António Aurélio Fernandes passou por um problema no YouTube que por lá foi resolvido usando vetores e apresentou-o a si mesmo aqui a pensar numa demonstração mais elementar.
Enunciado:
No quadrado \;[ABCD]\; toma-se um ponto \;P\; qualquer sobre \;BC.\; Por \;A\; traça-se a semi reta \;AP\; e, em seguida, por \;C\; tira-se uma perpendicular a \;AP\; que encontra a reta \;AB\; em \;Q.\;
Provar que o ângulo em \; \angle A\hat{Q}P\; se mantém constante quando \;P\; toma diferentes posições em \;[BC].\;
Seguir os passos da construção e demonstração
\;\fbox{n=1}:\; Apresenta-se o quadrado \;[ABCD]\; e um ponto \;P\; de \;[BC].\;
\;\fbox{n=2}:\; Apresenta-se \;\dot{A}P\; (diferente para cada \;P\; de \;[BC]\; e a perpendicular a \;AP\; tirada por \;C\; que interseta \;\dot{A}B\; em \;Q\;
14 março 2018, Criado com GeoGebra
\;\fbox{n=3}:\; Finalmente acrescentamos \;[PQ]\; e o ângulo \;B\hat{Q}P\; rotulado pelo seu valor (amplitude) em graus. Pode deslocar \;P\; sobre \;BC\; para verificar que o seu valor se mantém invariável e que quando \;P = C, \;\; [AP] = [AC]\; é uma das diagonais do quadrado e, para esta posição de \;P,\; a perpendicular a \;AP\; tirada por \;C\; é perpendicular a \;AC\; em \;C=P\; e, por isso, paralela a \;BD,\; já que as diagonais de um quadrado são perpendiculares.
Para esta posição de \;P=C\; é bem óbvio que \;AQP=AQC\; é um triângulo retângulo em \;P=C\;e isósceles, já que \;CQ \perp AC \wedge AC=CQ =BD\; e \;\angle C\hat{A}Q = \angle A\hat{Q}C \;
\;\fbox{n=4}:\; Acrescentamos as diagonais \;CA, \;BD\;
\;\fbox{n=5}:\; A situação descrita acima para o caso de \;P\; assumir a posição de \;C\; é aplicável a qualquer \;P\; de \;BC,\; observando o quadrado de lado \;BP\;, \;[BPEF], \; já que a sua diagonal \;BE\; é um segmento da diagonal \;BD\; de \;[ABCD]\; e \;PF \parallel CA\;.
