GEOMETRIA

11.3.22

Triângulo rectângulo

A 13.04.06,
em Geometrias
é colocado o seguinte problema:
Construir o triângulo retângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita.

Comecemos por referir e demonstrar a seguinte propriedade, que se verifica em qualquer triângulo:

$\overline{IO}^2 = R(R -2r),\;$ em que

$\;I\;$ é o centro da circunferência inscrita,

$\;O\;$ é o centro da circunferência circunscrita,

$\;R\;$ é o raio da circunferência circunscrita e

$\;r\;$ é o raio da circunferência inscrita. Podemos assim dizer, de outra forma, que a distância entre os centros das circunferências inscrita e circunscrita é a média geométrica entre

$\;R\;$ e

$\;R-2r,\;$ sendo

$\;r\;$ o raio da circunferência inscrita e

$\;R\;$ o raio da circunferência circunscrita.
Observemos a seguinte figura:

Figura 1

$\;I\;$ incentro ;

$\;O\;$ circuncentro;

$\;CE\;$ bissetriz do ângulo

$\;C\;$ ;

$\;FE\;$ mediatriz de

$\;[AB]; \;AI\;$ bissetriz do ângulo

$\;\widehat{A}\;$ ,

$\;IJ\;$ paralela a

$\;AB\;$
Prova:
O triângulo

$\;[AEF]\;$ é retângulo, logo

$\; \displaystyle \frac{AB}{ED} = \frac{EF}{AE} \Longleftrightarrow AE^2 = ED \times EF \hspace{5cm}(1)$
O triângulo

$\;[AEI]\;$ é isósceles,

$\;\overline{𝐴𝐸} = \overline{𝐸𝐼},\;$ a bissetriz do ângulo

$\widehat{C}\,$ e a mediatriz de

$\;[AB]\;$ intersetam-se num ponto do circuncírculo

$\;E\;$ equidistante de

$\;A,\;I,\; B.\;$ (demonstrada na publicação anterior 9.2.22 - Triângulos-Algumas propriedades)
O triângulo

$\;[IJO]\;$ é retângulo, logo

$\;\overline{𝐼𝑂}^2 = \overline{IJ}^2 + \overline{JO}^2 \hspace{5cm} (2)$
O triângulo

$\;[EIJ]\;$ é retângulo, logo

$\; \overline{𝐸𝐼}^2\; =\;\overline{IJ}^2 + \overline{JE}^2 \hspace{5cm}(3)$
Fazendo

$\;(2) – (3)\;$

$\;\overline{IO}^2\; -\;\overline{𝐸𝐼}^2\; =\;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2 \Longleftrightarrow \;\overline{IO}^2\;=\; AE^2 \;+\;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2\; \Longleftrightarrow$

$\;\Longleftrightarrow\overline{𝐸𝐼}^2\;= \; \overline{𝐸D}\;\times \; \overline{𝐸F}\;+ \;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2\; \Longleftrightarrow \;\overline{IO}^2\;= \;(R - \overline{OD})2R \overline{JO}^2\;-\;(R+\overline{OJ})^2 \Longleftrightarrow$

$\;\Longleftrightarrow \overline{IO}^2\;=\;2R^2 - 2R\overline{OD} +\overline{JO}^2 - R^2 - 2R\overline{OJ} - \overline{JO}^2 \;\Longleftrightarrow\;\overline{IO}^2=R^2 - 2R\overline{OD} - 2R(r - \overline{OD}) \Longleftrightarrow$

$\;\Longleftrightarrow \overline{IO}^2 =R^2 - 2r \Longleftrightarrow \overline{IO}^2 = R(R-2r) \hspace{5cm} c.q.d.$

a continuar

14.2.22

Propriedade? Conjectura ou Teorema?

Qualquer quadrilátero de vértices

$\;A, \; B,\; C, D \;$ e lados

$\;AB, \;BC, \;CD, \;DA \;$ divide-se em dois triângulos:

$\;\Delta[ABC]\;$ e

$\; \Delta[CDA]\;$ pela diagonal

$\;[AC]\;$

$\;\Delta[DAB]\;$ e

$\;\Delta[BCD]\;$ pela diagonal

$\;[BD]\;$ .

Na construção, que apresentamos a seguir, temos o quadrilátero

$\;[ABCD]\;$ inscrito na circunferência

$\;(O,\;r)$ , os incírculos dos triângulos

$\;\Delta [ABC]\;$ ,

$\;\Delta [CDA]\;$ ,

$\;\Delta [DAB]\;$ e

$\;\Delta [BCD]\;$ com os respectivos incentros

$\;I_a$ ,

$\;I_b$ ,

$\;I_c\;$ e

$\;I_d\;$ e os raios

$\;r_a$ ,

$\;r_b$ ,

$\;r_c\;$ e

$\;r_d$ .
Pode deslocar qualquer dos pontos

$\;A, \; B,\; C, D \;$ sobre a circunferência

$\;(O,\;r)$ e verificar que se mantém a seguinte igualdade

$\; r_a + r_c\; = \; r_b + r_d\;$

Para apoiar o pensamento de uma demonstração ... via amigos das canárias ... uma construção dinâmica oferecida a interessados. Publicaremos um texto que nos enviem, também comentários,... Temos saudade do tempo (?) em que os nossos alunos nos descreviam as suas interpretações geométricas. Por onde andarão? os seus pensamentos.