Ao longo das publicações em
Geometrias
constatámos diversas propriedades deixando ao cuidado do leitor a sua demonstração.
Perceber o porquê, também me inquieta. Seguem-se, então, justificações para três propriedades que me reapareceram recentemente.
Mariana S. 2022
Seja o triângulo
\; \Delta [ABC] .
\; \dot{C}M\; bissetriz do ângulo
\; B\widehat{C}A ,
\; M \; a interseção da bissetriz
\; \dot{C}M \; com o circuncírculo de centro
\; O \;,
\; OM\; mediatriz de
\; \overline{AB}.
Propriedade 1.a)
Num triângulo a bissetriz de um ângulo e a mediatriz do lado oposto a esse ângulo, intersetam-se num ponto
\; M\; do circuncírculo.
Figura 1
Prova:
\; A\widehat{C}M \; =\; M\widehat{C}B, \;\dot{C}M\; é bissectriz de
\; \angle \widehat{C}
Então,
\;\displaystyle\frac{\widehat{AM}}{2} \; =
\; \displaystyle\frac{\widehat{MB }}{2},
\; A\widehat{C}M \; e
\; M\widehat{C}B \; são ângulos inscritos.
Logo,
\; \widehat{AM}\; =
\; \widehat{MB},\; \;M\; é o ponto médio do arco
\;{AB}\;, está à mesma distância de
\;A\; e de
\;B\;, logo
\;M\; pertence à mediatriz de
\;[AB]\;
c.q.d.
Propriedade 1.b) \;M\; é equidistante de
\;A,\;I. \;B, \;I_c\; sendo
\;I\; o centro do círculo inscrito no triângulo
\; \Delta[ABC]\; e
\; I_c\; o centro do círculo ex-inscrito oposto a
\;C.
Figura 2
Prova: Queremos provar que
\; MA \; =\; MB \; = \; MI\;= \; MI_c\;
\;MA\; = \; MB\; pois
\;M\; pertence à mediatriz de
\; [AB]
Observemos o triângulo
\;\Delta [CIA]:\;
\;\displaystyle A\widehat{I}M =\frac{\widehat{A}}{2} \; + \; \displaystyle\frac{\widehat{C}}{2}, o ângulo externo é igual à soma dos internos não adjacentes.
\;AI\; é a bissectriz do ângulo
\; \angle \widehat{A}
\;\angle A\widehat{M}C \;=\; \angle A\widehat{M}I\; = \; \angle \widehat{B},\; ângulos inscritos no mesmo arco
\;\displaystyle I\widehat{A}M \;=\; 180° - \frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2} \;
= \;( \widehat{A} + \widehat{C}) -\frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2} \; = \; \frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2}
Como a ângulos iguais se opõem lados iguais,
\;MA \;=\;MI\;
\;I\widehat{A}I_c \; = \;90°\;, as bissectrizes interna e externa de um ângulo são perpendiculares
\displaystyle \angle M\widehat{A}I_c\;= \;90° - \angle I\widehat{A}M \; = \; 90°- \frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2}\; = \; \frac{180° - \widehat{A} - \widehat{C}} {2}\; = \; \frac{\angle \widehat{B}}{2}
\angle M\widehat{I_c}A\; = \;\angle I\widehat{M}A - \angle M\widehat{A }I_c \;=\; \widehat{B} - \frac{\angle \widehat{B}}{2}\; = \;\frac{\angle \widehat{B}}{2}
Como a ângulos iguais se opõem lados iguais,
\; \overline{MA} \; = \overline{MI_c}\; e como
\; \overline{MI} \; = \overline{MI_c},\; \;M\; é ponto médio de
\; II_c\;
c.q.d.
Sendo
\;R\; o raio do circuncírculo
Propriedade 2. O círculo que passa pelos três ex-incentros de um triângulo tem raio
\;2R\; e centro
\;I'\; simétrico de
\;I\; relativamente a
\;O\;
Figura 3
Prova: Tracemos a perpendicular a
\;AB\; por
\;I_c.\; Esta é paralela a
\;OM\; e intersecta
\;IO\; em
\;I'.\;
Sendo
\;M\; o ponto médio de
\;\overline{II_c},\; \;O\; é o ponto médio
\;\overline{II'}\; e
\;\overline{I'I_c} \;=\; 2\overline{OM}\;=\; 2R.
De forma análoga se demonstra que
\;\overline{I'I_A}\; = \;\overline{I'I_B}\; = \;\overline{I'I_C}\; = \;2R. \;Logo
\;I'\; é o centro da circunferência que pssa pelos ex-incentros e o seu raio é
\;2R.\;
c.q.d.
Propriedade 3. \;r_a + r_b + r_c \; = \;4R + r,\: sendo
\;r_a,\; r_b \; e
\; r_c \; os raios das circunferências ex-inscritas,
\;r\; o raio da circunferência inscrita e
\;R\; o raio da cirunferência circunscrita.
Figura 4
Prova:
Seja
\;P\; o pé da perpendicular tirada por
\;I_B\; para
\;AB.\; \;I_B = r_b\;
Seja
\;Q\; o pé da perpendicular tirada por
\;I_A\; para
\;AB.\; \;I_AQ = r_a\;
Seja
\;X'\; o ponto de intersecção de
\;I'I_C\; com
\;AB.\; \;I'X' = 2R - r_c\;
Seja
\;X'\; o ponto de intersecção de
\;I'I_C\; com
\;AB.\; \;I'X' = 2R - r_c\;
Seja
\;X'\; o ponto de intersecção de
\;I'I_C\; com
\;AB.\; \;I'X' = 2R - r_c\;
Seja o ponto de intersecção do círculo de
\;I'I_C\; inscrito com
\;AB.\; \;OD\; é a mediana do trapézio
\;[IXI'X'].\;
\;OD \; = \;\displaystyle \frac{IX+I'X'}{2}\; =\; \frac{r+(2R~r_c)}{2}
Seja N a intersecção da mediatriz de
\;AB\; com o circuncírculo. Provemos agora que
\;N\; é ponto médio de
\;I_AI_B :\;
Os ângulos
\;I_AAI_B\; e
\;I_ABI_B\; são retos ( as bissectrizes interna e externa são perpendiculares). Assim, existe uma circunferência que passa pelos pontos
\;I_A,\; A,\; B\; e
\;I_B. de diâmetro
\;I_AI_B.\; Sendo
\;OM\; a mediatriz de
\;AB,\; \; N\; é o centro da circunferência de diâmetro
\;I_AI_B.\; \; N\; é ponto médio de \;I_AI_B.\;
Então
\;ND\; é a mediana do trapézio
\;[I_APQI_B]\;
ND \; =\; \displaystyle \frac{r_a + r_b}{2} \;\Leftrightarrow\; R + OD \;= \;\frac{r_a + r_b}{2} \Leftrightarrow R + \frac{r+(2R - r_c)}{2}\;=\;\frac{r_a+r_b}{2} \Leftrightarrow
4R +r \; =\; r_a + r_b + r_c \;
c.q.d.
O conhecimento destas e outras propriedades facilita-nos a resolução de vários problemas. Por exemplo:
a) Em
www. geometrias.blogspot.com , em 5.12.o6 , publica-se o seguinte exercício interativo
Determinar os vértices de um triângulo \;\Delta[ABC]\; de que se conhecem o centro \;I\; do circulo inscrito, o centro \;I_C\; do círculo ex-inscrito em \;C\; e o centro \;O_e\; do círculo definido pelos três ex-incentros \; I_a,\; I_b\; e \;I_c\;
Figura 5
A vermelho encontram-se os objetos alvo, a descobrir.
Usando as propriedades acabadas de demonstrar:
O ponto médio de
\;II_C,\; M,\; é equidistante de
\;A,\; I\; e de
\; B\; e situa-se no circuncírculo.
O centro do circuncírculo é o ponto médio de
\;O_eI \; e o seu raio é metade de
\; O_e I\;
Figura 6
b)no site
geometriagon
encontramos o seguinte enunciado do n° 1679
Determinar o vértice \;A\; do triângulo \; \Delta [ABC],\; conhecidos o lado \;[BC],\; a altura \;h_a\; a ele relativa e a diferença entre a soma dos raios dos círculos ex-inscritos e o raio do círculo inscrito.
E apresenta-nos o seguinte exercício interativo
Figura 7
Atendendo à última propriedade referida, a reolução é simnples.
Figura 8
Claro que a solução acima apresentada não é única.
Mariana Sacchetti.
Aveiro, Janeiro de 2022
