GEOMETRIA

25.2.16

Construir circunferências centradas nos vértices de um triângulo e tangentes duas a duas.

Problema:
É dado um triângulo $\;ABC.\;$ Determinar as 3 circunferências $\;(A,\; r_A), \; (B,\: r_B), \; (C,\; r_C)\;$ tangentes exterioremnte duas a duas.

A figura dinâmica que se apresenta a seguir ilustra o raciocínio (de análise) que suporta a construção e a construção ela mesma.Faça variar o valor de $\;n\;$ no seletor ao fundo da janela de construção.
Começamos por construir o triângulo de vértices $\;A,\;B,\;C\;$ e de lados $\;a=BC, \;b= AC, \; c=AB\;$. Circunferências centradas em $\;A\;$ e $\;B\;$ que sejam tangentes exteriormente têm raios $\;r_A,\;r_B\;$ tais que $\; r_A + r_B = AB = c.\;$ Pelas mesmas razões terá de ser $\; r_A + r_C = AC = b\;$ e $\; r_B + r_C = BC = a.\;$ Por isso, $\; 2r_A + 2r_B + 2r_C =a+b+c.\;$
Tomando um segmento $\;B'B''\;$ de comprimento igual ao perímetro $\;a+b+c\;$ do triângulo e o ponto $\;M\;$ médio de $\;B'B''\;$, sabemos agora que $\;B'M= r_A + r_B + r_C\;$ e, como $\;r_B + r_C = a, \; \; C'M = B'M-a = r_A.$
Conhecido $\;r_A\;$, podemos traçar $\;(A, \; r_A).\;$ que intersecta $\;AB \;$ e $\;AC\;$ nos seus pontos de tangência com as outras duas circunferências □

159. Des sommets d'un triangle ABC comme centres, décrire trois circunféences tangentes deux à deux éxterieurement.l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

16.2.16

Secantes a uma circunferência passando por um ponto exterior e que determinam cordas de comprimento dado

Problema:
São dados um ponto $\;P,\;Q\;$ um círculo $\;c\;$ e um comprimento $\;a\;$
Traçar por $\;P\;$ uma secante à circunferência $\;c\;$ que a corte em cordas de comprimento $\;a\;$

Pode acompanhar a construção da resolução do problema fazendo variar os valores de n no seletor centrado e no fundo da janela de visualização.

As cordas da circunferência $\;c\;$ com um dado comprimento $\;a\;$ são tangentes a uma circunferência concêntrica com $\;c\;$. Tomando um ponto $\;F\;$ qualquer sobre $\;c\;$ e $\;G \in c:\; FG=a,\;$ essa circunferência fica determinada pelo centro $\;O\;$ e pelo ponto $\;H\;$ médio de $\;FG.\;$ As tangentes a $\;(O, OH)\;$ tiradas por $\;P\;$ determinam cordas de $\;c: \;$ $\;LM,\;NQ;$ e $\;LM=NQ=a\;$

149. On donne un cercle et un point P. Mener par P une sécante telle que la corde interceptée ait une longueur donné l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947