Determinar o segundo elemento do par (A,A') em involução de que P e Q são pontos duplos.
4.7.07
Cónica - polar, harmónica, involução
Por um ponto R, exterior a uma elipse dada, tiremos duas tangentes. E tracemos a polar de R - recta passando pelos pontos de tangência. Os pontos de tangência são pontos duplos de uma involução que transforma cada ponto no seu conjugado harmónico.
Estes factos que relacionam a involução com outras propriedades das cónicas já referidas, sugerem exercícios interactivos. Por exemplo: Como determinar pares em involução de que se conhecem apenas os pontos duplos.
Estes factos que relacionam a involução com outras propriedades das cónicas já referidas, sugerem exercícios interactivos. Por exemplo: Como determinar pares em involução de que se conhecem apenas os pontos duplos.
2.7.07
Involução hiperbólica
O conjunto de pares de diâmetros conjugados de uma cónica formam um feixe em involução, cujo vértice é o centro da cónica. Os raios duplos dessa involução, caso existam, são as tangentes à cónica. Como na elipse o centro é interior e todos os diâmetros intersectam a curva, logo, a involução elíptica não tem pontos duplos.
No caso da hipérbole existem duas tangentes - as asssíntotas - à cónica passando pelo centro. Na involução hipérbolica há dois pontos duplos.
Recordamos a referência, em outro artigo, à seguinte propriedade: Os pares de diâmetros conjugados de uma hipérbole são conjugados harmónicos relativamente às assíntotas.
No caso da hipérbole existem duas tangentes - as asssíntotas - à cónica passando pelo centro. Na involução hipérbolica há dois pontos duplos.
Recordamos a referência, em outro artigo, à seguinte propriedade: Os pares de diâmetros conjugados de uma hipérbole são conjugados harmónicos relativamente às assíntotas.
Diâmetros conjugados da elipse e involução
O conjunto de pares de diâmetros conjugados de uma cónica formam um feixe em involução cujo vértice é o centro C da cónica.
Na construção que se segue, os diâmetros conjugados da elipse intersectam uma recta r qualquer (pode fazer variar r, deslocando P) em pares de pontos em involução. Pode deslocar qualquer dos pontos asssinalados por (X), fazendo variar a cónica e os seus diãmetros conjugados).
[A.A.F.]
No caso da elipse não existem elementos duplos (qualquer circunferência de corda AA’ ou BB’, etc contém O no seu interior, logo não é possível traçar por O tangentes a essas circunferências) ; um ponto duplo da involução corresponderia a uma recta dupla no feixe de centro C que teria de ser tangente à conica. A involução elíptica não admite pontos duplos.
Na construção que se segue, os diâmetros conjugados da elipse intersectam uma recta r qualquer (pode fazer variar r, deslocando P) em pares de pontos em involução. Pode deslocar qualquer dos pontos asssinalados por (X), fazendo variar a cónica e os seus diãmetros conjugados).
[A.A.F.]
No caso da elipse não existem elementos duplos (qualquer circunferência de corda AA’ ou BB’, etc contém O no seu interior, logo não é possível traçar por O tangentes a essas circunferências) ; um ponto duplo da involução corresponderia a uma recta dupla no feixe de centro C que teria de ser tangente à conica. A involução elíptica não admite pontos duplos.
Em busca do ponto duplo
Determine os pontos duplos (S e T) da involução definida pelos pares conjugados (A,D) e (B,C).
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