25.8.08

Rectas e pontos isogonais. Simedianas.

Duas rectas são “isogonais” se passam pelo mesmo vértice e são simétricas em relação à bissectriz do ângulo interno com esse vértice . Se duas rectas são isogonais, as distâncias dos pontos de uma aos lados do triângulo concorrentes com ele são inversamente proporcionais às distâncias análogas dos pontos da outra.
As rectas isogonais das medianas dizem-se “simedianas”.




As três cevianas que passam por um ponto M, têm por isogonais três rectas que passam por um ponto M’; os pontos M e M’ dizem-se isogonais ou inversos. As suas distâncias aos lados do triângulo são, entre si, inversamente proporcionais. De facto designando Ma, Mb, Mc as projecções ortogonais de M respectivamente sobre os lados a, b e c (analogamente para M', M'a, M'b, M'c), obtemos |MMb|.|M'M'b|=|MMc|.|M'M'c|, como pode confirmar na construção que se segue:




As projecções ortogonais de de dois pontos isogonais sobre os lados do triângulo são seis pontos concíclicos; o ponto médio do segmento [MM’] é o centro desse círculo.



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16.8.08

Recíproco do Ortocentro

Ao recíproco do Ortocentro damos o nome de Retrocentro. Assim:



Interessante é verificar que o Retrocentro e os primeiros pontos de Gergonne e de Nagel (recíprocos) são colineares. Como pode ver na construção seguinte:


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6.8.08

Pontos recíprocos

Tomemos três cevianas do triângulo [ABC] que passam por um ponto P. Verifica-se que as suas conjugadas isotómicas se intersectam num ponto P’. Os pontos P e P´dizem-se “pontos recíprocos”.








Exerício interactivo:
Determinar o primeiro ponto de Gergonne do triângulo [ABC] e o seu recíproco.





Determinado o ponto de Gergonne e o seu recíproco, verifique que esse recíproco coincide com o ponto de Nagel determinando o ponto de Nagel. Não é curioso? Em cada lado do triângulo, os pontos de tangência do incírculo e do exincírculo são simétricos relativamente ao ponto médio do lado.

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Pontos isotómicos. Rectas isotómicas

Dois pontos situados num lado de um triângulo dizem-se “isotómicos” se forem simétricos em relação ao ponto médio desse lado. Duas cevianas que pasam pelo mesmo vértice, dizem-se “conjugadas isotómicas” se intersectam o lado oposto em pontos isotómicos. Os pontos D e D’ são isotómicos. As rectas d e d’ são conjugadas isotómicas.


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1.8.08

Colineares - recta de Euler - e concíclicos - círculo de Feuerbach;

No triângulo [ABC] tracemos as medianas AMa, BMb e CMc que se intersectam no baricentro G
Como é bem conhecido: o triângulo [MaMbMc] tem os lados ordenadamente paralelos aos do triângulo [ABC]; [ABC] e [MaMbMc] são homotéticos: o centro de homotetia é G e a razão é 1/2.

Os pontos notáveis de [MaMbMc] são homotéticos dos pontos notáveis correspondentes de [ABC]. G, como centro de homotetia, é baricentro de ambos os triângulos. O ortocentro H de [ABC] é homotético do ortocentro de [MaMbMc] que, como é óbvio, é o circuncentro O de [ABC]. Concluímos assim, como já vimos há tempos, que os pontos G, H, O são colineares (“recta de Euler”) e, atendendo à razão de homotetia, |HG| = 2 |GO|.

O circuncentro O de [ABC] tem por homotético o centro F da circunferência definida pelos pontos Ma, Mb, Mc. Ora como vimos (nos artigos sobre lições de Geometria Métrica de Puig Adam Pontos e rectas notáveis de um triângulo e Teorema de Feuerbach), trata-se do “círculo de Feuerbach”. Sendo assim, F pertence também à recta de Euler e é |OG| = 2|GF|. Então F é o ponto médio do segmento [HO]. Atendendo à constância das razões que é possível obter, concluímos que (HGOF) formam um quaterno harmónico.





Recordamos ainda que o círculo de Feuerbach é também designado por “círculo dos nove pontos”: além de Ma, Mb, Mc, contem ainda os pés Ha, Hb, Hc das alturas e os pontos médios dos segmentos definidos por H e cada um dos vértices A, B, C.
O círculo de Feuerbach é tangente ao incírculo e aos ex-incírculos. Os quatro pontos de contacto são os “pontos de Feuerbach”.

Consideremos o triângulo [A1B1C1], em que cada lado está sobre a paralela a um lado do triângulo [ABC] tirada pelo vértice oposto.

O incentro I de [ABC] tem por homotético o incentro de [A1B1C1]. Tal ponto é o nosso conhecido “ponto de Nagel” N. Atendendo à homotetia, os pontos G, I, N são colineares e NG = 2 GI.



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2014
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