Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (17b)

Problema: Determinar o lugar geométrico dos pontos a partir dos quais se veem segundo ângulos iguais dois segmentos $\;AB\;$ e $\;CD\;$ sobre uma dada reta $\;a$

A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto, passo a passo.

1. Dados (a azul): uma reta $\;a\;$ e quatro pontos $\;A, \;B, \;C, \;D\;$ sobre ela.
2. Usando o 5º lugar geométrico da lista, para um dado ângulo $\;\alpha$, começamos por determinar os conjuntos dos pontos $P$ tais que
   • $\;A\hat{P}B = \alpha\;$ (constituído por dois arcos de circunferências congruentes de extremos em $\;A, \;B\;$)
   • $\;C\hat{P}D = \alpha\;$ (constituído por dois arcos de circunferências congruentes de extremos em $\;C, \;D\;$)
   
   
   

   © geometrias, 6 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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3. O ponto $\;H\;$ (ou qualquer um dos outros pontos de interseção dos dois pares de arcos capazes determinados) é um ponto a partir do qual se tiram retas para $\;A\;$ e $\;B\;$ por um lado, e para $\;C\;$ e $\;D\;$ por outro, tais que $\;A\hat{H}B = C\hat{H}D =\alpha\;$
4. Consideremos agora o triângulo $\;AHD\;$, e o ângulo $\;A\hat{H}D$
   Considerando as bissetrizes desse ângulo: uma interna $\;HI\;$ outra externa $\;HE\;$ em que $\;I\;$ e $\;E\;$ são os pés dessas bissetrizes sobre $\;a= AB=CD=AD\;$
   Sabemos que
   $\;A\hat{H}I =;I\hat{H}D$ e
   $\;A\hat{H}B + B\hat{H}I=I\hat{H}C+C\hat{H}D$, temos $\;B\hat{H}I=I\hat{H}C\;$ ou seja $\;HI\;$ é bissetriz interna de $\;B\hat{H}C\;$ e $\;HE\;$ bissetriz externa do mesmo ângulo
5. Fixados $\;A,\;B,\;C, \;D$, o círculo de diâmetro $\;IE\;$ - círculo de Apolónio do triângulo $\;AHD\;$ ou do triângulo $\;BHC$, mantém-se o mesmo para todos as amplitudes $\;\alpha\;$ ou para todos pontos $\;H\;$.
   Pode verificar isso, movendo o ponto verde da reta tracejada a verde que é o mesmo que fazer variar as amplitudes $;\alpha\;$ e observando que deslocando $\;H\;$ este percorre a circunferência de diâmetro fixo $\;IE\;$ que se mantém a mesma, já que $\;(A,D;I,E) =-1\;$.
6. Assim, o lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ tais que $\;A\hat{P}B = C\hat{P}D\;$ é a circunferência de Apolónio relativa a um triângulo $\;B\hat{H}C\;$ de que $\;HI\;$ é a bissetriz interna.

Podemos variar o ângulo $\;\alpha\;$ e as posições de $\;A\;$, $\;B\;$, $\;C\;$ e $\;D\;$

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (17a')

Se fosse este outro o enunciado do
Problema: Determinar o lugar geométrico dos pontos a partir dos quais se vêem segundo ângulos iguais dois segmentos $\;AB\;$ e $\;BC\;$ de uma dada reta $\;a$

A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto, passo a passo. Pode observar os passos da construção deslocando o cursor $\;\fbox{n=1,..., 6}\;$

1. Dados (a azul): uma reta $\;a\;$ e três pontos $\;A, \;B, \;C\;$ sobre ela.
2. Os dois primeiros passos n=2 e n=3 da construção dos pontos $\;H\;$ e $\;H'\;$ pontos a partir dos quais se vêem os dois segmentos $\;AB\;$ e $\;BC\;$ segundo um mesmo ângulo $\;\alpha\;$ já foi feita na entrada anterior.
   
   

   © geometrias, 5 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Esse ponto $\;H\;$ (ou $\;H'\;$) é um ponto a partir do qual se tiram retas para $\;A\;$ e $\;B\;$ por um lado, e para $\;B\;$ e $\;C\;$ por outro, tais que $\;A\hat{H}B = B\hat{H}C =\alpha\;$
4. Assim, podemos dizer que do triângulo $\;AHC\;$, $\;HB\;$ é a bissetriz interna do ângulo $\;\hat{H}\;$ e a perpendicular a $\;HB\;$ tirada por $\;H\;$ é a bissetriz externa, cujo pé sobre a reta $\;AC\;$ chamamos $\;E\;$. O pé da bissetriz interna de $\;\hat{H}\;$ sobre $\;a\;$ é $\;B\;$
5. Fixados $\;A,\;B,\;C$, o círculo de diâmetro $\;BE\;$ - círculo de Apolónio do triângulo $\;AHC\;$, mantém-se o mesmo para todos os valores de $\;\alpha\;$ ou para todos pontos $\;H\;$.
   Pode verificar isso, movendo $\;D\;$ que é o mesmo que fazer variar as amplitudes $;\alpha\;$ e observando como $\;H\;$ percorre a circunferência de diâmetro $\;BE\;$ que se mantém a mesma (independentemente de $\;H$) já que o par de pontos $\;I, \;E\;$ separa harmonicamente o par de pontos $\;A, \;D\;$
6. O lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ tais que $\;A\hat{P}B = B\hat{P}C\;$ é uma circunferência de Apolónio relativa a um triângulo $\;A\hat{H}C\;$ de que $\;HB\;$ seja a bissetriz interna.

Podemos variar o ângulo $\;\alpha\;$ e as posições de $\;A\;$, $\;B\;$ e $\;C\;$