A pedido, AAF,MIS e outr@s tudo farão:
Para a figura que se segue, começámos por apresentar um hexágono regular de vértices $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E,\;F\;$ sendo $\;\overline{AB}=1.\;$ Em seguida, tomámos o retângulo $\;P, \;Q,\; R, \;S.$
Queremos só que
determine a área deste retângulo.
O problema fica resolvido se tomarmos as três diagonais $\;\overline{AD}, \; \overline{BE};$ e $\;\overline{CF}\;$ do hexágono que o dividem em seis trângulos equiláteros (de lado 1)
Dos lados do retângulo, vemos que
$\overline{PQ} = \overline{RS} = 2 = \overline{CF}\;$ e
$\overline{PS} = \overline{PF}+\overline{FS} = \overline{AE} = \overline{BD} = \overline{QC}+\overline{CR} = \overline{QR}\;$
que são somas das alturas de dois triângulos $\;\Delta [FAF']\;$ e $\;\Delta [F'EF]\;$ congruentes,
e tais que as suas alturas iguais e iguais a $\;\overline{PF}=\overline{FS}=\overline{QC}=\overline{CR}\;$ que podem ser calculados imediatamente já que $\;\overline{AP}=\frac{1}{2}\;$ e, em conseguência, $\;\overline{AF}^2 = \overline{AP}^2 + \overline{PF}^2\;$ e $\;\overline{PF}^2 = 1-\frac{1}{4} =\frac{3}{4}.\;$
Concluindo: $\;\overline{PF}=\;\overline{FS}\;=\;\overline{QC}=\;\overline{CR}= \frac{\sqrt{3}}{2}.\;$
O outro lado $\;\overline{PS}\; (=\;\overline{QR})\;$ do retângulo mede $\;\sqrt{3}\;$
e a área do retângulo mede-se por $\;2\sqrt{3}.\;$
