Dividir a altura de um trapézio em partes cujo produto seja igual ao produto das bases

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TEOREMA:

Se uma semicircunferência de diâmetro igual ao lado oblíquo de um trapézio retângulo corta o lado oposto, cada um dos pontos dessa intersecção divide a altura do trapézio retângulo em dois segmentos cujo produto é igual ao produto das bases do trapézio.

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F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, (http://gallica.fr)- Théorème. 24. Lorsque la demi-circonférence décrite sur le côté oblique d'un trapèze rectangle coupe le côté opposé, chaque point d'intersection divise la hauteur en deux segments dont le produit égale le produit des bases du trapèze.

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$\;\fbox{n=1}:\;$ Apresenta-se um trapézio $\;[ABCD]\;$ retângulo em $\;B,\;C\;$ de bases $\;AB, \;CD\;$ (paralelas) e altura $\;BC\;$

$\;\fbox{n=2}:\;$ No caso do nossa ilustração, esse trapézio é tal que uma das semi-circunferências de diâmetro $\;AD\;$ (lado oblíquo) interseta a altura $\;BC\;$ (que é o lado oposto a $\;AD\;$) em $\;N, \;P,\;$ como se mostra na figura.

O nosso problema consistirá em provar que $$\;\overline{BN}\times \overline{NC}= \overline{AB} \times \overline{CD} = \overline{BP}\times \overline{PC}\;$$ nas condições descritas no enunciado.

13 março 2018, Criado com GeoGebra

$\;\fbox{n=3}:\;$ Ora para ser verdade que $$\;\overline{BN}\times \overline{NC}= \overline{AB} \times \overline{CD}\;$$ teria de ser verdade que $$\; \frac{BN}{AB} = \frac{CD}{NC} \;$$ o que equivale a serem semelhantes os triângulos $\;ABN\;$ e $\;CDN\;$ que são retângulos, o primeiro em $\;B\;$ de catetos $\;BN, \; AB\;$ e o segundo em $\;C \;$ de catetos $\;NC, \;CD.\;$
Como $\; \angle AND = 1\;$ reto, inscrito na semi-circunferência $\;(AND)\;$ de diâmetro $\;AD, \;$ e $$\;\angle BNA + \angle AND + \angle DNC = 2\;\mbox{retos},$$ conclui-se que $$\;\angle BNA + \angle AND = 1\; \mbox{reto}$$ o que nos conduz às igualdades $$\; \angle NAB= \angle DNC \wedge \angle BNA= \angle CDN,\;$$ ou seja, $$\; \Delta ABN \sim \Delta NCD \;$$ e $$\overline{BN} \times \overline{NC} = \overline{AB} \times \overline{CD},\;$$como queríamos provar. □

$\;\fbox{n=4}:\;$ O mesmo raciocínio para o ponto $\;P\;$ concluindo que $\; BP \times PC = AB \times CD .\;$