Teorema de Feuerbach (nota sobre a circunferência de 9 pontos)

A circunferência de nove pontos (ou de Feuerbach) foi referida neste "lugar geométrico" muitas vezes. Antes da demonstração propriamente dita do chamado Teorema de Feuerbach (usando a inversão geométrica), estudamos a existência e unicidade (?) de tal circunferência para cada trângulo.

Circunferência de 9 pontos, Euler ou Feuerbach Para um triângulo qualquer, de vértices $A_i$ tomam-se os seguintes pontos: $M_i$,médios dos lados; $H_i$, pés das alturas; $E_i$, pontos médios dos segmentos das alturas entre o ortocentro e cada vértice. Prova-se que estes 9 pontos estão sobre uma circunferência de raio igual a metade do circunraio e centro no ponto médio entre circuncentro e ortocentro. A.Martins, 10 outubro 2013, Criado com GeoGebra

Demonstração.:

1. • Porque o triângulo $ A_2 H_3 S_3 $ é retângulo em $H_3$ e $A_2 H_1 A_1$ é retângulo em $H_1$, são iguais os ângulos $\angle A_2 A_3 S_3$ e $\angle A_2 A_1 S_1$ por serem complementares de $A_1A_2A_3$. E, por estarem inscritos no mesmo arco $A_2 S_1$, são iguais os ângulos $\angle A_1 A_2 S_1$ e $\angle A_2 A_3 S_1$ : $$\angle A_2 A_3 S_3 =\angle A_2 A_1 S_1= \angle A_2 A_3 S_1$$
   • Assim, são congruentes os triângulos retângulos em $H_1$ $H H_1 A_3$ e $S_1 H_1 A_3$ e, em consequência, $H_1$ é o ponto médio de $H S_1$
   • Do mesmo modo, se pode concluir que $H_2$ é o ponto médio de $H S_2$ e $H_3$ é o ponto médio de $H S_3$
   ´
2. • Consideremos agora o circundiâmetro $A_1 T_1$: $T_1 A_3 \parallel A_2 H $ porque são ambas perpendiculares a $A_1 A_3$ e $A_3 H \parallel T_1 A_2$ porque são ambas perpendiculares a $A_1 A_2$.
   • Por isso, $H A_2 T_1 A_3$ é um paralelogramo cujas diagonais $HT_1$ e $A_2 A_3$ se bissetam. E o ponto $M_1$, médio de $A_ 2 A_3$, é também o ponto médio de $H T_1$
   • Do mesmo modo, se concluiria que $M_2$, médio de $A_ 1 A_3$, é também o ponto médio de $H T_2$ e que $M_3$, médio de $A_ 1 A_2$, é também o ponto médio de $H T_1$
3. • A homotetia de centro $H$ e razão $1 \over 2$ transforma a circunferência azul na circunferência vermelha, já que a cada um dos 3 pontos $S_i$ corresponde um dos pontos $H_i$ (por 1.) e também a cada um dos pontos $T_i$ corresponde um dos pontos $M_i$ (por 2.)
   • Cada vértice $A_i$ do triãngulo e da circunferência azul circunscrita, pela mesma homotetia, tem correspondente $E_i$ incidente na circunferência vermelha e em $H A_i$. Porque a razão da homotetia é $1 \over 2$, cada $E_i$ é ponto médio de $H A_i$
   • Para concluir: pela mesma homotetia, o centro $O$ é transformado num ponto $N$ (centro da homotética vermelha) incidente em $HO$ e seu ponto médio.

Ficou assim provado que para um triângulo qualquer, há uma circunferência que passa pelos 3 pontos médios dos lados, pelos 3 pés das alturas, e pelos 3 pontos médios dos segmentos das alturas entre o ortocentro e os respetivos vértices.
Esta circunferência é nomeada por circunferência dos 9 pontos (pelos anglófonos :-), de Euler (pelos francófonos :-) ou de Feuerbach (pelos germanófonos :-)

Determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.

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Levando em conta as duas últimas entradas, vamos determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.
Na nossa construção, partimos de duas circunferências $(O)$ e $(P)$ tangentes em $T$. Tomamos o eixo radical (a negro) das duas circunferências que, neste caso, é a perpendicular a $OP$ tirada por $T$ que é a única reta tangente às duas circunferências no ponto $T$. E sobre o eixo radical, tomamos um ponto $M$ qualquer. E determinamos, como feito na entrada de 7 de Outubro as circunferências que passam por $M$ e são tangentes às circunferências $(O)$ e $(P)$ dadas.
Como se vê na figura abaixo, essas duas circunferências, determinadas com recurso à inversão $I(T, TM^2)$, em comum têm dois pontos, para além de $M$, $M'$, variando este quando $M$ se desloca sobre o eixo radical.
Vamos determinar o lugar geométrico dos pontos $M'$ quando $M$ percorre o eixo radical.



As duas circunferências que passam por $M$ e são tangentes às circunferências $(O)$ e $(P)$: uma delas (verde) é tangente a $(O)$ em $A$ e tangente a $P$ em $A'$; a outra (azul topázio) é tangente a $(O)$ em $B$ e a $(P)$ em $B'$. Referindo-nos aos resultados da entrada de 7 de Outubro p.p. sobre Inversão e Homotetia, sabemos que $AA'$ e $BB'$ passam pelo centro comum de homotetias várias definidas por pares de circunferências homotéticas tangentes duas a duas: uma (direta) que transforma $(O)$ em $(P)$ e outras, as que transformam $(P)$ na circunferência verde (tangente), ou $(O)$ na circunferência azul topázio (tangente)...
Como vimos então $A$ e $A'$ são tais que $$HA \times HA'= HT^2$$ Pela mesma razão, sendo $M'$ o segundo ponto de interseção de $HM$ com a circunferência verde (ou com a azul topázio), $M$ e $M'$ são tais que $$HM \times HM' = HT^2$$ Assim, uma circunferência que passe por $M$ e $M'$ e seja tangente a uma das $(O)$ ou $(P)$ é tangente à outra. $M'$ é o segundo ponto de interseção das circunferências que passam por $M$ e são tangentes a $(O)$ e a $(P)$.
E de $$HM \times HM' = HT^2$$ também se retira que, pela inversão $I(H, HT^2)$, aos pontos $M$ do eixo radical correspondem os pontos $M'$, ou seja, os pontos $M'$ encontram-se sobre a circunferência inversa do eixo radical das circunferências $(O)$ e $(P)$, que tem como diâmetro $TH$. $\hspace{1cm} \square$

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Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Inversão e Homotetia.

Na entrada Conservação dos ângulos por inversão (2) ilustrámos e demonstrámos o seguinte resultado:
A inversa por $I(O,r^2)$ de uma circunferência que não passa por $O$ é uma circunferência homotética da original. O ângulo que a tangente num ponto qualquer $P$ desta circunferência faz com $OP$ é congruente com o ângulo que $OP$ faz com a tangente à inversa em $P'$ .
Dito de outro modo, as tangente em $P$ e em $P'$ são imagens uma da outra por reflexão de eixo perpendicular a $OP$ no ponto médio de $PP'$

No caso da construção que apresentamos a seguir, retomamos esse resultado partindo de duas circunferências tangentes num ponto $T$. Temos uma homotetia de centro $H$ que transforma a circunferência de centro $O$ na circunferência de centro $P$ e a circunferência com centro em $H$ e raio $HT$ define uma inversão que faz corresponder à circunferência de centro $P$ a circunferência de centro $O$.


A reta, tirada por H, que corta cada uma das circunferências em dois pontos, define pares de pontos $(D, A)$ e $(C, B)$ correspondentes pela homotetia e pares de pontos $(C, A)$ e $(D, B)$ correspondentes pela inversão $I(H, HT^2)$.
$$\frac{HA}{HD} = \frac{HB}{HC} = \; \mbox{razão da homotetia de centro $H$ da circunferência $(P)$ para $O$}$$ $$HA \times HC = HB \times HD = HT^2 = \;\mbox{potência da inversão}$$ para além de $$HC \times HD = HR^2 = \; \mbox{potência de $H$ relativamente à circunferência de centro em $P$}$$ A razão de homotetia que transforma a circunferêcnia de centro $P$ na circunferência de centro $O$ é afinal a razão das potências de inversão e do ponto H relativamente à circunferência de centro $P$, já que $$HC=\frac{HT^2}{HA} \wedge HC=\frac{HR^2}{HD}$$ e, em consequência, $$\frac{HT^2}{HA}=\frac{HR^2}{HD}$$ ou seja $$ \frac{HA}{HD}= \frac{HT^2}{HR^2} \hspace{1cm}\square$$
Os triângulos isósceles $BOA$ e $CPD$ são semelhantes, sendo $OB \parallel PC$ e $OA \parallel PD$.
$A$ e $C$ são inversos e correspondentes por reflexão relativamente á mediatriz de $AC$. Também $B$ e $D$ são inversos e correspondentes por reflexão relativamente á mediatriz de $BD$

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Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Determinar circunferências tangentes a duas outras tangentes entre si - um caso simples.

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Nesta entrada, estudamos uma construção, com recurso à inversão, de circunferências tangentes a duas circunferências dadas que são tangentes entre si.
Nesta entrada, estudamos uma construção, com recurso à inversão, de circunferências tangentes a duas circunferências dadas que são tangentes entre si.
Na nossa construção, partimos de duas circunferências (O) e (P) tangentes em T. Tomamos o eixo radical Δ (g) das duas circunferências que, neste caso, é a perpendicular a OP tirada por T que é a única reta tangente às duas circunferências no ponto T. E sobre Δ, tomamos um ponto M qualquer. Vamos determinar as circunferências que passam por M e são tangentes às circunferências (O) e (P) dadas.



Se tomarmos uma inversão - I(T, TM²) - M é inverso de si mesmo por ser um ponto da circunferência de inversão e Δ é inversa de si mesma por passar pelo centro da inversão. Δ terá dois pontos que são auto-inversos, para além de M, o outro extremo do diâmetro da circunferência de inversão sobre Δ. E

• por passar pelo centro de inversão T, a circunferência (O) tem por inversa uma reta que passa pelos pontos de interseção dela com a circunferência de inversão quando se intersetam
• pelas mesmas razões, a circunferência (P) terá por inversa uma reta (para cada elemento e seu inverso, a mesma cor).

Como a inversão preserva a tangência, bastará determinar as circunferências que passam por M e são tangentes às retas inversas de (O) e (P). Os centros dessas circunferências serão equidistantes dessas retas e de M. Há obviamente duas circunferências (azul topázio e verde).
Por I(T, TM²) a estas circunferências correspondem duas circunferências passando por M e cada uma delas tangente às circunferências dadas, uma tangente exteriormente e outra tangente interiormente

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Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Arbelos: Teorema de Pappus - demonstração usando inversão

Na entrada anterior, referimos um Teorema de Pappus relativo à chamada cadeia de Pappus, sequência de circunferências tangentes a duas circunferências dadas e cada uma delas tangente à que a precede e à que a sucede.
Na nossa construção, partimos de 3 pontos colineares $X, Y, Z$, e das circunferências de diâmetros $XZ$, $XY$ e $YZ$. A circunferência de centro $O_0$ é a circunferência de diâmetro $YZ$, seguida das circunferências de centros $O_1, O_2, O_3, \ldots O_n \ldots \; \;$ da cadeia.
O enunciado do Teorema de Pappus pode enunciar-se assim:
Sejam $X$, $Y$ e $Z$ três pontos colineares tais que $Y$ está entre $X$ e $Z$ e sejam as circunferências (na figura a violeta, amarelo torrado e azul topázio) de diâmetros $XZ$, $XY$, $YZ$. Os círculos $c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n \ldots \;\;$ todos tangentes às semicircunferências violeta e amarelo torrado, com $c_1$ tangente ainda à semicircunferência azul topázio $c_0$ e à circunferência $c_2$; $c_3$ tangente a $c_2$ e $c_4$, etc, ... $c_n$ tangente a $c_{n-1}$ e a $c_{n+1}$. Se designarmos por $r_n$ o raio de $c_n$ e por $h_n$ a distância de $O_n$ a $XZ$ , então
$$h_n=2nr_n$$ Na figura destacámos a negro $c_2$ para ilustrar este resultado para o qual $h_2= 2\times 2 \times r_2$.

fotografia de construção *.cdy a ser substituída por construção interactiva *.ggb, logo que possível
A demonstração, com recurso à inversão, é feita com toda a generalidade.

1. Consideremos a inversão relativa à circunferência de centro $X$ e raio $t_n$ em que $t_n$ é o comprimento da tangente a $c_n$ tirada por $X$ (no caso da nossa ilustração: circunferência de centro $X$ e raio $t_2$ em que $t_2 =XT_2$ sendo $T_2$ o ponto de tangência da tangente a $c_2$ tirada por $X$ ).
2. Fazemos isso, porque $XT_n$ é perpendicular a $O_nT_n$, sendo $XT_n$ tangente a $c_n$ e $O_nT_n$ tangente à circunferência de inversão e, por isso, $c_n$ ser ortogonal à circunferência de inversão. As circunferências ortogonais à circunferência de inversão são inversas de si mesmas.
   Pela inversão $I(X, t_n ^2)$ a inversa de $c_n$ é $c_n$.
3. As inversas das circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ são retas, já que elas passam por $X$, centro da inversão. Estas retas ficam definida pelos pontos de interseção dessas circunferências com a circunferência de inversão.
4. A inversa da circunferência de centro $O_0$ (diâmetro $YZ$) é uma circunferência tangente às duas retas, determinadas como inversas das circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ de centro $K_n$ colinear com $X$, $Y$, $Z$ e $O_0$(no caso da nossa ilustração, trata-se da circunferência de centro $K_2$ e raio=$O_2T_2$). Tanto $O_n$ como $K_n$ estão sobre perpendicular equidistante das retas correspondentes, pela inversão, às circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ e por isso os seus raios são iguais a $O_nT_n$.
5. O raciocínio feito para a inversa de $c_0$ serve para as circunferências $c_1$, $c_2$, $c_{n-1}$ que são tangentes às duas circunferências originais, tendo inversas $c'_i, \;\; 0\leq i\leq n$ tangentes a essas retas obtidas como inversas das originais. Todas essas inversas têm o mesmo raio $O_nT_n$.
6. Para além de serem tangentes a essas retas inversas cada uma delas $c'_i$ deve ser tangente a $c_{i-1}$ e a $c_{i+1}$. No caso da nossa ilustração $c'_1$ é tangente a $c'_0$ e a $c'_2=c_2$ e, por isso, $h_2$ ou $O_2K_2$ é igual à soma de um raio de $c'_0$ + 2 raios de $c'_1$ + 1 raio de $c'_2$, no total $4r_2$
7. Para $d_n$, teremos 1 $r_n$ para $c'0$ e outro para $c'_n = c_n$ para além de $2(n-1) r_n$ correspondentes aos diâmetros de $n-1$ circunferências iguais a $c_n$, $c'_i, \; \; 1\leq i\leq n-1$: $2+2(n-1).r_n= 2nr_n=d_n \hspace{1cm} \square$

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Construir uma cadeia de Pappus usando uma inversão

Antes da demonstração do teorema de Pappus, sobre uma propriedade da cadeia de Pappus (arbelos, faca de sapateiro), publicamos uma construção da cadeia de Pappus, recorrendo à inversão, proposta por Mariana Sacchetti.
Na nossa construção, partimos de um segmento $XZ$, a ser percorrido por um ponto $Y$, circunferências de diâmetros $XZ$, $XY$ e $XZ$. Depois determinamos, com a ajuda de uma inversão, as circunferências da cadeia, tangentes às referidas de diâmetros $XZ$ e $XY$ e cada uma delas tangente ainda a duas da cadeia.

Para construir a cadeia, Mariana propôe uma inversão relativa a uma circunferência com centro em $X$ e raio $XZ$.
Por essa inversão, $I(X,XZ^2)$, as inversas das circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ que passam pelo centro $X$ de inversão, são retas. A inversa da circunferência de diâmetro $XZ$ tem o ponto $Z$ sobre a circunferência de inversão e, por isso, passa por $Z$.
Assim, as circunferências da cadeia têm inversas tangentes às inversas das cirucnferências de partida. Como cada uma delas temm ainda de ser tangente a duas outras da cadeira, as suas inveersas empilham-se entre as retas inversas das circunferências de partida, cada uma tangente a essas retas e tangentes às vizinhas, como bem ilustra a construção.
As circunferências da cadeia são obtidas por inversão, $I(X, XZ^2)$, aplicada às circunferências da pilha sequencial entre retas.

Determinar a envolvente de uma família de circuncírculos com recurso à inversão

Nesta entrada, mostramos como a utilização da inversão nos permite determinar um lugar geométrico. A ilustração é muito dinâmica e podia ter-se ficado pela observação dos traçados ou pela apresentação do lugar geométrico que o Cinderella (ou outro programa de geometria dinâmica nos fornece). Mas o recurso à inversão é inestimável para compreender melhor e para desvendar procedimentos de construção e demonstração.
Enunciemos:

Os lados azuis de um ângulo dado de vértice $O$ fixo, em torno do qual rodam, são cortados por uma reta azul em $A$ e $B$. Para cada posição dp ângulo $AÔB$, há um triângulo e a respetiva circunferência circunscrita definida por $A,O, B$. Qual será a envolvente da infinidade das circunferências $OAB$ obtidas quando o ângulo roda em torno do seu vértice $O$?

Na nossa construção, partimos de um ângulo de amplitude fixa, vértice $O$ e lados azuis que cortam a reta $r$ (outro azul) em $A$ e $B$.

em vez da construção *.cdy uma ilustração estática espera ser substituída por uma nova construção interactiva talvez*.ggb
Acompanhe a explicação dos passos dados com a figura original não animada. Claro que pode mover a reta $r$, rodar o ângulo (há um ponto verde para isso). E pode animar a figura usando os botões de animação ao fundo à esquerda.


Para cada reta $r$ e cada posição do ângulo de duas retas (amplitude $\alpha$ ou $\pi-\alpha$) há um triângulo único $OAB$ e logo uma única circunferência circunscrita desenhada a cinza na figura. Quando o ângulo roda em torno de $O$, $A$ e $B$ percorrem a reta $r$ e criando desse modo uma infinidade de circunferências circunscritas. Sera que podemos determinar a envolvente dessa infinidade de circuncírculos?

1. A inversão relativamente a uma circunferência de centro $O$ e raio $OH$, $I(O, OH^2)$, é a ajuda que precisamos para passarmos do circuncírculo $OAB$ para uma reta a passar pelos pontos de interseção do círculo de inversão a vermelho como o circuncírculo. O circuncírculo passa pelo centro de inversão (e a sua imagem é uma reta), passa por $A$ e $B$ (e a sua inversa passa por $A'$ e $B'$.
2. A inversa da reta $r=AB$ que passa por $H$, ponto da circunferência de inversão, é uma circunferência que passa pelo centro $O$ de inversão, por $H=H'$, por $A'$ e por $B'$. O seu centro é o ponto médio de $OH$ Lembremos que, para cada reta $r$, $OH$ é independente da rotação do ângulo em torno de $O$, como o é a circunferência de centro $O$ e raio $OH$.
3. As cordas $A'B'$ da circunferência de centro $O$ e raio $OH$ são iguais por corresponderem a ângulos ao centro e arcos iguais correspondentes ao nosso ângulo $O$ inscrito na circunferência inversa de $r$. Os pontos médios destas cordas na circunferência de diâmetro $AH$ são pontos de uma circunferência concêntrica, desenhada na figura, que é a envolvente destas cordas $A'B'$.
4. Esta circunferência que tem centro no ponto médio de $OH$ e toca a corda a $A'B'$ é a envolvente da inversa do circuncírculo. Assim, a correspondente desta, pela mesma inversão $I(O, OH^2)$, tocará o circuncírculo nos correspondentes aos pontos médios das cordas $A'B'$. E sabemos que a inversa de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão é uma circunferência. Está provado que a envolvente dos circuncírculos é uma circunferência. Que circunferência? Quanto mede o seu raio? Onde está o seu centro?
5. Claro que o centro da envolvente dos circuncírculos estará sobre a reta $OH$. Para o resto, bastará considerar uma tangente à circunferência envolvente de $A'B'$, tirada por $O$, centro de inversão. Chamemos $T$ ao ponto de tangência. Pela inversão $I(O, OH^2)$, a $T$ corresponderá um ponto $T'$ de tangência da circunferência envolvente dos circuncírculos. E $OT \times OT' = OH^2$.
6. $OT$ corta a circunferência inversa de $r$ numa posição de $A'$, que designamos por $P'$, correspondente a uma posição $A$ sobre a reta $r$, que designamos por $P$. Sabemos, por isso, que $OP'= 2.OT$. $$OH^2=OP\times OP' = OP \times 2.OT = OT\times OT'$$ de onde se conclui que $$OT'=2\times OP$$. Podemos assim determinar sobre a reta que passa por $O, T, P´, P$ o ponto $T'$ de tangência da tangente tirada por $O$ à inversa da envolvente de $A'B'$. O centro desta circunferência, envolvente dos circuncírculos, está na interseção da reta $OH$ com a perpendicular a $OT$ tirada por $T'$.
   Ficou assim determinada a envolvente aos circuncírculos $OAB$. $\hspace{1cm} \square$

Para confirmar este resultado, clique no botão da animação em baixo à esquerda.

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Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie Vuibert. Paris:1946
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

A inversão na demonstração de um segundo Teorema de Ptolomeu

O produto das diagonais de um quadrilátero convexo é no máximo igual à soma dos produtos dos seus pares de lados opostos

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Nesta entrada apresentamos uma ilustração e demonstração do Teorema de Ptolomeu cujo enunciado é:

De um quadrilátero convexo $ABCD$ inscrito numa circunferência, o produto das diagonais $AC \times BD$ é igual á soma dos produtos dos dois pares de lados opostos $AB\times CD + BC \times AD$

Por diversas vezes foi citado e utilizado o Teorema de Ptolomeu neste "lugar geométrico". Nesta entrada, tratamos da sua demonstração recorrendo à inversão.
Na nossa construção, partimos de uma circunferência (a azul) e o quadrilátero convexo $ABCD$ (a negro) nela inscrito.

1. Queremos demonstrar que, para o quadrilátero convexo $ABCD$ inscrito, se verifica que $$AB\times CD +BC\times AD = AC \times BD .$$ Para isso tomamos uma circunferência de inversão com centro num dos vértices do quadrilátero. No caso da nossa construção, tomamos $A$ para centro da inversão e uma circunferência (a vermelho) de raio unitário, por conveniência de escrita ( $r=r^2 = 1$) sem perder generalidade.
   A inversão de centro $A$ e raio $1$ é designada por $I(A,1)$. Por esta inversão, o correspondente de $B$ é um ponto $B'$ tal que $AB\times AB' =1$. Do mesmo modo, $AC \times AC'=1$ e $AD \times AD'=1$.
   Por $I(A,1)$, a circunferência azul que contém o centro da inversão tem como correspondente uma reta (a azul na figura), sobre a qual estão $B', C', D'$. $$B'C' + C'D' = B'D'$$ Em entrada de 26 de Agosto p.p., mostrámos que, para uma inversão $I(O,r^2)$ que transforma $P$ em $P'$ e $Q$ em $Q'$. $$P'Q' = PQ \frac{r^2}{OP \times OQ}$$. No caso de $I(A, 1)$ $$B'D' = \frac{BD}{AB \times AD} , \hspace{.5cm} B'C' = \frac{BC}{AB \times AC} , \hspace{.5cm} C'D' = \frac{CD}{AC \times AD}$$ $$B'C' + C'D' = B'D' \Longleftrightarrow \frac{BD}{AB \times AD} = \frac{BC}{AB \times AC} + \frac{CD}{AC \times AD}$$ e, em conclusão,, $$ BD \times AC = BC\times AD + CD \times AB $$ como queríamos. $\hspace{.5cm} \square$
2. Com esta demonstração, recorrendo à inversão, podemos generalizar este resultado de Ptolomeu imediatamente. Assim:
   Se o polígono convexo $ABCD$ não estiver inscrito num círculo, i. e., se os pontos $A,B,C,D$ não forem concíclicos, pela inversão $I(A, 1)$, os pontos $B', C', D'$ não são colineares. Pela desigualdade triangular, $B'D' < B'C'+ C'D'$ e, em consequência, $$AC \times BD < AB\times CD + BC \times AD$$ Podemos assim afirmar que , em geral,
   o produto das diagonais de um quadrilátero convexo é no máximo igual à soma dos produtos dos pares de lados opostos.

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Dois círculos inversos um do outro podem ser invertidos em dois círculos geometricamente iguais.

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Circunferências ortogonais a uma de que se conhece o diâmetro

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A importância da inversão para a resolução de problemas geométricos: um belo exemplo.

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Três circunferências podem ser invertidas em circunferências de centros colineares

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Duas circunferências não concorrentes podem inverter-se em circunferências concêntricas

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A inversão preserva a razão dupla de quatro pontos (3)

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A inversão preserva a razão dupla de quatro pontos (2)

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A inversão preserva a razão dupla de quatro pontos (1)

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Razão dupla de 4 pontos concíclicos (apoio de memória)

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Relação entre PQ e P'Q', sendo P' inverso de P e Q' inverso de Q

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Dois inversos relativamente a uma inversão de centro O, por uma inversão de centro P são transformados em inversos por uma inversão relativamente à inversa da circunferência de centro O

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Circunferências tangentes invertem-se em circunferências tangentes. Circunferências ortogonais invertem-se em circunferências ortogonais

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Conservação dos ângulos por inversão (ou reflexão) (3)

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Conservação de ângulos por inversão (2)

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Conservação de ângulos por inversão (1)

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A inversa de uma circunferência de centro C que passa pelo centro O de inversão interseta OC no ponto médio de OC'

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Enunciado:
A inversa de uma circunferência de centro $C$ que contém o ponto de inversão $O$ interseta a reta $OC$ no ponto médio de $OC'$, sendo $C'$ o inverso de $C$.

Já sabemos que uma circunferência que passa por $O$, centro de inversão, tem por imagem uma reta perpendicular a $OC$.

Apresentamos uma construção dinâmica adequada à verificação em causa
Pode deslocar os centros $C$ e $O$ ou as circunferências

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Demonstremos.
Seja $r$ o raio da circunferência de inversão $I(O, r)$ e seja $D$ o ponto cujo inverso $D'$ é $B$, que é um ponto da circunferência de centro $C$
$O, \;B,\; C, \;C', \;D\;$ estão sobre a reta que contém o diâmetro $[OD]$ da circunferência de centro $\;C$ e, por isso, $\;OB \times OD =r^2 = OC\times OC'.$ Como $\;2\times OC=OD, \;$ $\;2\times OB\times OC = OC\times OC'\;$ e, em consequência, $\;2 \times OB = OC'\;$, ou seja, $\;OB=BC'\;$ $\hspace{9cm} \square$

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Inverter segmentos de reta ou de circunferência e quadrados,... por exemplo

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Inverter feixes de retas (concorrentes e paralelas)

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Inversa de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão

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