A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

4.4.05

Triangularidades

Conversamos sobre um ou outro aspecto de cada problema,sobre a forma de os apresentar, o tempo certo para publicar resoluções de problemas já propostos ou para quando a publicação de novas propostas. As conversas brandas com o Aurélio sobre os problemas e sobre aspectos das apresentações deixam o ar impregnado de detalhes - o melhor disto são mesmo os detalhes sobre os quais nos focamos para melhor focar o mundo.
Temos uma proposta de resolução de António Silva para um dos problemas de triângulos, mas vamos adiar por mais algum tempo a publicação na esperança de ver aparecer várias soluções. Nessa resolução, apareceu uma discussão sobre como fazer o transporte de ângulos. Usando a ferramenta de paralelas do Cinderella ou usando régua e compasso? (Mais formativa esta última, até porque permite lembrar resultados pelo seu uso - numa circunferência ou em circunferências iguais a cordas iguais correspondem iguais arcos (ou ângulos ao centro), por exemplo - até porque o compasso só transfere comprimentos de segmentos). Há um trabalho muito elaborado de Mariana Sacchetti, em resposta à nossa pergunta sobre a razoabilidade da construção que apresentámos para a rectificação aproximada de uma circunferência (Dia do π). Publicar-se-ão nos artigos a que se referem. Não perdem por esperar.
Propostas de novas curvas feitas por Antero Neves talvez venham a merecer artigos novos caso haja algum trabalho sobre elas, possamos descobrir que desafio elas nos colocam e possa ser resolvido por nós ou por quem acompanha.


As conversas brandas obrigaram-me a pensar nos problemas sobre triângulos que foram propostos por Aurélio Fernandes fora deste lugar e nos têm dividido quanto à oportunidade de os colocar.
Decidi apresentar três deles para ocupar mais gente.

O primeiro deles vai antecipado de perguntas que talvez ajudem (e que vou fazer a alunos do 8º ano):
Determine os lados de um triângulo que tenha por alturas segmentos de 2, 3 e 4 cm.
Haverá algum triângulo que tenha por alturas segmentos de 1, 3 e 4 cm?

E o problema de construção :
Construir (com régua e compasso?) um triângulo de que se conheçam só as três alturas


O segundo:
Construir um triângulo de que se conhece um ângulo A, um lado a e a soma b+c dos lados restantes.


O terceiro:
Construir um triângulo equilátero com um vértice sobre cada uma de três paralelas dadas.



Aguardamos novas participações. Há mais do que uma forma para os resolver. Deve haver.
Podemos passar a vida a olhar sem descanso para triângulos. Há sempre alguma coisa de que não nos demos conta. Triangularidades!

Com mais ou menos variações, estes exercícios propostos pelo Aurélio e o último pelo Veloso, podem ser vistos e achados em livros clássicos de geometria, por exemplo, em
Th. Caronnet; Exércices de Géométrie. Compléments. Librairie Vuibeert. Paris: 1946
Claro que Caronnet (ou Puig Adam, na sua Geometria Métrica já recenseada em artigos anteriores) consideram os exercícios para ilustrar um aspecto, muitas vezes insuspeito, da geometria. Nem sempre concordamos com isso. E procuramos explicações para a nossa discordância. Publicamos sobre a discordância, claro.

28.3.05

A geometria das desigualdades entre médias

Vamos revisitando problemas de máximos e mínimos para responder a necessidades das aulas. De vez em quando, paramos para organizar algumas ideias que foram discutidas. É o caso deste texto feito para estudantes do 11º ano -- As visitas do problema em viagem. -- mas que se atravessou em várias iniciativas.

Um dos aspectos tem a ver com a interpretação geométrica das médias e das desigualdades entre elas bem como das condições para a sua igualdade. A observação destas propriedades simples serve para esclarecer alguns aspectos que os problemas levantam marginalmente, como: porque é que é um quadrado o rectângulo de área máxima de entre os rectângulos isoperimétricos?





Na circunferência de diâmetro a+b, o raio |OS|=|OP| é a média aritmética de a e b, |CP| é a média geométrica e |HP| é a média harmónica. Clicando sobre a figura, tem-se acesso à construção interactiva. Nesta, pode movimentar o ponto verde que corresponde a modificar os valores de a e b sem mudar a sua soma, para ver em que condições é que o produto é máximo, etc.

Como se podia fazer uma figura para analisar a variação de a+b, sendo ab fixo?



A respeito deste assunto das desigualdades, pode ver referências no capítulo 13 - Fórmula de Herão; desigualdade isoperimétrica -pp 83 a 86 do Curso de Geometria de Paulo Ventura Araújo, publicado pela Gradiva.
Neste capítulo, após demonstrar a Formula de Herão (que relaciona a área de um triângulo com os seus semiperímetro e lados) e que a média geométrica de um n-uplo de reais não negativos é menor que a sua média aritmética, Paulo Ventura Araújo propôe exercícios. Dois deles:
1) Provar que todo o quadrado tem área maior que qualquer tirângulo com o mesmo perímetro.
2) Determinar qual o triângulo de maior área de entre aqueles cuja soma de dois dos lados é uma constante.

Estes problemas podem também ser seguidos no livro já referido Mujeres, manzanas y matemáticas, entretejidas de Xaro Moreno, publicado pela Nivola.


15.3.05

Post-it

Há vários problemas de construção de triângulos à espera de respostas. Podem ser vistos no artigo
Construção de triângulos

À volta desse artigo, há muitos problemas de construção com triângulos que estão resolvidos e podem ser vistos de novo. Para todas as idades, a partir dos 11 ou 12 anos ou do 7º ano de escolaridade...

14.3.05

Andar às voltas





Ando sempre às voltas com coisas por resolver - a maior parte por dificuldades matemáticas, claro! e outras porque não sei resolver com o Cinderella (mesmo depois de já ter feito com outro programa como o GSP). Há sempre uma "roulette" e uma reversão (cusp, cúspide, cuspideira que (não) se arrasta) a perseguir-me. As tentativas de estudo para isto ou para aquilo acabam sempre noutras coisas (umas interessantes, outras nem por isso). Ontem acabei numa cardióide (?) como envolvente de circunferências . Gosto da imagem. E ainda não havia notícia dessa possiblidade do Cinderella de apresentar lugares geométricos como envolventes de curvas.

Para este cardióide, tome-se uma circunferência de centro A e a passar por B e um ponto C livre de se mover sobre ela. A circunferências de centro C que passam por B, saão tangentes interiores a uma cardióide com ponto de reversão em B.

Para quem se interessar por fracassos, aqui deixo o outro resultado do desespero .

Há um artigo anterior - Cardióide - que trata disso e as páginas da Geometria de E. Veloso, nele referidas, chegam para quem queira começar a estudar o assunto

13.3.05

3,14 - Dia do  π   - uma "rectificação"

Para comemorar o dia do π nada melhor do que tentar arranjar um segmento π. Não acham?




Com régua e compasso, é impossível determinar um segmento de recta de comprimento exactamente igual a uma dada circunferência*. Porquê?
Mas pode fazer-se uma construção de rectificação aproximada de uma circunferência qualquer. Apresentamos uma proposta de Benjamim Carvalho**, professor arquitecto brasileiro. Assim:



Traçados dois diâmetros perpendiculares AC e BD da circunferência de centro em O, tomemos a intersecção - P - da circunferência de centro em D e raio |DO| com a circunferência dada inicialmente.
A recta OP intersecta em P' a paralela a DB tirada por C. Sobre esta determinemos B' tal que |P'B'|=3|OP|.
|AB'| tem comprimento igual a metade do perímetro da circunferência dada, isto é |AB'|e π|OA|são aproximadamente iguais. (Se |AO|=1, |AB'|=π)



Se clicar sobre a ilustração tem acesso a uma construção dinâmica em que pode movimentar pontos, de modo a modificar os raios e confirmar que a construção aguenta aproximações sempre razoáveis.


Porque é que é razoável esta construção? Isso é o que andei a tentar perceber.


Em meu entender, a Mariana Sacchetti respondeu às minhas dúvidas. A razoabilidade do resultado da construção, cuja aproximação podia ser verificada por cálculos, não era a minha dúvida essencial e existencial. Antes era, porquê aquela construção? Que podia ter levado um geómetra a dar aqueles passos? Porquê assim?

Com autorização da Mariana, aqui ficam as suas    deambulações em volta do π    (em .pdf). Vale a pena duvidar e deambular com ela. Muito obrigado, Mariana. E podemos continuar a discutir. Há quem já me tenha perguntado: Mas afinal como é que ela respondeu a essas tuas dúvidas? E eu respondo quando me perguntam.

[O melhor do mundo são as perguntas, as cerejas, ... as crianças que entram na escola de dedo na boca para sairem adolescentes de dedo no ar].

Não esquecemos o apoio do Eduardo Veloso que se tirou dos seus afazeres e nos apoiou com a construção em GSP da ciclóide que não conseguíamos dar à Mariana. Obrigado, Veloso. Se ele autorizar, podemos publicá-la um dia destes ou estabelecer uma ligação para algum lugar onde ela esteja. Os problemas levantados por este artigo propiciaram muitas discussões também sobre as diferenças, vantagens e desvantagens dos Geometer's SketchPad e Cinderella, como programas para a geometria dinâmica.




* Sobre números contrutíveis, recomendo a leitura de Franco de Oliveira, Transformações Geométricas.Universidade Aberta.Lisboa: 1997 - página 122 e seguintes.
**[Carvalho, Benjamim. Desenho Geométrico. Ao Livro Técnico, Ltda, R.J.. 1959], emprestado por David Torres - professor, pintor, médico, reformado e tudo.

6.3.05

Teorema de Brianchon

Para passar do teorema de Pascal para o seu dual - o teorema de Brianchon, basta permutar as palavras recta e ponto.

No teorema de Pascal, temos pontos sobre uma cónica e referimo-nos aos lados do hexágono inscrito. No teorema de Brianchon, teremos rectas tangentes a uma cónica e podemos referir-nos então a um hexágono circunscrito a uma cónica. No teorema de Pascal, pares de lados opostos do hexágono intersectam-se em três pontos que estão sobre uma mesma recta. No teorema de Brianchon, pares de pontos ou vértices opostos unem-se em rectas que passam por um mesmo ponto.

Brianchon publicou o seu teorema em 1810, tendo provado também que os lados do hexágono que circunscreve a cónica podem tomar-se por qualquer ordem.

Teorema de Brianchon - Num hexágono circunscrito a uma cónica, as rectas unindo pares de vértices opostos passam por um ponto.

Como construir um hexágono circunscritível a uma cónica (que não seja a circunferência)?
Como construir uma cónica tangente a seis rectas dadas?

Teorema de Pascal

N'O Dicionário de Geometria Curiosa, publicado pela Gradiva (nº 23 da Colecção O Prazer da Matemática), David Wells escreve:
Blaise Pascal descobriu o seu famoso teorema com a idade de 16 anos, em 1640, e publicou-o num opúsculo intitulado Essai pour les coniques. O teorema afirma que se partirmos de um hexágono inscrito numa cónica, então os três pontos nos quais os pares de lados opostos se encontram ficam alinhados. Se os pontos do hexágono forem designados por ABCDEF, então AB e DE serão lados opostos intersectando-se num ponto X e assim por diante. A recta XYZ é a recta de Pascal.
Para um hexágono inscrito em ziguezague, os pontos de encontro ficam dentro da cónica e a figura parece-se muito com a figura do Teorema de Papo. Na realidade, o Teorema de Papo é um caso especial do teorema de Pascal em que a cónica degenera num par de linhas rectas. Se o hexágono for desenhado de uma maneira mais normal, então os três pontos colineares ficarão fora da cónica.


Por definição, o Cinderella determina uma cónica qualquer dados cinco dos seus pontos e, também automaticamente, determina a circunferência que passa por três dos seus pontos. A circunferência fica também determinada dado o centro e um dos seus pontos ou dado o centro e o raio.
O que até agora não consegui resolver foi tomar um sexto ponto de uma cónica definida por cinco pontos. É claro que podem determinar-se seis pontos sobre uma circunferência dada.

Apresenta-se a construção relativa ao Teorema de Pascal para seis pontos de uma circunfer�ncia . Depois de aceder a essa antiga construção pode mover os pontos sobre a circunfer�ncia para verificar que os 3 pontos de intersecção dos lados opostos se mantêm sobre a mesma recta, sendo natural esperar que os pontos de intersecção saiam rapidamente dos limites da folha.

Recentemente, para uma sessão de demonstração do Cinderella, os professores da Escola José Estêvão que a promoveram propunham alguns problemas para serem resolvidos. Entre eles, apareciam as construções relativas ao Teorema de Pascal e ao seu dual - Teorema de Brianchon. E voltei a enfrentar a tal dificuldade insuperável do sexto ponto sobre a cónica definida por cinco pontos. Então propus uma verificação interessante para mim. Tomava cinco pontos sobre uma cónica e um sexto ponto. Fazia toda a construção e unia por uma recta dois dos pontos de intersecção dos lados opostos do hexágono. Podia ver-se que sempre que aproximava o meu sexto ponto da cónica, o terceiro ponto das intersecções de lados opostos se aproximava da tal recta previamente traçada pelos outros dois. E aproveitava para falar da minha limitação sempre na esperança de que alguém avançasse com algum palpite novo.

Nada mais aconteceu a este respeito. E decido-me, agora, a publicar uma construção referida a o que poderia chamar um recíproco do Teorema de Pascal.





Tomo 3 pontos G, H e I sobre uma recta e, a partir deles e de 3 pares de rectas neles concorrentes, reconstruo um sextuplo de pontos tal que a cónica definida por cinco deles passa pelo outro.
Tem interesse, penso eu, já que permite, manipulando os pontos da figura, ver as diversas cónicas e em que condições a recta de Pascal atravessa (ou não) a cónica em cada caso. Também se pode procurar a posição em que a cónica degenera e se fica com a construção relativa ao teorema de Papus.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção