Os spliters e o primeiro ponto de Nagel

Ricardo Portugal enviou-nos uma mensagem em que escrevia: (...) terminei (...) a minha monografia de fim de curso que aborda alguns temas de geometria euclidiana pouco divulgados, nomeadamente cleavers e spliters. (...) Não sei como se costuma fazer para que os temas sejam publicados no fórum, o que gostaria de saber é se haveria hipótese de publicar o meu trabalho, ou pelo menos partes dele, para serem discutidas, (...) seria uma forma de divulgar alguns resultados de geometria euclidiana recentes.
Aceitamos todas as sugestões e o Ricardo Portugal enviou a sua monografia (Portugal; Ricardo Filipe Marques. Geometria Euclidiana - Cleavers and Spliters. 2008 (baseada na obra de Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry). Agradecemos a sua confiança e apoio. Aos interessados na monografia de Ricardo Portugal e na sua discussão, sugerimos que cliquem sobre o nome do autor para o contactar.

Alguns dos resultados do tema que estamos a publicar actualmente (sob direcção de Aurélio Fernandes, como quase sempre) estão abordados na monografia de Ricardo Portugal e, seguindo o conselho de Ricardo, divulgamos os termos em uso (spliters, por exemplo. Alguns destes resultados já apareceram e foram abordados em artigos anteriores.

O resultado seguinte trata da recta que passa por um vértice A de um triângulo [ABC] e pelo ponto F de [BC], ponto de tangência do círculo ex-inscrito. A uma ceviana assim definida dá-se o nome de spliter por ser verdade que |AB|+|BF|=|AC|+|CF|(o perímetro fica dividido em duas partes de igual medida). Split significa divisão, cisão, ruptura. Talvez por não haver uma palavra única em portugês que traduza spliter é que não se encontre designação equivalente em obras portuguesas.

A construção seguinte, em que pode provocar variações, permite-lhe confirmar que [AF] é um spliter de [ABC], resultado de que está escrita a demonstração. Claro que, em cada triângulo há 3 spliters deste tipo.




Ricardo Portugal utiliza este resultado para provar a existência do primeiro ponto De Nagel, com recurso ao Teorema de Ceva. Mais ou menos assim:





Por AF ser spliter a₂+b₁+b₂é um semiperímetro
E a₁+a₂+b₁ é também semiperímetro do triângulo já que BE é também spliter do mesmo triângulo.
De a₁+a₂+b₁=a₂+b₁+b₂, sai que a₁=b₂.

De modo análogo, se conclui que b₁=c₂ e a₂=c₁

a₁ /b₂=1, b₁/c₂=1 e a₂/c₁=1

(a₁/b₂)(b₁/c₂)(c₁/a₂) =1

(a₁/a₂)(b₁/b₂)(c₁/c₂) =1

(|BF|/|CF|).(|CE|/|AE|).( |AD|/|DB|) =1

E assim fica claro que estas cevianas AF, BE e CD verificam o teorema de Ceva e, por isso, se intersectam obrigatoriamente num ponto - o primeiro ponto de Nagel....

Os outros pontos de Nagel

Pelo meu lado, nem todos os pontos notáveis interessam. Nas mais importantes enciclopédias (outras línguas, outras línguas) não vi referência nem construção dos pontos de Nagel. Enquanto que os 4 pontos de Gergonne aparecem várias vezes referidos e as construções aparecem desenhadas, tal não acontece com os pontos de Nagel. Pareceu-me que na sua definição havia uma bela "mestiçagem". De facto, os pontos de Nagel não aparecem como intersecção de 3 rectas tiradas dos vértices para pontos dos lados opostos, como acontecia com os pontos de Gergonne, todos eles pontos de tangência dos círculos inscritos ou exinscritos. No caso dos pontos de Nagel, assim não é: De dois vértices conduzem-se rectas a passar pelos pontos de tangência dos ex-incírculos nos seus lados opostos, mas a terceira recta é tirada do terceiro vértice para o ponto de tangência do círculo inscrito, ou de outro modo a recta tirada do terceiro vértice para o primeiro ponto de Geergonne. De acordo com a nossa bela enciclopédia italiana, antes referida, que não faz qualquer construção ou desenho e usa notações que só a eles lembrou.
No artigo de ontem, assim ficou. Parecia-me tudo sossegado. Mas, durante a noite, recebi mensagens da Mariana (acompanhada do desenho) e do Aurélio (acompanhada de manifestações de apoio). Como as cevianas são, para efeitos deste blog, aurelianas, declaro-me vencido.
Aqui fica a construção da Mariana com os restantes pontos de Nagel:

Ponto de Nagel

As cevianas que unem cada vértice de um triângulo [ABC] ao ponto de contacto de cada círculo ex-inscrito com o lado oposto, intersectam-se no mesmo ponto – “ponto de Nagel”.
À semelhança do que aconteceu com os pontos de Gergonne, também consideramos mais três pontos de Nagel.

---

O ponto de Nagel de um triângulo [ABC] está sobre a recta definida pelos seus incentro e baricentro. E mais: |NG|=2|IC|.
Se, na construção interactiva que juntamos, deslocar A, B ou C, pode ver que este resultado se mantém para cada triângulo.

Pontos de Gergonne

CEVIANAS TRIVIAIS

São bem conhecidas da geometria básica as alturas – ortocentro, as bissectrizes – incentro, as medianas – baricentro.

A demonstração de que, cada um destes três conjunto de cevianas se intersectam num ponto, pode fazer-se provando que verificam o teorema de Ceva.

PONTO de GERGONNE
As cevianas que unem cada vértice de um triângulo [ABC] ao ponto de contacto do círculo inscrito com o lado oposto, intersectam-se no mesmo ponto – “ponto de Gergonne”.
Note-se que ponto de Gergonne é o ponto de Brianchon relativo ao hexalátero degenerado circunscrito ao círculo, formado pelos três lados a, b, c e os pontos de contacto.
É possível definir pontos de Gergonne relativamente a cada um dos três ex-incírculos (circunferências ex-inscritas).

---

Propunha-se: Dado o triângulo [ABC], determinar os seus quatro pontos de Gergonne.

Teorema de CEVA

Estava o teorema de Menelau por completo esquecido, quando, cerca de mil e quinhentos anos mais tarde, o geómetra italiano Giovanni Ceva (1647-1734) o descobriu e lhe deu mais ampla aplicação, na sua obra De lineis rectis, ao estabelecer uma condição para que três cevianas de um triângulo tenham um ponto comum.
Comecemos por recordar o conceito de ceviana: trata-se de um segmento de recta que liga um vértice do triângulo a um ponto da recta a que pertence o lado oposto correspondente.



[A.A.F.]


A demonstração resulta da aplicação do teorema de Menelau a dois triângulos:
- ao triângulo [ACF] intersectado pela transversal EB
- ao triângulo [FCB] intersectado pela transversal DA
o produto membro a membro das relações obtidas conduz à expressão acima.

De volta aos triângulos

Regressamos a um tema inesgotável – TRIÂNGULOS ! É nossa intenção seguir o seguinte plano:

1. pontos notáveis;
   
2. rectas notáveis;
   
3. círculos notáveis;
   
4. cónicas notáveis.
   

Como o tema é… inesgotável, claro que não vamos tratar de “todos” os ponto, “todas” as rectas, “todos” os círculos, “todas” as cónicas. Apenas daremos mais alguns passos.

---

Tomaremos como base principal uma obra de 1937 que actualmente é pouco conhecida e difícil de encontrar: “Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi”, artigo redigido por Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero e intitulado “La Geometria del Triangolo”

---

TRIÂNGULOS - PONTOS NOTÁVEIS

Menelau (séc I dC) foi um dos grandes da Escola de Alexandria; da sua vasta obra actualmente apenas se fala no teorema a que se dá o seu nome. Notemos que Melenau procedeu à extensão deste resultado a triângulos esféricos, facto notável para a sua época!
Na construção que se segue, relativa ao teorema de Menelau, pode movimentar os pontos e verificar os cálculos de razões. Verificará que ao movimentar A, B ou C as razões variam e verá porque é que o produto é 1. Verificará que, para cada triângulo [ABC], elas se mantêm invariantes se deslocar os pontos da recta que atravessa o triângulo.

A afinidade generaliza Napoleão.

Generalização do Teorema de Napoleão
Será que os baricentros de n-ágonos regulares construídos (interna ou externamente) sobre cada um dos lados de um dado n-ágono formam por sua vez um outro nágono regular?

Teorema de Thébault
Thébault demonstrou que para um paralelogramo os baricentros dos quadrados construídos (interna ou externamente) sobre os seus lados formam sempre um outro quadrado .

Ora, o triângulo e o paralelogramo são exemplos de polígonos regulares afins, isto é, polígonos que são sempre imagem por uma transformação afim de um triângulo equilátero e de um quadrado, respectivamente.

Teorema de Barlotti
Em 1955, Barlotti, demonstrou que: Dado um n-ágono qualquer, se este for imagem por uma transformação afim de um n-ágono regular, então o n-ágono formado pelos baricentros dos n-ágonos regulares construídos (interna ou externamente) sobre os seus lados é um n-ágono regular



[A.A.F.]

É interessante mover o ponto A’ mudando a direcção da afinidade e observar quando A’,B’,C’ e D’ são colineares ou quando estes coincidem dois a dois.

Fermat?

As rectas que unem os vértices livres dos triângulos construídos externamente ao vértice oposto do triângulo [ABC] intersectam-se no mesmo ponto – primeiro Ponto de Fermat (F). Este ponto é também o ponto de intersecção dos circuncírculos dos triângulos equiláteros.



[A.A.F.]
[Na construção acima, pode movimentar os pontos A , B e C e confirmar, para vários triângulos, a propriedade enunciada]
O primeiro ponto de Fermat de um triângulo é o ponto cuja soma das distâncias aos vértices é mínima.
Fermat desafiou Torricelli a encontrar um ponto tal que a soma das distâncias aos vértices fosse mínima e este passou o desafio a V. Viviani.

Napoleão?

Tracemos: - o triângulo equilátero de base AB, centro Z e o arco de corda AB e centro Z;
- o triângulo equilátero de base BC, centro X e o arco de corda BC e centro X;
- o triângulo equilátero de base CA, centro Y e o arco de corda CA e centro Y.

Tomemos um ponto qualquer D sobre o arco de corda BC e um segmento DE que contenha o vértice C do triângulo dado.
Verifica-se que:
- EA e DB se instersetam num ponto F do arco AB e centro Z;
- o triângulo [DEF] é equilátero.




[A.A.F]