Problema:
Num plano são dados: uma circunferência de raio r e centro P e uma reta l, sendo d a distância de P a l tal que d>r.
Se tomarmos M e N sobre r de tal modo que a circunferência de diâmetro MN seja tangente exterior à circunferência dada. Mostre que existe um ponto A do plano para o qual todos os segmentos MN subentendem um ângulo ∠MÂN constante.
Tiramos um ponto O(0,0), uma reta Ox=l e uma Oy (perpendicular a Ox tirada por O), um ponto P(O,d) de Oy para centro de uma circunferência de raio r sendo d>r.
Tomamos por P uma reta que intersecta Ox num ponto C(h,0) que é centro da circunferência tangente à circunferência (P,r), como na figura se ilustra.
@ geometrias, 5 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
O centro C de uma circunferência tangente exterior à dada (P,r) deve ter um raio s tal que PC=(r+s) é hipotenusa do triângulo Δ[OCP] rectângulo em O e, pelo Teorema de Pitágoras, d2+h2=(r+s)2
Aos extremos do diâmetro da circunferência (C,s) cortada por Ox na nossa construção, chamamos M=(h−s,0) e N=(h+s,0).
Aceitemos que existe um ponto de Oy,A(0,k),k>0 que satisfaz a condição do problema, ou seja, tal que as amplitudes dos ângulos ∠MAN se mantêm invariáveis.
Se tirarmos por O uma reta tangente à circunferência (P,r), ficamos com um triângulo Δ[OTP], retângulo em T, para além do triângulo Δ[COP] rectângulo em O.
A circunferência (O,T) corta Oy num ponto que designamos por A e, como nos parece óbvio, só nos falta provar que a amplitude ∠MÂN em causa se mantém invariável, no caso de tomarmos pelo mesmo processo outras retas P,C perpendiculares a tangentes da circunferência (P,r)....
Tal se pode provar, recorrendo à circunferência (A,O) e aos seus diferentes sectores circulares com centro em O e construídos de igual modo ao primeiro sempre com as tangentes a (P,r).
Não dependem dos raios s e deslocando o ponto C podem ser vistos e vista a sua constância em amplitude dos sectores circulares de (A,O). ◻
