GEOMETRIA

25.2.16

Construir circunferências centradas nos vértices de um triângulo e tangentes duas a duas.

Problema:
É dado um triângulo $\;ABC.\;$ Determinar as 3 circunferências $\;(A,\; r_A), \; (B,\: r_B), \; (C,\; r_C)\;$ tangentes exterioremnte duas a duas.

A figura dinâmica que se apresenta a seguir ilustra o raciocínio (de análise) que suporta a construção e a construção ela mesma.Faça variar o valor de

$\;n\;$ no seletor ao fundo da janela de construção.
Começamos por construir o triângulo de vértices

$\;A,\;B,\;C\;$ e de lados

$\;a=BC, \;b= AC, \; c=AB\;$ . Circunferências centradas em

$\;A\;$ e

$\;B\;$ que sejam tangentes exteriormente têm raios

$\;r_A,\;r_B\;$ tais que

$\; r_A + r_B = AB = c.\;$ Pelas mesmas razões terá de ser

$\; r_A + r_C = AC = b\;$ e

$\; r_B + r_C = BC = a.\;$ Por isso,

$\; 2r_A + 2r_B + 2r_C =a+b+c.\;$
Tomando um segmento

$\;B'B''\;$ de comprimento igual ao perímetro

$\;a+b+c\;$ do triângulo e o ponto

$\;M\;$ médio de

$\;B'B''\;$ , sabemos agora que

$\;B'M= r_A + r_B + r_C\;$ e, como

$\;r_B + r_C = a, \; \; C'M = B'M-a = r_A.$
Conhecido

$\;r_A\;$ , podemos traçar

$\;(A, \; r_A).\;$ que intersecta

$\;AB \;$ e

$\;AC\;$ nos seus pontos de tangência com as outras duas circunferências □

159. Des sommets d'un triangle ABC comme centres, décrire trois circunféences tangentes deux à deux éxterieurement.l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

16.2.16

Secantes a uma circunferência passando por um ponto exterior e que determinam cordas de comprimento dado

Problema:
São dados um ponto $\;P,\;Q\;$ um círculo $\;c\;$ e um comprimento $\;a\;$
Traçar por $\;P\;$ uma secante à circunferência $\;c\;$ que a corte em cordas de comprimento $\;a\;$

©geometrias. 16 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problema fazendo variar os valores de n no seletor centrado e no fundo da janela de visualização.

As cordas da circunferência

$\;c\;$ com um dado comprimento

$\;a\;$ são tangentes a uma circunferência concêntrica com

$\;c\;$ . Tomando um ponto

$\;F\;$ qualquer sobre

$\;c\;$ e

$\;G \in c:\; FG=a,\;$ essa circunferência fica determinada pelo centro

$\;O\;$ e pelo ponto

$\;H\;$ médio de

$\;FG.\;$ As tangentes a

$\;(O, OH)\;$ tiradas por

$\;P\;$ determinam cordas de

$\;c: \;$

$\;LM,\;NQ;$ e

$\;LM=NQ=a\;$

149. On donne un cercle et un point P. Mener par P une sécante telle que la corde interceptée ait une longueur donné l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947