Uma sequência especial de pontos harmonicamente relacionados

Afinal uma rede harmónica não é mais que um conjunto de no mínimo três pontos que inclui, para cada terno dos seus pontos, o conjugado harmónico de cada um relativamente aos outros dois. Na entrada anterior, definimos rede harmónica ou rede de racionalidade (tradução literal de "harmonic net" e "net of rationality" usadas em Projective Gometry - Coxeter, que seguimos no nosso estudo acompanhado das nossas construções dinâmicas).

Nesta entrada, construímos um conjunto numerável de pontos harmonicamente relacionados com ABZ, em que cada ponto novo sucede ao anterior.

[A.A.M.]
O procedimento especial aqui seguido pode ser descrito como segue:
Tomados A, B e Z, consideramos uma reta arbitrária tirada por Z e sobre ela dois pontos P e R arbitrários. Tomado A'=AP.BR, traçamos a reta ZA'. E tomamos os pontos B'=BP.A'Z, Q=AR.ZA'.
O quadrilátero completo B'RQS da figura, em que C=RB'.AZ e S=QC.AB', prova a relação harmónica H(AC,BZ).

O procedimento para obter D é semelhante:
C'=CP.A'Z para obter sobre AZ o ponto D=RC'.AZ; D'=DP.A'Z para obter E=RD'.AZ,; etc
As relações construídas por este processo (e verificadas de forma análoga à H(AC,BZ) ou H(BZ, AC) são H(CZ,BD), H(DZ,CE), ...

Esta sequência A, B, C, D, E, ... assim construída depende exclusivamente de A, B, Z e é independente da escolha dos pontos auxiliares P e R (pontos que pode deslocar na figura para ver que esta sequência de pontos relacionados harmonicamente com A, B, Z é única, para o procedimento descrito).

Este procedimento leva a um subconjunto da rede de racionalidade R(ABZ). Neste caso entre quaisquer dois termos consecutivos da sequência não há termos relacionados harmonicamente com A, B, Z (à semelhança do que acontece no conjunto dos naturais como subconjunto dos racionais).

Como é óbvio a pontual A', B', C' D',... é perspetiva de centro P com a pontual A, B, C, D,... Como esta é uma rede harmónica também é harmónica a pontual A', B' C', D', ...

Pontual de pontos harmonicamente relacionados

Um ponto P diz-se harmonicamente relacionado com 3 pontos colineares distintos A,B,C, se P puder ser obtido como membro de uma sequência de pontos iniciada com A,B,C definida do seguinte modo: cada ponto após C forma um conjunto harmónico com quaisquer três pontos (e por qualquer ordem) que o antecedam.
Ao conjunto de todos os pontos harmonicamente relacionados com ABC damos o nome de rede harmónica e designa-se por R(ABC) (ou R(BCA) ou R(CAB)...)


[A.A.M.]
Na figura acima, está construída uma pontual satisfazendo as condições de uma rede R(ABC). Incluímos os quadriláteros completos utilizados com indicação das diversas relações harmónicas estabelecidas para obter cada ponto da rede. De certo modo, uma rede harmónica é um conjunto, tão pequeno quanto possível, com um mínimo de 3 pontos colineares que incluirá, para cada terno dos seus elementos, o conjugado harmónico de cada um deles relativamente aos outros dois.
Claro que percebemos que o procedimento parte de 3 pontos de uma pontual, que se podem obter novos pontos indefinidamente e que entre dois pontos da rede se podem obter novos pontos. Por isso, a esta rede se chama também rede de racionalidade. E fica por responder a pergunta sobre se, por este processo recorrente se obtêm todos os pontos da reta (base da pontual). Sim ou não? Depende.

1) Como a projetividade transforma conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos, também transforma qualquer rede harmónica numa rede harmónica.

2) Se uma projetividade deixa invariantes cada um dos três pontos distintos A,B,C de uma pontual, também deixa invariantes cada um dos pontos da rede harmónica R(ABC).

3) Uma reta harmónica fica igualmente bem determinada por quaisquer três dos seus pontos
Será que fica univocamente determinada uma rede harmónica (ou de racionalidade) pelos seus primeiros três pontos?

Exercício Interativo: Polo trilinear de uma reta

A reta p corta os lados do triângulo ABC. Determine o polo trilinear P da reta p no sentido dual da definição e da construção descrita e feita na entrada anterior. ....................... Sugestão:
Tome P'_a=p.BC. E determine P_a: H(BC,P'_aP_a). Depois determine P_b e P_c.
Para pensar:
a) O que acontece se nós estendermos as definições de polo e polares trilineares para quando o ponto P estiver sobre algum lado do triângulo ou for algum dos seus vértices? O que acontece quando a reta p cortar os lados do triângulo em algum vértice ou quando a reta p corta algum dos lados do triângulo num ponto do infinito?
b) Pense na possibilidade de determinar o polo de uma reta no infinito relativamente a um triângulo ABC dado.

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Já apresentámos o problema resolvido em geral mais do que uma vez. Por exemplo, em da polar trilinear ao polo (de 2009) que transcrevemos:
A pedido de um leitor anónimo, apresentamos a resposta à pergunta:
Dada uma recta e um triângulo de que ela é polar trilinear, como se determina o pólo correspondente?



[A.A.M.] reconstrutor de serviço

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Consideramos que a resposta está na entrada Polar trilinear de 9 de Dezembro de 2008. Mas aqui fica tratado o problema posto.

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Na construção dinâmica, que pode seguir por etapas, ao deslizar o cursor ao fundo da janela, parte-se da polar p e para determinar o pólo P respectivo, seguem-se os passos:

1. Determinam-se os pontos de intersecção da recta p com os lados do triângulo ABC - P'_a, P'_b e P'_c.


2. O vértice P_c do triângulo ceviano de ABC que procuramos separa harmonicamente os pontos A, B e P'_c e que é colinear com os pontos C e Q, este último a separar harmonicamente os pontos P'_a, P'_b e P'_c. A determinação de P_c ou de Q faz-se pela construção de um quadrilátero completo de que CQ é diagonal


3. Determinado P_c, imediatamente se determinam P_a e P_b tirando as rectas P'_a P_c e P'_bP_c que intersectam os lados de ABC em P_a e P_b. A recta P'_cP_a passa por P_b e, por isso P_aP_bP_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar p nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.


4. As cevianas AP_a, BP_b e CP_c intersectam-se no pólo P, correspondente à polar trilinear p

Polar trilinear de um ponto

Seja o triângulo ABC e um ponto P que não coincida com qualquer dos seus vértices nem incida em qualquer dos seus lados a=BC, b=AC e c=AB. Tiremos por P as retas PA, PB e PC e chamemos P_a a PA.BC, P_b=PB.AC e P_c=PC.AB
E tomemmos as cevianas do triângulo ABC, AP_a, BP_b e CP_c que incidem em P.
Consideremos agora o triângulo cujos vértices são os pés das cevianas P_aP_bP_c e as interseções P_cP_b.BC=P'_a, P_aP_c.AC=P'_b e P_aP_b.AB=P'_c.
Então:
a) P'_a, P'_b e P'_c são colineares
Como ABC e P_aP_bP_c são perspetivos por P (centro), serão perspetivos por uma reta (eixo) que não pode ser outra senão a reta dos pontos de interseção dos pares de lados correspondentes
b) H(BC, P_aP'_a), H(AC, P_bP'_b) e H(BC,P_cP'_c)
Basta considerar o quadrilátero completo P_bP_cAP para concluir que se verifica H(BC,P_aP'_a). De igual modo se verificarão as outras relações.

Poncelet chamou polar trilinear de P à reta p em que incidem os pontos P'_a, P'_b e P'_c.

Dualmente: dado um triângulo ABC e uma reta p que corte os lados do triângulo sem passar por qualquer dos seus vértices, pode falar-se do polo trilinear P da reta p. Um problema pode ser determiná-lo.

Harmónicos em 2 lados, harmónico no 3º lado de um triângulo

Se PQR é um triângulo, H(AA₁,QR) e H(BB₁,RP) então P e Q são conjugados harmónico relativamente a C=AB₁.BA₁ e C₁=AB.A₁B₁.

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A construção abaixo serve para ilustrar esse resultado. Tomámos A e A₁ sobre RQ tal que H(AA₁,QR) e BB₁ sobre RP tais que H(BB₁,RP) - a hipótese por construção. E podemos constatar a tese sobre a mesma construção. Demonstração:

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O quadrilátero BCB₁C₁ garante que CC₁ interseta AA₁ em Q, conjugado harmónico de R relativamente a A e A₁. E de modo análogo, o quadrilátero CAC₁A₁ garante que CC₁ interseta BB₁ em P, conjugado harmónico de R. Finalmente, o quadrilátero ABA₁B₁ garante-nos que Q sobre AA₁ e P sobre BB₁ são conjugados harmónicos relativamente a C e C₁