A geometria das desigualdades entre médias

Vamos revisitando problemas de máximos e mínimos para responder a necessidades das aulas. De vez em quando, paramos para organizar algumas ideias que foram discutidas. É o caso deste texto feito para estudantes do 11º ano -- As visitas do problema em viagem. -- mas que se atravessou em várias iniciativas.

Um dos aspectos tem a ver com a interpretação geométrica das médias e das desigualdades entre elas bem como das condições para a sua igualdade. A observação destas propriedades simples serve para esclarecer alguns aspectos que os problemas levantam marginalmente, como: porque é que é um quadrado o rectângulo de área máxima de entre os rectângulos isoperimétricos?

[A.A.F.]

Na circunferência de diâmetro a+b, o raio |OS|=|OP| é a média aritmética de a e b, |CP| é a média geométrica e |HP| é a média harmónica. Clicando sobre a figura, tem-se acesso à construção interactiva. Nesta, pode movimentar o ponto verde que corresponde a modificar os valores de a e b sem mudar a sua soma, para ver em que condições é que o produto é máximo, etc.

Como se podia fazer uma figura para analisar a variação de a+b, sendo ab fixo?

A respeito deste assunto das desigualdades, pode ver referências no capítulo 13 - Fórmula de Herão; desigualdade isoperimétrica -pp 83 a 86 do Curso de Geometria de Paulo Ventura Araújo, publicado pela Gradiva.
Neste capítulo, após demonstrar a Formula de Herão (que relaciona a área de um triângulo com os seus semiperímetro e lados) e que a média geométrica de um n-uplo de reais não negativos é menor que a sua média aritmética, Paulo Ventura Araújo propôe exercícios. Dois deles:
1) Provar que todo o quadrado tem área maior que qualquer tirângulo com o mesmo perímetro.
2) Determinar qual o triângulo de maior área de entre aqueles cuja soma de dois dos lados é uma constante.

Estes problemas podem também ser seguidos no livro já referido Mujeres, manzanas y matemáticas, entretejidas de Xaro Moreno, publicado pela Nivola.