Teorema de Brianchon

Para passar do teorema de Pascal para o seu dual - o teorema de Brianchon, basta permutar as palavras recta e ponto.

No teorema de Pascal, temos pontos sobre uma cónica e referimo-nos aos lados do hexágono inscrito. No teorema de Brianchon, teremos rectas tangentes a uma cónica e podemos referir-nos então a um hexágono circunscrito a uma cónica. No teorema de Pascal, pares de lados opostos do hexágono intersectam-se em três pontos que estão sobre uma mesma recta. No teorema de Brianchon, pares de pontos ou vértices opostos unem-se em rectas que passam por um mesmo ponto.

Brianchon publicou o seu teorema em 1810, tendo provado também que os lados do hexágono que circunscreve a cónica podem tomar-se por qualquer ordem.

Teorema de Brianchon - Num hexágono circunscrito a uma cónica, as rectas unindo pares de vértices opostos passam por um ponto.

Como construir um hexágono circunscritível a uma cónica (que não seja a circunferência)?
Como construir uma cónica tangente a seis rectas dadas?

Teorema de Pascal

N'O Dicionário de Geometria Curiosa, publicado pela Gradiva (nº 23 da Colecção O Prazer da Matemática), David Wells escreve:

Blaise Pascal descobriu o seu famoso teorema com a idade de 16 anos, em 1640, e publicou-o num opúsculo intitulado Essai pour les coniques. O teorema afirma que se partirmos de um hexágono inscrito numa cónica, então os três pontos nos quais os pares de lados opostos se encontram ficam alinhados. Se os pontos do hexágono forem designados por ABCDEF, então AB e DE serão lados opostos intersectando-se num ponto X e assim por diante. A recta XYZ é a recta de Pascal.
Para um hexágono inscrito em ziguezague, os pontos de encontro ficam dentro da cónica e a figura parece-se muito com a figura do Teorema de Papo. Na realidade, o Teorema de Papo é um caso especial do teorema de Pascal em que a cónica degenera num par de linhas rectas. Se o hexágono for desenhado de uma maneira mais normal, então os três pontos colineares ficarão fora da cónica.

Por definição, o Cinderella determina uma cónica qualquer dados cinco dos seus pontos e, também automaticamente, determina a circunferência que passa por três dos seus pontos. A circunferência fica também determinada dado o centro e um dos seus pontos ou dado o centro e o raio.
O que até agora não consegui resolver foi tomar um sexto ponto de uma cónica definida por cinco pontos. É claro que podem determinar-se seis pontos sobre uma circunferência dada.

Apresenta-se a construção relativa ao Teorema de Pascal para seis pontos de uma circunfer�ncia . Depois de aceder a essa antiga construção pode mover os pontos sobre a circunfer�ncia para verificar que os 3 pontos de intersecção dos lados opostos se mantêm sobre a mesma recta, sendo natural esperar que os pontos de intersecção saiam rapidamente dos limites da folha.

Recentemente, para uma sessão de demonstração do Cinderella, os professores da Escola José Estêvão que a promoveram propunham alguns problemas para serem resolvidos. Entre eles, apareciam as construções relativas ao Teorema de Pascal e ao seu dual - Teorema de Brianchon. E voltei a enfrentar a tal dificuldade insuperável do sexto ponto sobre a cónica definida por cinco pontos. Então propus uma verificação interessante para mim. Tomava cinco pontos sobre uma cónica e um sexto ponto. Fazia toda a construção e unia por uma recta dois dos pontos de intersecção dos lados opostos do hexágono. Podia ver-se que sempre que aproximava o meu sexto ponto da cónica, o terceiro ponto das intersecções de lados opostos se aproximava da tal recta previamente traçada pelos outros dois. E aproveitava para falar da minha limitação sempre na esperança de que alguém avançasse com algum palpite novo.

Nada mais aconteceu a este respeito. E decido-me, agora, a publicar uma construção referida a o que poderia chamar um recíproco do Teorema de Pascal.

Tomo 3 pontos G, H e I sobre uma recta e, a partir deles e de 3 pares de rectas neles concorrentes, reconstruo um sextuplo de pontos tal que a cónica definida por cinco deles passa pelo outro.
Tem interesse, penso eu, já que permite, manipulando os pontos da figura, ver as diversas cónicas e em que condições a recta de Pascal atravessa (ou não) a cónica em cada caso. Também se pode procurar a posição em que a cónica degenera e se fica com a construção relativa ao teorema de Papus.