Resolver problema de construção usando a translação

Problema:
Determinar um semento de reta igual e paralelo a um segmento de reta dado que cada um dos seus extremo esteja sobre cada uma de duas circunferências dadas.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema.

© geometrias, 28 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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Clicando sobre o botão Resolução (direita ao fundo) pode ver a resolução.

1. São dadas duas circunferências, $(A)$ e $(B)$, e um segmento $UV$.
2. Na nossa resolução, escolhemos aplicar uma translação segundo o vetor $\overrightarrow{UV}$ à circunferência $(A)$. $$\begin{matrix} &{\cal{T}} _ \overrightarrow{UV}& & \\ (A)&\longrightarrow& (A') & \;\;\;\; \overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{UV} \end{matrix}$$
3. A circunferência $(A')$ interseta $(B)$ em dois pontos, designamo-los por $K'$ e $L'$ que são extremos dos segmentos $KK'$ e $LL'$, em que $$\begin{matrix} &{\cal{T}} _ \overrightarrow{UV}& &\\ (A)&\longrightarrow& (A') &\;\;\;\; \overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{UV}\\ K&\longmapsto&K'&\;\;\;\; K\in (A)\; \wedge \;K'\in (A').(B)\; \wedge \; \overrightarrow{KK'}=\overrightarrow{UV}\\ L&\longmapsto&L'&\;\;\;\; L\in (A)\; \wedge \; L'\in (A').(B)\; \wedge\; \overrightarrow{LL'}=\overrightarrow{UV} \end{matrix}$$
4. Os segmentos $KK'$ e $LL'$ são soluções do problema

Resolver um problema de construção usando uma meia volta

Problema: Determinar a reta que, passando por um dos pontos de interseção de duas circunferências dadas, nestas determina duas cordas iguais.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema.

© geometrias, 27 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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Clicando sobre o botão Resolução (direita ao fundo) pode ver a resolução.

1. As duas circunferências dadas, $(A)$ e $(B)$, intersetam-se em dois pontos, correspondendo às condições da hipótese do problema.
2. Escolhemos um pontos de interseção $I$, no caso da nossa resolução e a transformação de meia volta nele centrada. A transformada de uma das circunferências dadas, $(A)$ na nossa resolução, é uma circunferência $(A')$ que interseta a circunferência no ponto $I$, centro da meia volta e fixo para ela, e num outro ponto $J$.
3. A reta $IJ$ é solução do problema

Há outras soluções, claro. Podíamos ter tomado para centro da meia volta o outro ponto de interseção das circunferências dadas. A mais óbvia e imediata solução seria a reta que passa pelos pontos de interseção das circunferências dadas.