As áreas iguais do círculo e do triângulo

Em Março do ano passado, a propósito das comemorações do dia do  π  , publicámos uma entrada 3,14 - Dia do  π   - uma "rectificação" que abriu uma nesga de discusão sobre os inconstrutíveis e, logo, sobre o que podemos considerar uma construção razoável ou que nos dê uma aproximação razoável. Foi a Marianna quem, então, mais se debruçou sobre a prova da razoabilidade da construção de rectificação proposta, estando as suas reflexões publicadas como anexo do artigo citado acima.
Por outra via, a das aulas e de uma tentativa de visualização dinâmica de confirmação do teorema de Pitágoras pelos alunos do 8º ano, começamos a publicar também algumas propostas de exercícios de construção de figuras equivalentes a outra dada. Destes foram sendo colocados vários. Dirão que, por detrás disto tudo sempre pairou a sombra da "quadratura do círculo" :-).
Finalmente, e muito recentemente, colocámos de novo problemas de construção razoável, numa pequena entrada Figuras equivalentes com várias propostas de trabalho. A saber:
a construção (só razoável?)
de um triângulo equivalente a um círculo dado;
de um triângulo equilátero equivalente a um círculo dado;
de um círculo equivalente a um triângulo dado;
de um círculo equivalente a uma coroa circular dada.

Até hoje, já não é para estranhar!, só a Mariana decidiu pegar no assunto que aparece estranho à maior parte dos estudantes e professores de geometria. Foi com ela e, na presença da omipresente testemunha Aurélio, que tentei discutir o que poderíamos entender por aproximação razoável obtida por via de uma construção. A construção de um triângulo equivalente a um círculo dado, proposta por ela, baseia a sua razoabilidade na razoabilidade da rectificação do dia do  π  : Um círculo de raio -r- é obviamente equivalente a um triângulo de base - 2 π  r - e altura -r-, ou coisa assim.
No caso da Mariana, ela constrói um triângulo de base  π  r e alltura 2r e insiste (e bem) numa justificação visual que recorre aos hexágonos inscrito e circunsrito, chamando a atenção para o facto do comprimento do segmento correspondente a meia circunferência ser a olho ... um bocadinho mais do que metade do hexágono inscrito (precisamente 1 l_c - lado do hexágono circunscrito + 2r - lados do inscrito) e pedindo desculpa, por não poder avançar mais, nestes termos: Porquê não sei, como já não soube acabar a justificação do problema da rectificação de  π  . Acho que não tenho conhecimento para mais.
Aqui fica o estado da reflexão e o desenho (tirado da construção em Cinderella) da Mariana para a primeira proposta.


E ainda hoje, entre outras experiências de vida, espero colocar uma construção-resposta ao segundo problema de tipo completamente diferente e aparentemente independente daquela rectificação (sempre presente), a ver se aparece alguma alma que nos ajude a ver que somos razoáveis.