja ternos de pontos colineares. Nestas condições, o teorema de Pappus pode aparecer enunciado assim:
Se os seis vértices de um hexágono estão alternadamente sobre um par de retas, então os três pares de lados opostos encontram-se em três pontos colineares.
Tomam-se ABC sobre a reta r e A'B'C' sobre a reta s e o hexágono AB'CA'BC', do qual os pares de lados opostos são B'C e BC', C'A e CA', A'B e AB' cujas interseções estão marcadas na construção abaixo, como L=B'C.BC', M=C'A.CA', N=A'B.AB'.
Se considerarmos a projetividade entre as pontuais ABC e A'B'C' para a qual A' é imagem de A, B'de B e C' de C, a figura sugere que L, M e N estão sobre o eixo dessa projetividade (a vermelho na figura). Será que L, M, N são mesmo colineares?


[A.A.M.] Demonstração: Na construção agora considerada, acrescentaram-se os pontos J=AB'.CA', E=AB.A'B' e K=AC'.CB'.
Fácil é ver que ANJB' é perspetivo por A' com ABCE que, por sua vez é perspetivo com KLCB' por C'.
Assim, como a composta de duas perspetividades é uma projetividade, podemos concluir que para a projetividade entre as pontuais ANJ e KLC, B' é ponto duplo (imagem de si mesmo). Se tem um ponto duplo B', esta projetividade é uma perspetividade por M, e M incide em NL, o que é o mesmo que dizer que L,M,N são colineares

Teorema de Pappus

Quando uma projetividade entre duas pontuais ou dois feixes é perspetividade

Uma projetividade relacionando duas pontuais sobre bases distintas é uma composta de duas perspetividades. Para quaisquer duas pontuais de 3 pontos sobre bases distintas, sabemos determinar as duas perspetividades que compostas são a projetividade pedida. Haverá projetividades que são perspetividades?
Vamos provar que: uma projetividade que faz corresponder a cada ponto de uma pontual um só ponto de outra pontual em base distinta é uma perspetividade quando e só quando o ponto comum às duas retas (bases das pontuais) é comum às duas pontuais e é imagem de si mesmo pela projetividade
Assim:
1) Uma perspetividade deixa invariante o ponto comum às duas retas.
2) Se uma projetividade relacionando duas pontuais sobre bases distintas transforma um ponto E de uma pontual em si mesmo como ponto da outra pontual, este ponto comum às duas pontuais é comum às duas retas. Dados A,B, E e A', B', E, a correspondência A→A', B→B' e E→E é uma projetividade que é também a perspetividade de centro O, com O=AA'.BB'.
[A.A.M]

Projetividade entre conjuntos harmónicos

Vamos provar que: quaisquer dois conjuntos harmónicos de 4 pontos colineares ou quatro retas concorrentes estão relacionados por uma única projetividade.
Construímos dois conjuntos harmónicos um (AA,BB,CF) sobre r e outro (A'A',B'B', C'F') sobre s. Verificam-se as relações harmónicas H(AB,CF) e H(A'B',C'F'). A projetividade determinada por ABC e A'B'C', de que determinámos o eixo (AC'.A'C)(BC'.B'C), transforma F num outro ponto, seja F''. Para determinar este ponto sobre s traça-se, por exemplo, FB' e toma-se o ponto dessa reta que está no eixo, seja M. F'' será a interseção de BM' com s. Como as projetividades transformam conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos e o conjugado harmónico de C' é F' relativamente a A'B' e é único, forçosamente a projetividade que leva de A a A', B a B' e C a C' leva de F para F'. Ou seja F''=F'
Se H(AB,CF) e H(A'B',C'F'), a projetividade que faz corresponder A a A', B a B' e C a C' obrigatoriamente transforma F em F'. O ponto que é imagem de si mesmo toma o nome de ponto duplo (F=F'=r.s) Deste resultado se tira que há uma projetividade que relaciona duas redes harmónicas ou de racionalidade, bem como duas sequências harmónicas. O mesmo raciocínio pode ser usado para a projetividade estabelecida entre dois feixes harmónicos distintos, pois ao intersetarmos cada um deles por uma reta caímos no caso das pontuais. De um modo geral, uma projetividade entre feixes (abf por R e a'b'f' por S) é uma perspetividade se e só se houver uma reta de ambos os feixes for transformada em si mesma, isto é, f=f'=RS. Esta reta que é imagem de si mesma toma o nome de reta dupla.

[Exercício Interativo]- Determinar uma original de uma projetividade entre feixes

Considere a projetividade definida pelos feixes a,b,c por O₁ e a', b', c' por O₂ em que a é correspondente de a', b de b' e c de c'. Determine a reta d do feixe por O₁ a que, por essa projetividade, corresponde d'.
Passo a passo

[A.A.M.]

Centro da projetividade entre dois feixes

Definimos o eixo da projetividade entre duas pontuais A,B,C sobre r e A', B', C' sobre s.
Dualmente deve haver um ponto especial para a projetividade que é definida por dois feixes a, b, c de centro em R e a', b', c' de centro em S.
Assim como tomámos as retas AB' e A'B que se intersectam em K e as retas AC' e A'C que se intersectam em L sendo KL o eixo de projetividade, no caso dos feixes projectivos, tomamos os pontos a.b' e a'.b a definir a reta k e os pontos a.c' e a'.c a definir a reta l sendo k.l o centro da projetividade. Por este ponto k.l passará inevitavelmente m=(a.c')(a'.c). Assim:

[A.A.M.]

Esta dualização permitirá as demonstrações dos enunciados do teorema fundamental, qualquer delas por dualização da outra (como fizemos para a definição de eixo e centro de projetividade).

Uma projetividade entre feixes é uma composta de duas perspectividades entre feixes. Em que condições é que uma projetividade entre dois feixes é perspectividade?

Eixo de projetividade entre duas pontuais

Para cada projetividade entre pontuais de bases r e s distintas evidencia-se a reta que passa pelos pontos de cruzamento das retas AB' e A'B, AC' e A'C.
Se considerarmos mais um ponto X, essa reta passa também pelas intersecções de AX' e A'X, BC' e B'C, BX' e B'X, CX' e C'X.
À reta que verifica esta propriedade damos o nome de eixo da projetividade.

[A.A.M.]

Uma projetividade é uma composta de duas perspectividades. Em que condições é que uma projetividade entre duas pontuais é perspectividade?

Teorema Fundamental da Geometria Projetiva

Como sabemos, uma reta r corta um feixe abc de centro O₁ numa pontual ABC. Podemos fazer corresponder a cada ponto de uma pontual uma reta de um feixe e reciprocamente, a cada reta de um feixe fazemos corresponder um ponto de uma pontual.
O Teorema Fundamental da Geometria Projetiva diz-nos que
1. uma projetividade é bem determinada se conhecermos 3 pontos colineares (de uma pontual sobre uma reta r) e os correspondentes (um a um) 3 pontos colineares (de uma outra pontual sobre s)
ou dualmente
2. uma projetividade fica bem definida se conhecermos 3 retas concorrentes num ponto O₁ e as correspondentes (uma a uma) retas de um outro feixe de centro O₂.

Demonstração:
1. Quaisquer 3 pontos A, B, C de uma pontual sobre uma reta r e quaisquer 3 pontos A', B', C' de uma pontual sobre s definem sempre uma projetividade que transforma A em A', B em B', C em C'. Assim: Tomemos um feixe centrado em A (AA', AB', AC') e um outro centrado em A' (A'A, A'B, A'C) e a reta que passa por K=AB'.A'B e L=AC'.A'C. Sendo J=AA'.KL, pela perspetividade de centro A', a pontual ABC é transformada em JKL e esta, pela perspetividade de centro A, é transformada em A'B'C'. A projetividade, composta dessas duas perspetividades, transforma ABC em A'B'C'.
Claro que para definir esta projetividade que faz corresponder A a A', B a B' e C a C' se podem tomar como centros dos feixes B e B', C e C' ou dois pontos quaisquer em AA' (BB' ou CC').
Se precisarmos de determinar a imagem de um quarto ponto X sobre r, bastará tomar A'X do feixe centrado em A' e, sendo M o ponto comum a A'X e KL, X' será o ponto de AM do feixe centrado em A comum a s.



2. Tomados dois feixes a, b, c por O₁ e a', b', c' por O₂, fica bem definida uma projetividade que faz corresponder a a a', b a b', c a c'. Assim: Cortando o primeiro feixe por uma reta r arbitrária, obtemos uma pontual A, B, C de base r e cortando o segundo feixe por uma outra reta s, obtemos uma outra pontual A', B' C'. Por 1. fica definida a projetividade que leva de A a A', B a B', C a C'. E, finalmente, podemos definir a projetividade entre os dois feixes
a→A→A'→a', b→B→B'→b' e c→C→C'→c'.

Se precisarmos de determinar a imagem de uma quarta reta d por O₁, bastará tomar D=r.d e, seguindo o procedimento de (1,) determinar D' sobre s para definir d'=D'O₂.

Sequência de pontos harmonicamente ligados a A,B, Z∞

Retomamos o procedimento especial para obter uma sequência harmónica de pontos relacionados harmonicamente com A,B,Z que apresentámos na entrada anterior. Só que tomamos Z como ponto no infinito.

[A.A.M.]

Podemos observar uma sequência de pontos relacionados harmonicamente dependentes dos três pontos A, B, Z_∞. Claro que esta pode ser composta por A,B,C,Z_∞; ou A,B,C,D, Z_∞;... ou, por uma infinidade numerável de pontos (como pode acontecer com qualquer rede de racionalidade).

Nestas duas últimas entradas, entre dois pontos consecutivos não há outros pontos obtidos pelo mesmo procedimento especial, sendo que nesta última, aos nossos olhos os pontos sucessivos aparecem igualmente espaçados.

Uma sequência especial de pontos harmonicamente relacionados

Afinal uma rede harmónica não é mais que um conjunto de no mínimo três pontos que inclui, para cada terno dos seus pontos, o conjugado harmónico de cada um relativamente aos outros dois. Na entrada anterior, definimos rede harmónica ou rede de racionalidade (tradução literal de "harmonic net" e "net of rationality" usadas em Projective Gometry - Coxeter, que seguimos no nosso estudo acompanhado das nossas construções dinâmicas).

Nesta entrada, construímos um conjunto numerável de pontos harmonicamente relacionados com ABZ, em que cada ponto novo sucede ao anterior.

[A.A.M.]
O procedimento especial aqui seguido pode ser descrito como segue:
Tomados A, B e Z, consideramos uma reta arbitrária tirada por Z e sobre ela dois pontos P e R arbitrários. Tomado A'=AP.BR, traçamos a reta ZA'. E tomamos os pontos B'=BP.A'Z, Q=AR.ZA'.
O quadrilátero completo B'RQS da figura, em que C=RB'.AZ e S=QC.AB', prova a relação harmónica H(AC,BZ).

O procedimento para obter D é semelhante:
C'=CP.A'Z para obter sobre AZ o ponto D=RC'.AZ; D'=DP.A'Z para obter E=RD'.AZ,; etc
As relações construídas por este processo (e verificadas de forma análoga à H(AC,BZ) ou H(BZ, AC) são H(CZ,BD), H(DZ,CE), ...

Esta sequência A, B, C, D, E, ... assim construída depende exclusivamente de A, B, Z e é independente da escolha dos pontos auxiliares P e R (pontos que pode deslocar na figura para ver que esta sequência de pontos relacionados harmonicamente com A, B, Z é única, para o procedimento descrito).

Este procedimento leva a um subconjunto da rede de racionalidade R(ABZ). Neste caso entre quaisquer dois termos consecutivos da sequência não há termos relacionados harmonicamente com A, B, Z (à semelhança do que acontece no conjunto dos naturais como subconjunto dos racionais).

Como é óbvio a pontual A', B', C' D',... é perspetiva de centro P com a pontual A, B, C, D,... Como esta é uma rede harmónica também é harmónica a pontual A', B' C', D', ...

Pontual de pontos harmonicamente relacionados

Um ponto P diz-se harmonicamente relacionado com 3 pontos colineares distintos A,B,C, se P puder ser obtido como membro de uma sequência de pontos iniciada com A,B,C definida do seguinte modo: cada ponto após C forma um conjunto harmónico com quaisquer três pontos (e por qualquer ordem) que o antecedam.
Ao conjunto de todos os pontos harmonicamente relacionados com ABC damos o nome de rede harmónica e designa-se por R(ABC) (ou R(BCA) ou R(CAB)...)


[A.A.M.]
Na figura acima, está construída uma pontual satisfazendo as condições de uma rede R(ABC). Incluímos os quadriláteros completos utilizados com indicação das diversas relações harmónicas estabelecidas para obter cada ponto da rede. De certo modo, uma rede harmónica é um conjunto, tão pequeno quanto possível, com um mínimo de 3 pontos colineares que incluirá, para cada terno dos seus elementos, o conjugado harmónico de cada um deles relativamente aos outros dois.
Claro que percebemos que o procedimento parte de 3 pontos de uma pontual, que se podem obter novos pontos indefinidamente e que entre dois pontos da rede se podem obter novos pontos. Por isso, a esta rede se chama também rede de racionalidade. E fica por responder a pergunta sobre se, por este processo recorrente se obtêm todos os pontos da reta (base da pontual). Sim ou não? Depende.

1) Como a projetividade transforma conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos, também transforma qualquer rede harmónica numa rede harmónica.

2) Se uma projetividade deixa invariantes cada um dos três pontos distintos A,B,C de uma pontual, também deixa invariantes cada um dos pontos da rede harmónica R(ABC).

3) Uma reta harmónica fica igualmente bem determinada por quaisquer três dos seus pontos
Será que fica univocamente determinada uma rede harmónica (ou de racionalidade) pelos seus primeiros três pontos?