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13.3.05

3,14 - Dia do  π   - uma "rectificação"

Para comemorar o dia do π nada melhor do que tentar arranjar um segmento π. Não acham?




Com régua e compasso, é impossível determinar um segmento de recta de comprimento exactamente igual a uma dada circunferência*. Porquê?
Mas pode fazer-se uma construção de rectificação aproximada de uma circunferência qualquer. Apresentamos uma proposta de Benjamim Carvalho**, professor arquitecto brasileiro. Assim:



Traçados dois diâmetros perpendiculares AC e BD da circunferência de centro em O, tomemos a intersecção - P - da circunferência de centro em D e raio |DO| com a circunferência dada inicialmente.
A recta OP intersecta em P' a paralela a DB tirada por C. Sobre esta determinemos B' tal que |P'B'|=3|OP|.
|AB'| tem comprimento igual a metade do perímetro da circunferência dada, isto é |AB'|e π|OA|são aproximadamente iguais. (Se |AO|=1, |AB'|=π)



Se clicar sobre a ilustração tem acesso a uma construção dinâmica em que pode movimentar pontos, de modo a modificar os raios e confirmar que a construção aguenta aproximações sempre razoáveis.


Porque é que é razoável esta construção? Isso é o que andei a tentar perceber.


Em meu entender, a Mariana Sacchetti respondeu às minhas dúvidas. A razoabilidade do resultado da construção, cuja aproximação podia ser verificada por cálculos, não era a minha dúvida essencial e existencial. Antes era, porquê aquela construção? Que podia ter levado um geómetra a dar aqueles passos? Porquê assim?

Com autorização da Mariana, aqui ficam as suas    deambulações em volta do π    (em .pdf). Vale a pena duvidar e deambular com ela. Muito obrigado, Mariana. E podemos continuar a discutir. Há quem já me tenha perguntado: Mas afinal como é que ela respondeu a essas tuas dúvidas? E eu respondo quando me perguntam.

[O melhor do mundo são as perguntas, as cerejas, ... as crianças que entram na escola de dedo na boca para sairem adolescentes de dedo no ar].

Não esquecemos o apoio do Eduardo Veloso que se tirou dos seus afazeres e nos apoiou com a construção em GSP da ciclóide que não conseguíamos dar à Mariana. Obrigado, Veloso. Se ele autorizar, podemos publicá-la um dia destes ou estabelecer uma ligação para algum lugar onde ela esteja. Os problemas levantados por este artigo propiciaram muitas discussões também sobre as diferenças, vantagens e desvantagens dos Geometer's SketchPad e Cinderella, como programas para a geometria dinâmica.




* Sobre números contrutíveis, recomendo a leitura de Franco de Oliveira, Transformações Geométricas.Universidade Aberta.Lisboa: 1997 - página 122 e seguintes.
**[Carvalho, Benjamim. Desenho Geométrico. Ao Livro Técnico, Ltda, R.J.. 1959], emprestado por David Torres - professor, pintor, médico, reformado e tudo.

3 Commentários:

Anonymous Anónimo escreveu...

Trabalhar sobre este problema tem-me inquietado bastante.Tem havido momentos de euforia em que penso que tudo se vai tornar claro, para de repente mergulhar em profundas dúvidas.
Pensava que conhecia o Pi. Agora sei que possivelmente nunca o compreenderei.
Neste momento em que resolvi organizar o meu trabalho, não sei ainda responder à questão "Porque é aceitável esta construção?", mas também não consigo abandonar nada do que fui descobrindo.
A minha cabeça é um emaranhado de fios soltos que não consigo ligar mas que não quero largar.
Mariana

9:26 da tarde  
Anonymous João Caramalho escreveu...

Não será uma explicação muito elegante, mas:
a primeira questão é "identificar" P'C; ora isso não é difícil: o ângulo COP' vale claramente pi/6 ( = âng COD - âng POD), portanto |P'C| = |CO|.sqr(3)/3 = r.sqr(3)/3 (chamando r ao raio da circunferência);
a seguir venha o teorema de Pitágoras: |AB'|^2 = |AC|^2 + |CB'|^2 =
4.r^2 + (|P'B'| - |P'C|)^2 = 4.r^2 + 9|OP|^2 - 6|OP|.|P'C| + |P'C|^2 = 13.r^2 - 2.sqr(3).r^2 + r^2.1/3 = (40/3 - 2.sqr(3)).r^2
Ora, segundo a calculadora no meu computador, a raiz quadrada de 40/3 - 2.sqr(3) é aproximadamente 3,141533339. É uma aproximação razoável...
Abraços

8:38 da tarde  
Blogger jrrbc escreveu...

Olá

fiz os comprimentos das circunferências de raios 1 e 2

http://www.prof2000.pt/users/jrrbc/

comprimento_circunferencia.html

4:58 da tarde  

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