Triângulo equilátero equivalente a um círculo

Para aprender a trabalhar com o ReC - Zirkel und Lineal , fazemos algumas experiências. Pode experimentar as ferramentas do ReC, seguindo os passos do exercício que lhe propomos. E, matematicamente, ficamos à espera que nos escreva sobre a razoabilidade desta construção de triangulatura do círculo :-).

Construção de um triângulo equilátero equivalente a um círculo dado.

Como é que vê as coisas na construção? Todas as informações nos interessam, já que, de computador para computador, se notam diferenças quando nós queremos que no essencial seja o mesmo que aparece em todo os lugares geométricos.
Pode seguir os passos da construção, ou reconstruir a dita desde o princípio, a partir da última ferramenta - seta verde.

E já agora! Será que isto tem algum interesse? Esse é o problema eterno sobre cada uma das coisas em cada intervalo do tempo que passa.

As áreas iguais do círculo e do triângulo

Em Março do ano passado, a propósito das comemorações do dia do  π  , publicámos uma entrada 3,14 - Dia do  π   - uma "rectificação" que abriu uma nesga de discusão sobre os inconstrutíveis e, logo, sobre o que podemos considerar uma construção razoável ou que nos dê uma aproximação razoável. Foi a Marianna quem, então, mais se debruçou sobre a prova da razoabilidade da construção de rectificação proposta, estando as suas reflexões publicadas como anexo do artigo citado acima.
Por outra via, a das aulas e de uma tentativa de visualização dinâmica de confirmação do teorema de Pitágoras pelos alunos do 8º ano, começamos a publicar também algumas propostas de exercícios de construção de figuras equivalentes a outra dada. Destes foram sendo colocados vários. Dirão que, por detrás disto tudo sempre pairou a sombra da "quadratura do círculo" :-).
Finalmente, e muito recentemente, colocámos de novo problemas de construção razoável, numa pequena entrada Figuras equivalentes com várias propostas de trabalho. A saber:
a construção (só razoável?)
de um triângulo equivalente a um círculo dado;
de um triângulo equilátero equivalente a um círculo dado;
de um círculo equivalente a um triângulo dado;
de um círculo equivalente a uma coroa circular dada.

Até hoje, já não é para estranhar!, só a Mariana decidiu pegar no assunto que aparece estranho à maior parte dos estudantes e professores de geometria. Foi com ela e, na presença da omipresente testemunha Aurélio, que tentei discutir o que poderíamos entender por aproximação razoável obtida por via de uma construção. A construção de um triângulo equivalente a um círculo dado, proposta por ela, baseia a sua razoabilidade na razoabilidade da rectificação do dia do  π  : Um círculo de raio -r- é obviamente equivalente a um triângulo de base - 2 π  r - e altura -r-, ou coisa assim.
No caso da Mariana, ela constrói um triângulo de base  π  r e alltura 2r e insiste (e bem) numa justificação visual que recorre aos hexágonos inscrito e circunsrito, chamando a atenção para o facto do comprimento do segmento correspondente a meia circunferência ser a olho ... um bocadinho mais do que metade do hexágono inscrito (precisamente 1 l_c - lado do hexágono circunscrito + 2r - lados do inscrito) e pedindo desculpa, por não poder avançar mais, nestes termos: Porquê não sei, como já não soube acabar a justificação do problema da rectificação de  π  . Acho que não tenho conhecimento para mais.
Aqui fica o estado da reflexão e o desenho (tirado da construção em Cinderella) da Mariana para a primeira proposta.


E ainda hoje, entre outras experiências de vida, espero colocar uma construção-resposta ao segundo problema de tipo completamente diferente e aparentemente independente daquela rectificação (sempre presente), a ver se aparece alguma alma que nos ajude a ver que somos razoáveis.

De Alcácer, também

Nos últimos tempos, pode parecer que a acitvidade deste lugar geométrico abrandou. Não é assim. Temos várias propostas relativas ao pentágono e construção (razoável) de figuras equivalentes a círculos e nenhuma relativa às cordas, só para falar dos mais recentes. É claro que temos andado geometricamente ocupados a tornar possível o Combate Geométrico em português e a experimentar a participação de alunos da Escola José Estêvão.

Transcrevemos em parte uma mensagem de Paulo Correia, professor de Matemática em Alcácer do Sal e responsável da página Matemática? Absolutamente!, que recomendamos. A sua proposta de construção (construção maravilhosa e que não conhecíamos) confunde-se (nos fundamentos) com a proposta de J. Vieira publicada.

Ora viva...
Sou um leitor atento do blog, para o qual ñão tinha ainda contribuido por falta de pertinência.
Sobre a construção de um pentágono, dado o lado, imaginei uma construção que não encontrei no vosso blog (nem na internet) e que julgo que possa trazer valor acrescentado, razão pela qual a decidi enviar
(...)
A ideia principal, é a de que num pentagrama inscrito no pentágono, os segmentos do pentagrama estão para os lados do pentágono na proporção de ouro (phi). Assim:
1º - sobre o lado dado, contrói-se um rectângulo de ouro
2º - do rectângulo, cria-se um triângulo de ouro - intersectando as circuferências de centro nos extremos do segmento dado e raio igual ao lado maior do rectângulo.
3º - Já está... o ponto encontrado é o 3º vértice do pentágono.
4º - Com a intersecção de umas circunferências encontram-se os dois vértices em falta.

Espero que aprecie a ideia - eu achei-lhe uma certa piada. Aguardo o seu comentário.
(...)

Obrigado Paulo.

Experiências com trapézios

Em Agosto de 2005, no artigo Voar no trapézio dava-se conta de uma construção solução para o desafio - Construir um trapézio de que se conhecem as duas bases e as duas diagonais - discutindo anteriores exercícios também publicados. Recentemente, com as experiências feitas para aprender a fazer exercícios interactivos com o Régua e Compasso - Zirkel und Lineal, voltámos a esse exercício e temos de reconhecer que a solução então encontrada é extremamente complicada. Garantimos que há soluções mais elegantes e propomos que procure solução mais simples que a da figura (que aqui publicamos para avivar a memória e lembrar a nossa deselegância). Clicando sobre essa ilustração tem acesso ao exercício interactivo em ReC onde pode tentar a sua solução.

Construção de um trapézio (dadas as bases e diagonais).

Dsiponibilizamos também o outro exercício interactivo que realizámos com o ReC, em que pode tentar construir o trapézio de que são dados os comprimentos dos seus quatro lados.

Pentágono a compasso

A 8 de Janeiro, há quase um mês, a Mariana enviou a construção do pentágono regular só com compasso (a divisão de uma circunferência em 5 arcos iguais). Mais ninguém apareceu com a construção e, por isso, aqui fica a ilustração da construção Mariana.

Escreveu ela:
Em relação ao pentágono mantive as letras da figura publicada e acho que não me vão pedir os passos um a um, ou vão? (olhem bem para a figura primeiro)

Mas para já é assim:

-a azul - a construção do simétrico de P e os restantes vértices do hexágono
- a amarelo - construção do vértice A do pentágono (bissecção do arco PP')
-a verde alface - a construção de M (ponto médio)
- a laranja -a construção de Q
- a verde escuro - os restantes vértices do pentágono
e, vejam bem, não é uma obra de arte? Querem os passos de cada etapa?

Bebemos as cores, embebecidos. Pois.
E depois?